Analysis

Integralrechnung

Hier fassen wir alles Wichtige zum Thema Integralrechnung zusammen und erklären es dir mit Merke-Kästen, Schritt-für Schritt-Anleitungen und Beispielen!

Statt einen langen Text zu lesen, möchtest du lieber, dass es dir jemand direkt erklärt? Schau dir dazu  einfach unser Video  an!

Inhaltsübersicht

Integralrechnung einfach erklärt

Die Integralrechnung ist ein Teilgebiet der Analysis, das eng mit der Differentialrechnung  verknüpft ist. Genauso, wie es bei der Differentialrechnung primär um die Bestimmung der Ableitung einer Funktion geht, beschäftigt sich die Integralrechnung mit der Bestimmung einer Stammfunktion und den Aussagen, die man daraus schließen kann. 

Ein Integral hat die folgende Form, die Bezeichnungen werden im Folgenden als bekannt vorausgesetzt.

Bestandteile der Integralrechnung
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Bestandteile der Integralfunktion

In diesem Text wollen wir nacheinander alle wichtigen Kapitel zur Integralrechnung vorstellen und dir dabei die wichtigsten Infos und Rechenregeln übersichtlich und logisch erklären. 

Stammfunktion

Die Bestimmung einer Stammfunktion ist das zentrale Thema der Integralrechnung und dient als Grundlage für alle weiteren Kapitel. Eine Stammfunktion ist wie folgt definiert:

Stammfunktion

Die Funktion F(x) heißt Stammfunktion von f(x), wenn F'(x) = f(x). 

Sehr praktisch ist, dass jede stetige Funktion f(x) eine solche Stammfunktion F(x) besitzt. Nur wie kann man sie berechnen? 

Dazu verwendest du den HDI, das ist der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. Er stellt den Zusammenhang zwischen Ableiten und Integrieren her.

Mit obiger Definition wäre es einfach, f(x) zu bestimmen, wenn du die Stammfunktion F(x) gegeben hast. Du müsstest einfach nur ableiten. Jetzt wollen wir diesen Vorgang sozusagen rückgängig machen, du kannst Integrieren (Aufleiten) als Umkehrung vom Ableiten auffassen!

Das bedeutet, du kannst eine Stammfunktion direkt über das Integral berechnen:

F(x) = \int f(x) dx.

Beispiel

Gesucht sei eine Stammfunktion von f(x) = 3x^2-4 . Wir suchen also eine Funktion F(x), die abgeleitet gerade f(x) = 3x^2-4 ergibt. Dazu berechnen wir 

\int 3x^2-4 dx.

Nun müssen wir uns überlegen, was abgeleitet 3x^2-4 ergeben würde und sehen sofort (unter Berücksichtigung der Ableitungsregeln ), dass

F(x) = x^3-4x+c.

Merke: Die Konstante c steht für eine beliebige reelle Zahl, die beim Ableiten von F(x) weg fällt. Du siehst also sofort, dass es unendlich viele Stammfunktionen zu f(x) gibt, je nachdem, was du für c einsetzt. 

Wie die Stammfunktionen für alle wichtigen Funktionen f(x) aussehen und wie du sie berechnest, erklären wir dir ausführlich in einem eigenen Artikel zu den Stammfunktionen.

Obige Definition der Stammfunktion ist sehr auf die Anwendung ausgelegt und zeigt dir, wie du sie am besten berechnen kannst. Etwas theoretischer kann man sie über die Integralfunktion definieren. 

Integralfunktion

Als Integralfunktion wird eine Funktion bezeichnet, die die folgende Form hat:

Integralfunktion 

F(x) = \int_a^x f(t) dt

Der Unterschied zur allgemeinen Stammfunktion besteht darin, dass hier ein bestimmtes Integral betrachtet wird, mit Untergrenze a und der Variablen x als Obergrenze. Hier berechnest du also eine konkrete Stammfunktion, die im Punkt a eine Nullstelle hat. 

Merke: Jede Integralfunktion F(x)= \int_a^x f(t) dt hat an ihrer unteren Integrationsgrenze a eine Nullstelle, d.h. F(a) = 0

Merke: Jede Integralfunktion ist eine Stammfunktion, aber nicht jede Stammfunktion ist auch eine Integralfunktion. Das gilt gerade weil eine Stammfunktion beliebig nach oben/unten verschoben werden kann. 

