Analysis

Tangente

Wenn du wissen möchtest, wie du die Tangente einer Funktion berechnest, dann bist du hier genau richtig. Wir erklären dir Schritt für Schritt, wie du die Geradengleichung einer Tangente berechnen kannst.

Du möchtest das Wesentliche zum Thema Tangente erfahren? Dann schau dir unser Video an!

Inhaltsübersicht

Tangente einfach erklärt

Betrachtest du eine Funktion f an der Stelle x_0, so ist eine Tangente eine Gerade, die die gleiche Steigung und den gleichen Funktionswert wie die Funktion f an der Stelle x_0 hat. Also eine Gerade, die die Funktion f an der Stelle x_0 nicht schneidet, sondern nur berührt.

Tangente, Tangentengleichung
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Tangente einer Funktion

Was ist eine Tangente?

Eine Tangente ist eine lineare Funktion  , die die Funktion f an einem Punkt berührt. Dadurch, dass die Tangente die Funktion f an diesem Punkt nicht schneidet, sondern nur berührt, ist die Steigung der Tangente und die Steigung des Funktionsgraphen von f am Berührpunkt gleich. Deshalb musst du für die Ermittlung der Steigung der Tangente die x-Koordinate der Betrachtungsstelle in die erste Ableitung einsetzen.

Zur Bestimmung der Tangentengleichung verwendest du die Punktsteigungsform der Geradengleichung:

Allgemeine Tangentengleichung

y_t (x) = f^{\prime}(x_0) \cdot (x-x_0) + y_0

Wobei (x_0,y_0) die Koordinaten des Berührpunkts sind.

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Tangente berechnen: Schritt-für-Schritt Anleitung

Schauen wir uns mal an, wie du die Tangente einer Funktion am Punkt (x_0 \vert y_0) berechnen kannst.

Schritt 1: Berechne die erste Ableitung f^{\prime}(x).

Schritt 2: Setze den Wert x_0 in f^{\prime}(x) ein und ermittle so die Steigung der Tangente.

Schritt 3: Falls die y-Koordinate noch nicht bekannt ist, setzt du x_0 in die Funktion f ein.

Schritt 4: Jetzt setzt du die Koordinaten des Berührpunkts (x_0 \vert y_0) und die Steigung f^{\prime}(x_0) in die Punktsteigungsform ein

y_t (x) = f^{\prime}(x_0) \cdot (x-x_0) + y_0

und kannst so die gesuchte Tangente berechnen.

Beispiel

Schauen wir uns dazu ein Beispiel an. Wir möchten für die Funktion

f(x) = x^3 -3x^2+x-1

an der Stelle x_0=0 die Tangente berechnen.

Schritt 1: Als erstes berechnest du mithilfe der Potenz- und Faktorregel die erste Ableitung

f^{\prime}(x) = 3x^2-6x+1.

Schritt 2: Um die Steigung der Tangente an der Stelle x_0 zu ermitteln, setzt du x_0 in die Ableitung ein und erhältst so

f^{\prime}(0) = 3 \cdot 0^2 -6 \cdot 0 +1 = 1.

Schritt 3:  Da du die y-Koordinate des Betrachtungspunkts noch nicht kennst, musst du diesen erst berechnen und setzt dafür x_0 = 0 in die Funktion f ein

f(0) = 0^3-3 \cdot 0^2 +0 -1 = -1.

Damit haben wir die Koordinaten des Berührpunkts (0 \vert -1).

Schritt 4: Nun kannst du die Tangente berechnen, indem du alle Bausteine in die Tangentengleichung einsetzt

y_t (x) = f^{\prime}(x_0) \cdot (x - x_0) + y_0 = 1 \cdot (x - 0) + (-1)

y_t (x) = x - 1.

Tangente, Tangentengleichung
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Tangente der Funktion f

Waagrechte Tangente

Eine besondere Art der Tangente ist die, die ihren Berührpunkt mit der Funktion an einem Extrempunkt  oder Sattelpunkt  hat. Da bei diesen Punkten die Eigenschaft f^{\prime}(x) = 0 gilt, besitzen sie eine waagerechte Tangente, also eine Tangente mit der Steigung null.

Damit lautet die Tangentengleichung an einem Extrempunkt oder Sattelpunkt (x_0 \vert y_0)

y_t (x) = 0 \cdot (x - x_0) + y_0 = y_0.

Beispiel

Betrachte zum Beispiel die Funktion f(x) = x^2+2. Sie hat einen Extrempunkt am Punkt (0 \vert 2). Mit der Steigung f^{\prime}(0) = 0 lässt sich die Tangente berechnen

y_t (x) = 0 \cdot (x - 0) + 2 = 2.

Wendetangente

Eine weitere Art der Tangente ist die Wendetangente , die ihren Berührpunkt an einem Wendepunkt (x_W \vert y_W) hat. Die allgemeine Tangentengleichung der Wendetangente lautet

y_W (x) = f^{\prime}(x_W) \cdot (x - x_W) + y_W. 

