Was ist eine Integralfunktion im Unterschied zu einem normalen Integral?

Eine Integralfunktion ist im Unterschied zu einem normalen Integral kein fester Zahlenwert, sondern eine Funktion in . Das liegt daran, dass nur die untere Grenze fest ist, die obere Grenze aber variabel bleibt. So hängt der Flächeninhalt vom gewählten ab.

Warum ist bei der Integralfunktion die obere Grenze variabel?

Bei der Integralfunktion ist die obere Grenze variabel, weil sie den Flächeninhalt von einem festen Startpunkt bis zu einem beliebigen Endpunkt beschreiben soll. Dadurch kannst du für verschiedene -Werte direkt ablesen, wie viel sich bis dahin „angesammelt“ hat, zum Beispiel eine Gesamtmenge über die Zeit.

Wie berechne ich eine Integralfunktion Schritt für Schritt?

Eine Integralfunktion berechnest du, indem du zuerst eine Stammfunktion von bildest und danach die Grenzen einsetzt: . Im Beispiel ist , also .

Was bedeutet es, dass die Ableitung der Integralfunktion gleich f(x) ist?

Dass die Ableitung der Integralfunktion gleich ist, bedeutet: Für gilt immer . Deshalb ist automatisch eine Stammfunktion von . Konkret ersetzt du dabei in der inneren Funktion das durch .

Warum ist a immer eine Nullstelle von Iₐ(x)?

ist immer eine Nullstelle von , weil bei das Integral bei gleicher unterer und oberer Grenze startet und endet. Dann gilt , also ist der Funktionswert an dieser Stelle null. Dadurch hat sicher mindestens eine Nullstelle.

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Integralfunktion

Wichtige Inhalte in diesem Video

Integralfunktion — einfach erklärt

(00:14)

Integralfunktion berechnen

(01:01)

Eigenschaften von Integralfunktionen

(02:04)

Wenn du wissen willst, was eine Integralfunktion ist und wie du sie berechnest, dann bist du hier und in unserem Video an der richtigen Stelle!

Inhaltsübersicht

Integralfunktion — einfach erklärt

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(00:14)

Mit der Integralfunktion kannst du wie bei einem normalen Integral den Flächeninhalt zwischen der x-Achse und einer Funktion f bestimmen.

$I_{\textcolor{olive}a}(\textcolor{red}x) = \int_{\textcolor{olive}a}^{\textcolor{red}x} \textcolor{blue}{f(t)}\,dt$

Wichtig bei der Funktion I_a(x) ist aber, dass dabei nur die untere Grenze a eine fest gewählte Zahl ist. Die obere Grenze x ist dagegen variabel.

Merke: Die Integralfunktion ist also kein fester Zahlenwert, sondern eine Funktion.

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Wozu brauchst du eine Integralfunktion?

Stell dir einen Stausee vor. Aus diesem fließt über Zeit Wasser heraus. Die Flussrate ist dabei als Funktion f(t) angegeben. Wenn du wissen willst, wie viel Wasser insgesamt zwischen einem festen Zeitpunkt a und einem beliebigen Zeitpunkt x herausgeflossen ist, brauchst du nur die verscheiden x-Werte in die Integralfunktion einsetzen.

Integralfunktion berechnen

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(01:01)

Du kannst eine Integralfunktion so berechnen, dass du am Ende eine ganz normale Funktion herausbekommst. Diese Funktion ist dann nur von x abhängig. Sieh dir dazu dieses Beispiel an:

$I_{\textcolor{olive}0}(\textcolor{red}x) = \int_{\textcolor{olive}0}^{\textcolor{red}x} \textcolor{blue}{3t^2-8t}\,dt$

Schritt 1: Stammfunktion bestimmen
Zuerst bestimmst du eine Stammfunktion der inneren Funktion f(t) = 3t²-8t. Dafür musst du sie integrieren:

