Analysis

l‘Hospital

Hier erklären wir dir die Regel von l’Hospital zur Bestimmung des Grenzwerts einer Funktion f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} ganz einfach und mit vielen Beispielen. Alle Fälle, bei denen du l’Hospital anwenden kannst, fassen wir übersichtlich in einer Tabelle zusammen. 

Du möchtest die Regeln von l’Hospital schnell anwenden können? Dann schau dir unser Video%Verweis auf das Video dazu an!

Inhaltsübersicht

l’Hospital einfach erklärt

Mit der Regel von l’Hospital (manchmal auch hospitalsche Regel,  Satz von L’Hospital, oder nur L’Hôpital) kannst du ganz einfach den Grenzwert einer Funktion  f(x) = \frac{g(x)}{h(x)} berechnen, wenn der Limes der Funktion

\lim\limits_{x \rightarrow a}f(x) = \lim\limits_{x \rightarrow a}\frac{g(x)}{h(x)} = \frac{g(a)}{h(a)} 

einen unbestimmten Ausdruck  liefert. Also immer dann, wenn  \frac{g(a)}{h(a)} = \frac{0}{0}     oder   \frac{g(a)}{h(a)}  =\frac{\infty}{\infty}   ist.

Dazu reicht es, wenn du dir die Ableitungen von g(x) und h(x) anschaust. Es gilt:

\lim\limits_{x \rightarrow a} f(x) = \lim\limits_{x \rightarrow a} \cfrac{g(x)}{h(x)} = \lim\limits_{x \rightarrow a} \cfrac{g'(x)}{h'(x)}.

Was musst du also machen?

  • Schritt 1: Leite beide Funktionen g(x) und h(x) unabhängig voneinander ab.
  • Schritt 2: Bestimme den Grenzwert \lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{g'(x)}{h'(x)}.

Es kann passieren, dass du alles wie hier beschrieben berechnet hast, aber das Ergebnis immer noch unbestimmt ist, also zum Beispiel  \frac{g'(a)}{h'(a)}= \frac{0}{0}     oder \frac{g'(a)}{h'(a)} =\frac{\infty}{\infty}. Ist das der Fall, so musst du die Regel von l’Hospital einfach noch einmal anwenden.

l’Hospital Anwendungen

Zum Glück kann man l’Hospital nicht nur verwenden, wenn \lim\limits_{x \rightarrow a}f(x) = \frac{g(a)}{h(a)}   mit \frac{g(a)}{h(a)} = \frac{0}{0}   oder   \frac{g(a)}{h(a)}=\frac{\infty}{\infty}. Mit ein paar kleinen Tricks, kannst du die Aussage auch auf andere Funktionen übertragen. Dazu musst du sie nur auf die Form eines Quotienten  bringen. In der Tabelle zeigen wir dir alle Fälle, bei denen du mit l’Hospital Konvergenz oder Divergenz zeigen kannst und wie du die Funktionen am besten umformst. Die Spalte „Beispiele“ bezieht sich auf die im nächsten Abschnitt ausführlich berechneten Beispiele zu jedem der Fälle.

%hier ist schon mal die hässliche Tabelle eingefügt, sodass du dir vorstellen kannst, wie es dann aussehen soll, bzw. was drinstehen soll.  Das richtige Bild aus dem Video dann bitte hier einfügen.

Grenzwert
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Funktion
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Umformung
Beispiel
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entfällt 1
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2
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3
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4

Achtung: Die Rückrichtung gilt im Allgemeinen nicht! Aus der Existenz des Grenzwertes \lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{g(x)}{h(x)} kannst du nicht folgern, dass \lim\limits_{x \rightarrow a} \frac{g'(x)}{h'(x)} existiert! Falls du das nicht glauben solltest, ist hier ein Gegenbeispiel:

\lim\limits_{x \rightarrow \infty }\cfrac{g(x)}{h(x)} = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \cfrac{\sin(x)+x}{\cos(x)+x} = \lim\limits_{x \rightarrow \infty} \left( 1 +\cfrac{\sin(x)-\cos(x)}{\cos(x)-x}\right) = 1

Aber: \lim\limits_{x \rightarrow \infty }\cfrac{g'(x)}{h'(x)} = \lim\limits_{x \rightarrow \infty }\cfrac{\cos(x)+1}{-\sin(x)+1} existiert nicht! Diese Funktion divergiert.

l’Hospital Beispiele

Jetzt weißt du viel über die Theorie, nun zeigen wir dir für die in der oberen Tabelle aufgeführten Fälle verschiedene Beispiele:

Beispiel 1:  \cfrac{g(x)}{h(x)}

Gesucht ist hier \lim\limits_{x \rightarrow 0 }\cfrac{\sin(x)}{x}. Du hast also:

g(x) = \sin(x) mit \lim\limits_{x \rightarrow 0 }g(x) = 0

h(x) = x mit \lim\limits_{x \rightarrow 0 }h(x) = 0.

Wir können l’Hospital direkt anwenden! Dazu berechnen wir g'(x) = \cos(x) und h'(x) = 1 und erhalten:

 \lim\limits_{x \rightarrow 0 }\cfrac{\sin(x)}{x} = \lim\limits_{x \rightarrow 0 }\cfrac{\cos(x)}{1} = 1.