Beispiel

Die Funktion

f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x +2

besitzt den Wendepunkt W(1 \vert 2) und hat an der Stelle x=1 die Steigung f^{\prime}(1) = -1. Somit kannst du am Punkt W die Tangente berechnen

y_t (x) = -1 \cdot (x - 1) +2 = -x +3.

Taylorreihe Tangentengleichung

Die Taylorreihe wird genutzt um Funktionen bestmöglichst zu approximieren. Dabei stellt die Taylorreihe mit zwei Summanden die Tangente an der Stelle x_0 dar:

\sum\limits_{n=0}^1 \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!} \cdot (x-x_0)^n = \frac{f(x_0)}{0!} \cdot (x-x_0)^0 + \frac{f^{\prime}(x_0)}{1!} \cdot (x-x_0)^1

= f(x_0) + f^{\prime}(x_0) \cdot (x-x_0).

Steigung einer Tangente in Grad

Manchmal wird nach dem Winkel gefragt, den die Tangente  mit der x-Achse einspannt. Dabei wird die inverse Tangensfunktion   \tan^{-1}(x) verwendet, um die Steigung der Funktion an der Stelle x in Grad umzurechnen. Es gilt also:

Steigung in Grad = \tan^{-1}(f^{\prime}(x)).

Herleitung der Tangente

Wenn man eine Sekante mit den Schnittpunkten (x \vert f(x)) und (x+h \vert f(x+h)) betrachtet, so lässt sich die Steigung der Sekante mit dem Differenzenquotient wie folgt darstellen

m = \frac{\Delta y}{\Delta x} = \frac{f(x+h)-f(x)}{x}.

Lässt du nun h immer kleiner werden, so nähert sich die Sekante immer weiter der Tangente an und du erhältst mit dem Differentialquotient 

\lim \limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{x}

die Steigung der Tangente an der Stelle x.

Tangente, Tangentengleichung
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Annäherung einer Sekante an eine Tangente

Tangente berechnen: Aufgaben

Schauen wir uns zum Schluss noch ein paar Aufgaben zu diesem Thema an.

Aufgabe 1: Tangente berechnen mit vorgegebener Steigung

Bestimme für die Funktion 

f(x) = \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^2 -x+2

alle Tangenten mit der Steigung 1.

Lösung Aufgabe 1

Zunächst berechnest du die erste Ableitung 

f^{\prime}(x) = x^2 -x -1.

Jetzt möchtest du wissen, an welchen Stellen die erste Ableitung den Wert 1 annimmt. Dafür setzt du f^{\prime} gleich 1 

f^{\prime}(x) = x^2 -x -1 = 1

\Leftrightarrow x^2 -x -2 = 0

und berechnest mithilfe der pq Formel die Nullstellen

x_{1,2} = \frac{1}{2} \pm \sqrt{(\frac{-1}{2})^2+2}

\Rightarrw x_1 = -1 und x_2 = 2.

Damit hast du schon mal die x-Koordinaten der Berührpunkte. Jetzt fehlen noch die y-Koordinaten. Dafür setzt du die x-Werte in die Funktion f ein

f(-1) = \frac{1}{3} \cdot (-1)^3 -\frac{1}{2} \cdot (-1)^2 - (-1) + 2 = \frac{13}{6}

f(2) = \frac{1}{3} \cdot 2^3 -\frac{1}{2} \cdot 2^2 - 2 + 2 = \frac{2}{3}.

Nun kennst du alle Bausteine der Tangentengleichung und kannst somit die Tangente berechnen

y_1 (x) = 1 \cdot (x - (-1)) + \frac{13}{6} = x + \frac{19}{6}

y_2 (x) = 1 \cdot (x - 2) + \frac{2}{3} = x - \frac{4}{3}.

Aufgabe 2: Tangentengleichung bestimmen

Bestimme für die Funktion

f(x) = x^4 - \frac{3}{2}x^3 +x^2 + \frac{5}{2}x

die Tangentengleichung an der Stelle x_0= 1.

Lösung Aufgabe 2

Zunächst benötigst du die erste Ableitung

f^{\prime}(x) = 4x^3 - \frac{9}{2}x^2 +2x +\frac{5}{2},

um die Steigung der Tangente an der Stelle x_0 = 1 zu bestimmen. Dazu setzt du x_0=1 in f^{\prime} ein

f^{\prime}(1) = 4 \cdot 1^3 - \frac{9}{2} \cdot 1^2 +2 \cdot 1 + \frac{5}{2} = 4.

Da du die y-Koordinate y_0 des Berührpunkts noch nicht hast, setzt du nun x_0=1 in die Funktion f ein

y_0 = f(1) = 1^4 - \frac{3}{2} \cdot 1^3 +1^2 + \frac{5}{2} \cdot 1 = 3.

Jetzt hast du alle Bausteine damit du die Tangente berechnen kannst. Setze dafür einfach (1 \vert 3) und f^{\prime}(1) in die Tangentengleichung ein und du erhältst

y_t (x) = 4 \cdot (x - 1) + 3 = 4x -1.

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