Analysis

Potenzregel und Faktorregel

In diesem Artikel erklären wir dir, wie du mit der Potenzregel und der Faktorregel Ableitungen bestimmen kannst und rechnen viele Beispiele dazu. 

Du möchtest gern alles über die Potenzregel Ableitung und die Faktorregel Ableitung erfahren, aber hast keine Lust den ganzen Artikel zu lesen? Dann schau dir einfach unser Video  dazu an! 

Inhaltsübersicht

Potenzregel einfach erklärt

Die Potenzregel sagt dir, wie du die Ableitung von Potenzfunktionen f(x)=x^n berechnest.

Potenzregel

f(x)= x^n \quad \rightarrow \quad f'(x)=n \cdot x^{n-1}

Du gehst also folgendermaßen vor: 

  1. Nimm den Exponenten n und multipliziere ihn an x
  2. Reduziere den Exponenten von x um eins: n-1. 

Ableitung Potenzfunktion

Im Folgenden zeigen wir dir anhand von Beispielen, wie du die Potenzfunktionen ableiten kannst. 

Beispiel 1: positiver Exponent  

Du hast die Funktion 

f(x)=x^3

gegeben. Da es sich hierbei um eine Potenzfunktion handelt, kannst du sie mithilfe der Potenzregel ableiten und erhältst so: 

f'(x)= 3 \cdot x^{3-1} = 3\cdot x^2.

Beispiel 2: negativer Exponent

Nun hast du eine Potenzfunktion mit negativem Exponenten gegeben 

f(x)=x^{-4}

und wendest erneut die Potenzregel an, um ihre Ableitung zu berechnen: 

f'(x)= -4 \cdot x^{-4-1}=-4 \cdot x^{-5}. 

Vorsicht! Da dein Exponent negativ ist, darfst du das Minus nicht vergessen und ein Reduzieren um eins führt zu einer betraglich größeren Zahl. Das heißt dein Exponent wird noch kleiner (-4 \to -5). 

Beispiel 3: Bruch als Exponent

Diesmal steht im Exponenten von x keine ganze Zahl, sondern ein Bruch

f(x)=x^{\frac{1}{2}}.

Auch hier kannst du für die Ableitung einfach die Potenzregel anwenden: 

f'(x)= \frac{1}{2} \cdot x^{ \frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2} \cdot x^{ -\frac{1}{2}}.

Damit hast du gerade unwissentlich eine Wurzel abgeleitet. Denn du kannst f(x) auch als Wurzel darstellen: 

f(x)=x^{\frac{1}{2}}=\sqrt{x}.

Sieh dir unseren extra Beitrag zum Wurzel Ableiten  an, falls du noch mehr darüber wissen möchtest.  

Tatsächlich ist die Potenzregel nicht nur für ganze und rationale Exponenten anwendbar, sondern auch allgemein für reelle. Angenommen du hast die Funktion 

f(x)=x^{2,34}

gegeben. Dann liefert dir die sogenannte verallgemeinerte Potenzregel die Ableitung

f'(x)=2,34 x^{2,34-1}=2,34x^{1,34}.

Im nächsten Abschnitt sehen wir uns eine weitere wichtige Ableitungsregel an, die oft im Zusammenhang mit der Potenzregel steht: die Faktorregel

Faktorregel einfach erklärt

Angenommen du hast eine Funktion mit einem Vorfaktor gegeben und möchtest ihre Ableitung bestimmen. Dann benötigst du die Faktorregel.

Faktorregel

f(x)= a \cdot g(x) \quad \rightarrow \quad f'(x)= a \cdot g'(x)

Das bedeutet, der Vorfaktor a bleibt einfach stehen und ändert sich bei der Ableitung der Funktion nicht. 

Ableitung Faktorregel

Nun wollen wir eine Reihe solcher Funktionen betrachten und ihre Ableitungen berechnen. 

Beispiel 1

Du hast die Funktion 

f(x)= 5x^4

gegeben. In diesem Fall ist der Vorfaktor a=5 und g(x)=x^4. Für die Anwendung der Faktorregel musst du die Ableitung g'(x) berechnen. Diese erhältst du mit der Potenzregel: 

g'(x)=4x^3

Die Faktorregel liefert dir schließlich die Ableitung 

f'(x)=a \cdot g'(x)

             =5 \cdot (4x^3)

      =20x^3. 

Beispiel 2 

Schauen wir uns ein weiteres Beispiel an

f(x)=-3x^{-2}.

Mit der oberen Potenzregel berechnest du die Ableitung von g(x)=x^{-2}. Das Ergebnis ist

g'(x)=-2x^{-3}. 

Nun wendest du die Faktorregel an und bekommst für die Ableitung 

f'(x)= -3 \cdot \left(-2x^{-3}\right)

=6 x^{-3}.

Beispiel 3: Faktorregel e Funktion

Sieh dir im Folgenden die e Funktion mit Vorfaktor a=6 an: 

f(x)= 6e^x.

Für die Faktorregel musst du g(x)=e^x ableiten und den Vorfaktor unverändert beibehalten. Die Ableitung der e Funktion  ist wieder die Funktion selbst, deshalb gilt g'(x)=e^x. Damit erhältst du als Ableitung von f:

f'(x)=a \cdot g'(x)

     = 6 e^x. 

Hinweis Ableitung Konstante: Falls du eine konstante Funktion g(x)=a mit einer beliebigen Zahl a hast, so ist ihre Ableitung gleich Null: 

f(x)=a \quad \rightarrow \quad f'(x)=0.

Du kannst dir also einfach merken, dass die Ableitung einer konstanten Funktion gleich null ist.

Weitere Ableitungsregeln 

Neben der Potenzregel und der Faktorregel gibt es natürlich noch weitere wichtige Ableitungsregeln, die du kennen solltest:

Ableitungsregel Funktion Ableitung
Summenregel f(x)=g(x)+h(x) f'(x)=g'(x)+h'(x)
Differenzregel f(x)=g(x)-h(x) f'(x)=g'(x)-h'(x)
Produktregel f(x)=g(x)\cdot h(x) f'(x)=g'(x)\cdot h(x)+g(x)\cdot h'(x)
Quotientenregel f(x)=\frac{g(x)}{h(x)} f'(x)=\frac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{[h(x)]^2}
Kettenregel f(x)=g(h(x)) f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)
Potenzregel f(x)=x^n f'(x)=n\cdot x^{n-1}
Faktorregel f(x)=a\cdot g(x) f'(x)=a \cdot g'(x)

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