F(t) = t³-4t²

Schritt 2: Grenzen einsetzen
Jetzt musst du jeweils die untere Grenze des Integrals 0 und die obere Grenze x in die Stammfunktion einsetzen. Dann ziehst du die untere Grenze von der oberen ab:

$\begin{split}I_{\textcolor{olive}0}(x) & = \left[ t^3-4t^2\right]^{\textcolor{red}x}_{\textcolor{olive}0} \\&= \textcolor{red}x^3-4\textcolor{red}x^2-(\textcolor{olive}0^3-2(\textcolor{olive}0)^2) \\ & = x^3-4x^2\end{split}$

Damit hast du nun eine normale Funktion berechnet. Mit dieser Darstellung kannst du jetzt etwas einfacher die Funktionswerte ausrechnen. Denn so musst du nicht für jeden x-Wert ein Integral berechnen.

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Eigenschaften von Integralfunktionen

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(02:04)

Die Integralfunktion $I_\textcolor{olive}{a}(\textcolor{red}x) = \int_{\textcolor{olive}a}^{\textcolor{red}x} \textcolor{blue}{f(t)}\,dt$ hat ein paar besondere Eigenschaften:

Die Ableitung von I_a ist immer die innere Funktion in dem Integral. Es ist also I‘_a(x) = f(x). Hier musst du nur das t durch ein x ersetzen.
Damit ist I_a(x) immer eine Stammfunktion der Funktion f(x).
Für eine Stammfunktion F von f gilt I_a(x) = F(x) – F(a).
Die untere Grenze des Integrals a ist immer eine Nullstelle von I_a. Hier ist also I_a(a) = 0.

Expertenwissen: Stammfunktion

Jede Integralfunktion einer Funktion f ist eine Stammfunktion von f. Das sagt dir der sogenannte Hauptsatz der Differenzial- und Integralrechnung (HDI).

Aber nicht jede Stammfunktion von f ist auch eine Integralfunktion.

Integralfunktion — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was ist eine Integralfunktion im Unterschied zu einem normalen Integral?

Eine Integralfunktion ist im Unterschied zu einem normalen Integral kein fester Zahlenwert, sondern eine Funktion in . Das liegt daran, dass nur die untere Grenze fest ist, die obere Grenze aber variabel bleibt. So hängt der Flächeninhalt vom gewählten ab.
Warum ist bei der Integralfunktion die obere Grenze variabel?

Bei der Integralfunktion ist die obere Grenze variabel, weil sie den Flächeninhalt von einem festen Startpunkt bis zu einem beliebigen Endpunkt beschreiben soll. Dadurch kannst du für verschiedene -Werte direkt ablesen, wie viel sich bis dahin „angesammelt“ hat, zum Beispiel eine Gesamtmenge über die Zeit.
Wie berechne ich eine Integralfunktion Schritt für Schritt?

Eine Integralfunktion berechnest du, indem du zuerst eine Stammfunktion von bildest und danach die Grenzen einsetzt: . Im Beispiel $I_0(x)=\int_0^x (3t^2-8t)\,dt$ ist , also .
Was bedeutet es, dass die Ableitung der Integralfunktion gleich f(x) ist?

Dass die Ableitung der Integralfunktion gleich ist, bedeutet: Für $I_a(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ gilt immer . Deshalb ist automatisch eine Stammfunktion von . Konkret ersetzt du dabei in der inneren Funktion das durch .
Warum ist a immer eine Nullstelle von Iₐ(x)?

ist immer eine Nullstelle von , weil bei das Integral bei gleicher unterer und oberer Grenze startet und endet. Dann gilt $I_a(a)=\int_a^a f(t)\,dt=0$ , also ist der Funktionswert an dieser Stelle null. Dadurch hat sicher mindestens eine Nullstelle.

Integrationsregeln

Wenn du die Stammfunktion einer Integralfunktion berechnen möchtest, musst du die Integrationsregeln beachten. Welche das sind, erfährst du hier .