Funktion Stammfunktion Verschiebung durch Konstante
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Verschiebung der Stammfunktion durch Konstanten

Bestimmtes Integral und unbestimmtes Integral

Wie du gerade beim Unterschied zwischen Integralfunktion und Stammfunktion gesehen hast, gibt es in der Integralrechnung zwei Arten von Integralen, nämlich das bestimmte und das unbestimmte Integral.

Die unbestimmten Integrale stehen für die Gesamtheit der Stammfunktionen F(x)+c von f(x). Ein unbestimmtes Integral ist definiert als

Unbestimmtes Integral 

\int f(x) dx

Unbestimmte Integrale zu bestimmen, ist eine wesentliche Aufgabe in der Integralrechnung. Dazu integrierst du f(x) und berechnest so die allgemeine Stammfunktion. Hier ist es sehr wichtig, dass du die Konstante c nicht vergisst. 

Etwas schwieriger ist die Berechnung eines bestimmten Integrals. Es unterscheidet sich vom unbestimmten Integral nur durch die explizit angegebenen Integrationsgrenzen a und b

Bestimmtes Integral 

\int\limits_a^b f(x) dx

Willst du ein bestimmtes Integral berechnen, so interessierst du dich für die (mit einem Vorzeichen skalierte) Fläche, die f(x) im Intervall \left[a,b\right] mit der x-Achse einschließt. Als Ergebnis erhältst du keine Funktion, sondern eine Zahl!

Berechnung eines bestimmten Integrals

\int\limits_a^b f(x) dx = \biggl[F(x)\biggr]\limits_a^b = F(b) - F(a).

Zur Berechnung benötigst du die obige Formel.  Dabei kann gar nichts schief gehen, wenn du die folgende Schritt-für-Schritt-Anleitung befolgst. 

Anleitung: Bestimmtes Integral berechnen

Schritt 1: Berechne die Stammfunktion F(x) von f(x) und schreibe sie in eckige Klammern. Bringe sie also auf die Form 
Schritt 2: Setze nun deine beiden Integrationsgrenzen a und b in die Stammfunktion ein und berechne also  F(a) und F(b).
Schritt 3: Ziehe F(a) von F(b) ab, d.h. berechne F(b) - F(a).

Die genaue Vorgehensweise verstehst du am besten im nächsten Abschnitt anhand von einem kurzen Beispiel. 

Beispiel zum bestimmten Integral

Wir wollen das folgende bestimmte Integral berechnen

\int \limits_0^5 -\frac{1}{2}x+4 dx.

Flächeninhalt bestimmtes Integral
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Beispiel: Berechnung des bestimmten Integrals

 

  • Schritt 1: Wir berechnen die Stammfunktion F(x) = -\frac{1}{4}x^2+4x und schreiben sie in eckige Klammern:

\biggl[-\frac{1}{4}x^2+4x\biggr]\limits_0^5

  • Schritt 2: Nun setzen wir die beiden Integrationsgrenzen ein, wir berechnen also

F(5) = \biggl[ -\frac{1}{4}\cdot 5^2+4\cdot 5\biggr]= 13,75   und   F(0)= \biggl[-\frac{1}{4}\cdot 0^2+4\cdot 0\biggr] = 0.

  • Schritt 3: Als letztes ziehen wir die beiden Werte voneinander ab

F(5)-F(0)= 13,75 - 0 = 13,75 .

Mit dieser Integralrechnung weißt du, dass dein Integral mit der x-Achse im Intervall [0,2] ein Flächenstück mit dem Flächeninhalt 13,75 einschließt.

Merke:  Beim Integrieren eines bestimmten Integrals kannst du diese Konstante c einfach weglassen, da sie in Schritt 3 sowieso wegfallen würde. 

Zur Integralrechnung mit bestimmten Integralen gibt es noch einige Besonderheiten, d.h. Regeln, die dir sagen, wann du ein Integral in einer Integralrechnung zusammenfassen darfst, oder wie du die Integrationsgrenzen vertauschst. Ausführlich findest du diese Regeln im Video zu den bestimmten und unbestimmten Integralen  erklärt. 