Manchmal kommt es auch vor, dass du die Regel von l’Hospital zweimal anwenden musst, um auf das Ergebnis zu kommen. Das erschwert die Sache zum Glück nicht besonders, wie dieses Beispiel zeigt. Gesucht sei

 \lim\limits_{x \rightarrow \infty } \cfrac{2x^2}{e^x}    mit    g(x) = 2x^2    und    h(x) = e^x.

Wir leiten beide Funktionen einmal ab, und erhalten g'(x) = 4x und h'(x) = e^x. Für x \rightarrow \infty gilt hier leider immer noch \frac{g'(x)}{h'(x)} = \frac{\infty}{\infty}. Durch erneutes Ableiten können wir das Problem jedoch leicht lösen

\lim\limits_{x \rightarrow \infty } \cfrac{2x^2}{e^x} = \lim\limits_{x \rightarrow \infty } \cfrac{4x}{e^x} = \lim\limits_{x \rightarrow \infty } \cfrac{4}{e^x} = 0.

Beispiel 2: g(x) \cdot h(x)

Etwas schwieriger ist die Berechnung von  \lim\limits_{x \rightarrow 0 }\ln(x) \cdot x. Gegeben ist

g(x) = \ln(x) \longrightarrow - \infty für x \rightarrow 0

h(x) = x \longrightarrow 0 für x \rightarrow 0

Damit du l’Hospital anwenden kannst, brauchst du die zweite Transformation der Tabelle und erhältst

\cfrac{g(x)}{\frac{1}{h(x)}} = \cfrac{\ln(x)}{\frac{1}{x}}.

Ableiten liefert mit der Regel von l’Hospital den gesuchten Grenzwert. Mit g'(x) = \frac{1}{x} und \left( \frac{1}{h(x)}\right)' = -\frac{1}{x^2} gilt:

\lim\limits_{x \rightarrow 0 } \ln(x) \cdot x = \lim\limits_{x \rightarrow 0 }\cfrac{\frac{1}{x}}{\frac{-1}{x^2} }= \lim\limits_{x \rightarrow 0 }  -x = 0.

Beispiel 3:  g(x) - h(x) 

Gesucht wird \lim\limits_{x \rightarrow 0 } \cfrac{1}{\ln(x+1)} - \cfrac{1}{x}. Wir haben also

g(x) = \cfrac{1}{\ln(x+1)} \longrightarrow \infty für x \rightarrow 0

h(x) = \cfrac{1}{x}\longrightarrow \infty für x \rightarrow 0.

Um den Grenzwert mit l’Hospital zu berechnen, brauchst du die Transformation gemäß Fall 3 in der Tabelle

\lim\limits_{x \rightarrow 0 } \cfrac{1}{\ln(x+1)} - \cfrac{1}{x} = \lim\limits_{x \rightarrow 0 } \cfrac{x-\ln(x+1)}{x \cdot \ln(x+1)}.

Zähler und Nenner leiten wir nun unabhängig voneinander ab (unter Verwendung der Produktregel )  und betrachten den Grenzwert

\lim\limits_{x \rightarrow 0 } \cfrac{1 - \frac{1}{x+1}}{\ln(x+1)+ \frac{x}{x+1}} = \lim\limits_{x \rightarrow 0} \cfrac{x}{(x+1) \cdot \ln(x+1)+x}

= \lim\limits_{x \rightarrow 0 } \cfrac{1}{\ln(x+1)+2} = \cfrac{1}{2} .

Beispiel 4: g(x)^{h(x)}

Ein Beispiel für den vierten in der Tabelle aufgeführten Fall ist die Bestimmung des Grenzwertes \lim\limits_{x \rightarrow -\infty }(x+e^x)^{\frac{1}{x}. Hier ist g(x) = x+e^x und h(x) = \frac{1}{x}, wir haben also den Fall -\infty^0 gegeben, denn

\lim\limits_{x \rightarrow -\infty }(x+e^x)=- \infty, und

\lim\limits_{x \rightarrow -\infty }\frac{1}{x}=0.

Damit wir eine Aussage zum Grenzwert treffen können, müssen wir die Funktion erst gemäß Zeile 4 der Tabelle mithilfe der e-Funktion umschreiben. Allgemein gilt x = e^{\ln(x)}, wir erhalten also

(x+e^x)^{\frac{1}{x}} =   e^{\ln \left( (x+e^x)^{\frac{1}{x}}\right)} = e^{\frac{1}{x} \ln(x+e^x)}.

Jetzt betrachten wir nur den Limes des Exponenten mit der Regel von l’Hospital:

\lim\limits_{x \rightarrow -\infty } \frac{ \ln(x+e^x) }{x}=\lim\limits_{x \rightarrow -\infty } \frac{1}{(x+e^x)} \cdot \left(1+e^x \right)=  0.

Damit gilt für unsere ursprüngliche Funktion

\lim\limits_{x \rightarrow -\infty } (x+e^x)^{\frac{1}{x}} = \lim\limits_{x \rightarrow -\infty } e^{\frac{1}{x} \ln(x+e^x)} = e^0 = 1.


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