Bisher kennst du den Unterschied zwischen einem bestimmten und einem unbestimmten Integral und weißt, was eine Stammfunktion ist. Wir haben dir aber noch nicht  genauer erklärt, wie du die Stammfunktion bei einer Integralrechnung findest, d.h. wie du integrierst. Im nächsten Abschnitt fassen wir die Regeln kurz zusammen, ausführlich erklärt und mit vielen weiteren Beispielen und Aufgaben findest du sie in unserem Video zu den Integrationsregeln

Integrationsregeln

Genauso wie es beim Ableiten verschiedene Regeln, wie z.B. die Produktregel oder die Quotientenregel gibt, musst du auch beim Integrieren einiges beachten. Immerhin machst du die Ableitungsregeln sozusagen „rückgängig“. Was genau du zu tun hast, erklären wir dir in den nächsten Abschnitten. Dabei formulieren wir die Integrationsregeln nur für unbestimmte Integrale, für bestimmte Integrale gelten sie natürlich analog. 

  • Die wichtigste Regel der Integralrechnung ist die Potenzregel, die immer dann verwendet wird, wenn die Integralrechnung Potenzfunktionen enthält. Sie besagt
    Potenzregel 

    \int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1}+c

Offensichtlich erhält man beim Ableiten der rechten Seite wieder f(x) = x^n.

  • Die Faktorregel ist die einfachste Integrationsregel. Du benutzt sie immer, wenn deine Funktion einen konstanten Faktor enthält. Diesen kannst du dann „vor das Integral ziehen“, du klammerst ihn sozusagen aus. Es gilt
    Faktorregel

    \int c \cdot f(x) dx= c \cdot \int f(x)dx.

  • Die dritte der Integrationsregeln ist die Summenregel. Du verwendest sie immer, wenn dein Integral eine Summe enthält. Mit dieser Integrationsregel kannst du das Integral aufsplitten und die beiden Summanden einzeln berechnen. Das bedeutet
    Summenregel 

    \int f(x)+g(x) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx.

  • Wenn das Integral stattdessen eine Differenz enthält, gehst du analog zur Summenregel vor und erhältst die Differenzregel
    Differenzregel 

    \int f(x)-g(x) dx = \int f(x) dx - \int g(x) dx.

Beispiel

Um die nachfolgende Integralrechnung durchzuführen, benötigen wir alle obigen Integrationsregeln. Gesucht sei

\int 2x^4-3x^2+4 dx.

Mithilfe der Summen- und der Differenzregel dürfen wir das Integral im ersten Schritt „auseinanderziehen“ und erhalten 

\int 2x^4dx - \int 3x^2dx  + \int 4dx.

Nun wenden wir jeweils die Faktorregel und die Potenzregel an, integrieren und erhalten

\frac{2}{5}x^5-x^3  +4x + c.

  • Auch für Sinus und Cosinus gibt es in der Integralrechnung spezielle Regeln. 
    Integration von Sinus und Cosinus 

    \int \sin(x) dx = -\cos(x)+c\quad \text{und} \quad \int \cos(x)dx = \sin(x)+c.

     

  • Bei der e-Funktion ist die Integralrechnung nicht schwer: 

    Integration e-Funktion

    \int e^x dx = e^x+c.

    Etwas komplizierter ist es bei der ln-Funktion \ln(x). Hier kannst du das Integral mithilfe der partiellen Integration bestimmen und erhältst

    Integration ln-Funktion 

    \int \ln(x)dx = \int \ln(x)\cdot 1 dx = x\cdot \ln(x)-x+c.

    Vielleicht weißt du, dass von f(x) = \ln(x) die Ableitung f'(x) = \frac{1}{x} ist. Damit ist F(x)=\ln\left(|x|\right) natürlich die Stammfunktion von f(x)=\frac{1}{x}. Dies ist ein Spezialfall der logarithmischen  Integrationsregeln

    logarithmische Integration

    \int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln\left(|f(x)| \right).

Beispiel

Wir wollen die Funktion f(x) = \frac{-2x-3}{x^2+3x} integrieren, also

F(x) = \int \frac{-2x-3}{x^2+3x} dx

Bei genauer Betrachtung des Zählers und des Nenners siehst du, dass im Zähler beinahe die Ableitung des Nenners steht. Um die logarithmische Integrationsregel anwenden zu können, musst du den Zähler also etwas umformen. Dazu klammern wir (-1) aus und ziehen es mit der Faktorregel vor das Integral:

F(x)=\int \frac{-2x-3}{x^2+3x} dx = (-1) \int \frac{2x+3}{x^2+3x} .

Nun können wir die Regel der logarithmischen Integration anwenden und erhalten als Ergebnis F(x) = -\ln|x^2+3x|.

Merke: In den meisten Fällen, in denen du die Stammfunktion eines Bruches berechnen musst, verwendest du entweder die logarithmische Integrationsregel oder schreibst den Ausdruck in eine Potenzfunktion um. 

Flächenintegral

Mit einem bestimmten Integral kann das Flächenstück berechnet werden, das der Funktionsgraph mit der x-Achse im Intervall zwischen den Integrationsgrenzen einschließt. Grund hierfür ist die Definition des Integrals als Grenzwert der Ober- bzw. Untersummen einer Funktion. Was genau das zu bedeuten hat, erfährst du im nächsten Abschnitt. 

Obersumme und Untersumme

Eine alternative Definition des Integrals benutzt die Obersumme und die Untersumme. Die Idee dabei ist, dass der Flächeninhalt, den eine Funktion mit der x-Achse im Intervall [a,b] einschließt, durch immer schmaler werdende Rechtecke angenähert werden kann. Je schmaler die Rechtecke dabei werden, desto genauer ist die Annäherung! Nähert man den Flächeninhalt von „unten“, so spricht man von Untersumme. Ein Beispiel mit sehr grober Unterteilung siehst du im unten stehenden Bild. 

Untersumme
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Beispiel: Untersumme

Hier sieht man auch direkt, dass die Annäherung für schmalere Rechtecke zunehmend besser wird! 

Wenn man sich dem Flächeninhalt  von „oben“ her annähert, spricht man von der Obersumme. Das Prinzip ist dabei gleich, wie bei der Untersumme, auch hier zeigt dir die unten stehende Abbildung ein Beispiel für eine relativ grobe Unterteilung.

Obersumme
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Beispiel: Obersumme

 

Das Integral kann man nun als Grenzwert interpretieren, dem sich Obersumme (O) und Untersumme (U) bei immer feiner werdender Unterteilung annähern. Wenn wir die Feinheit der Unterteilung als \mu definieren, gilt damit im Intervall [a,b]

\lim_{\mu \rightarrow 0} U(\mu) = \int\limits_a^bf(x) dx = \lim_{\mu \rightarrow 0} O(\mu)

Achtung: Willst du mit einem bestimmten Integral das Flächenstück berechen, das der Funktionsgraph mit der x-Achse zwischen den Integrationsgrenzen einschließt, musst du das Vorzeichen bedenken! Es gilt:

f(x) > 0 \quad  \forall x \in [a, b] \quad \Longrightarrow \quad \int \limits_a^b f(x) > 0

f(x) < 0 \quad \forall x \in [a, b]  \quad \Longrightarrow \quad \int \limits_a^b f(x) < 0

Fläche Flächenintegral Sinus bestimmtes Integral
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Beispiel: Flächenintegral Sinus

 

Das bedeutet, dass wir den Flächeninhalt unterhalb der x-Achse nur mit einem negativen Vorzeichen versehen berechnen können. Daher musst du bei der Integralrechnung eines Flächenintegrals die im nächsten Abschnitt vorgestellte Anleitung beachten.

Anleitung: Flächenintegral berechnen

Schritt 1: Bestimme zuerst die Nullstellen von f(x). Liegt eine Nullstelle zwischen deinen Integrationsgrenzen?
Schritt 2: Falls nein, berechne wie gewohnt das bestimmte Integral. 
Falls ja, unterteile dein Intervall in einen positiven und einen negativen Teil und berechne die Integrale separat. Addiere dann die Beträge der Ergebnisse.

Damit du diese Vorgehensweise noch besser verstehst, und es dir direkt vorstellen kannst, wollen wir das Beispiel aus dem obigen Bild genauer untersuchen. 

Beispiel zum Flächenintegral

Nun wollen wir uns das Flächenintegral aus obigem Bild genauer anschauen. Dort siehst du die Sinus-Funktion im Intervall [ -\pi, \pi] abgebildet. Wollen wir den Flächeninhalt berechnen, den \sin(x) in diesem Intervall mit der x-Achse einschließt, betrachten wir also das Integral

\int \limits_{-\pi}^\pi \sin(x)dx.

Hier sieht man sofort, dass \sin(0)=0 ist. Deswegen müssen wir unser Intervall aufteilen, um den Flächeninhalt zu bestimmen. 

A = \left| \int \limits_{-\pi}^0\sin(x)dx\right| +\left| \int \limits_0^\pi \sin(x)dx\right|.

Diese Integralrechnung können wir nun durchführen, indem wir im ersten Schritt die Stammfunktion F(x) = -\cos(x) von f(x) = \sin(x) bestimmen. Im zweiten Schritt setzen wir die Integrationsgrenzen ein und erhalten

=\left| \biggl[-\cos(x)\biggr]\limits_{-\pi}^0\right| + \left| \biggl[-\cos(x)\biggr]\limits_0^\pi\right|

= 2+2 = 4

Flächen zwischen zwei Graphen

Im Abschnitt zuvor haben wir die Fläche zwischen dem Funktionsgraphen und der x-Achse im Intervall [a,b] mithilfe des bestimmten Integrals berechnet. Integralrechnung kannst du auch dazu verwenden, um den Flächeninhalt zwischen zwei Graphen in einem bestimmten Intervall zu berechnen. Angenommen, du willst die Fläche berechnen, die die beiden Funktionsgraphen f(x) und g(x) einschließen. Die Idee ist, zuerst die Fläche zu berechnen, welche die obere Funktion mit der x-Achse einschließt, und davon dann die Fläche abziehen, die die untere Funktion mit der x-Achse einschließt. Das bedeutet:

\int f(x) dx - \int g(x)dx = \int f(x)-g(x) dx

Das allgemeine Vorgehen findest du in der Tabelle im nächsten Abschnitt erklärt.

Anleitung: Fläche zwischen zwei Graphen berechnen

Schritt 1: Berechne alle Schnittpunkte von f(x) und g(x), d.h. berechne f(x)=g(x). 
Schritt 2: Bestimme für die Intervalle zwischen den Schnittpunkten jeweils die obere und die untere Funktion.
Schritt 3: Stelle die Integrale zwischen den Schnittpunkten auf, indem du die untere Funktion von der oberen abziehst. D.h. bestimme
Schritt 4: Berechne die Integrale!

Diese Vorgehensweise wollen wir nun an einem Beispiel umsetzen. 

Beispiel zur Flächenberechnung zwischen zwei Graphen

Wir wollen mithilfe der Integralrechnung die Fläche bestimmen, die die beiden Funktionen g(x) = x^2-6x+10 und f(x) = x^3-8x^2+20x-14 einschließen.

Fläche zwischen Graphen Integral Flächenintegral
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Fläche zwischen zwei Graphen

 Dazu berechnen wir zuerst ihre Schnittpunkte. Das geht entweder mit dem Satz von Vieta, oder durch geschicktes Raten der ersten Nullstelle.

f(x) = g(x)

\Longleftrightarrow x^2-6x+10 = x^3-8x^2+20x-14

\Longleftrightarrow (x-2)(x-4) =(x-2)^2(x-4)

\Longrightarrow x_1 = 2, \quad x_2 = 3, \quad x_3 = 4

Im Intervall [2,3] ist f(x)>g(x), während im Intervall [3,4] g(x)>f(x). Somit lassen sich nun die Teilintervalle aufstellen, mit denen wir den Flächeninhalt bestimmen können. 

\int \limits_2^3 f(x)-g(x) dx +\int\limits_3^4g(x)-f(x) dx

=  \int \limits_2^3 (x^3-8x^2+20x-14)-(x^2-6x+10) dx +\int\limits_3^4 ( x^2-6x+10)- (x^3-8x^2+20x-14) dx

= \int \limits_2^3 x^3-9x^2+26x-24 dx +\int\limits_3^4 -x^3+9x^2-26x+24 dx

= \left[\frac{1}{4}x^4-3x^3+13x^2-24x\right]\limits_2^3+ \left[-\frac{1}{4}x^4+3x^3-13x^2+24x\right]\limits_3^4

= 0,25+0,25 = 0,5

Merke: Statt bei jeder Integralrechnung zu überlegen, welches die obere und welches die untere Funktion ist, kannst du die Integralrechnung auch mit Betragstrichen aufstellen. Berechne dazu einfach in jedem Abschnitt \left| \int \limits_{x_1}^{x_2} f(x)-g(x) dx\right| und addiere die Ergebnisse.

Rotationskörper

Auch beim Thema Rotationskörper spielt die Integralrechnung eine wichtige Rolle. Ein Rotationskörper entsteht, wenn du eine Fläche im Koordinatensystem (z.B. ein Dreieck) um eine der beiden Koordinatenachsen rotieren lässt.

Es gibt verschiedene Formeln, mit denen du jeweils das Volumen des Rotationskörpers oder seine Mantelfläche bei einer Drehung um die x-Achse bzw. um die y-Achse bestimmen kannst. Detailliert findest du alle Formeln und Beispiele in diesem Video .

Merke: In der Integralrechnung gibt es unterschiedliche Formeln für die Rotation um die x-Achse und die Rotation um die y-Achse! Pass auf, dass du die beiden nicht verwechselst!

Uneigentliche Integrale

Ein uneigentliches Integral ist ein Integral, dessen Grenzen kritische Werte enthalten. Dafür gibt es zwei Möglichkeiten. Entweder sind die Integrationsgrenzen unbeschränkt, d.h. a =- \infty oder b=\infty, oder f(x) ist an den Integrationsgrenzen nicht definiert. Zur Berechnung eines uneigentlichen Integrals an seiner kritischen Grenze gehst du wie folgt vor.

Anleitung: Uneigentliche Integrale berechnen

Schritt 1: Ersetze die kritische Grenze b durch eine Variable :


Schritt 2: Berechne das Integral in Abhängigkeit von :
Schritt 3: Bestimme, falls vorhanden, den Grenzwert:

Merke: Wenn du ein uneigentliches Integral mit zwei kritischen Grenzen gegeben hast, musst du es aufteilen und die beiden Limiten separat berechnen. Hier findest du weitere Aufgaben zum selber rechnen, damit du es noch besser verstehst. 

Partielle Integration 

Enthält die Integralrechnung ein Produkt, so gibt es ebenfalls eine spezielle Regel der Berechnung: Die partielle Integration. Hier wird sozusagen die Produktregel rückgängig gemacht. Es gilt die folgende Formel, die wir dir ausführlich mit vielen Beispielen in einem separaten Video erklären. 

Partielle Integration

\int \limits_a^b f'(x) \cdot g(x) dx = \biggl[f(x) \cdot g(x)\biggr]\limits_a^b -\int\limits_a^b f(x)\cdot g'(x) dx.

Beispiel

Wir wollen \int\limits_0^\pi x \cdot \sin(x) dx mittels partieller Integration berechnen. Hier ist f'(x)=\sin(x) und g(x) = x. Die Auswahl treffen wir so, dass das Integral im letzten Schritt, wenn wir g'(x) berechnen, wirklich einfacher wird. Damit gilt:

\int\limits_0^\pi x\cdot \sin(x)dx = \biggl[-x\cdot \cos(x)\biggr]\limits_0^\pi - \int\limits_0^\pi - \cos(x) dx = \pi +\sin(\pi)-\sin(0)=\pi.

Merke: Manchmal musst du bei einer Integralrechnung mehrmals partiell integrieren.

Merke: Entscheidend ist, dass du f'(x) und g(x) richtig wählst. Die Merkhilfe LIATE erklären wir dir hier  ausführlich.

Integration durch Substitution

Für die Integrationsregeln zur Substitution haben wir ebenfalls ein eigenes, ausführliches Video für dich vorbereitet. Hier behandeln wir kurz die Formel und ein typisches Beispiel. Du verwendest die Substitutionsregel in der Integralrechnung ähnlich wie die Kettenregel beim Ableiten, also immer wenn du eine innere Funktion v(x) und eine äußere Funktion u(x)  gegeben hast, d.h. wenn f(x) = u(v(x)). Substituierst du v(x) = y, erhältst du

Integration durch Substitution 

\int\limits_a^b u(v(x))\cdot v'(x) = \int\limit_{v(a)}^{v(b)} u(y)dy.

Beispiel

Gesucht ist die die Lösung des Integrals \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x)dx . Wir substituieren y=2x und erhalten durch Ableiten und Umstellen dx = \frac{1}{2}dy. Einsetzen in das Integral ergibt nach Anpassung der Integrationsgrenzen

\int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x)dx=\int\limits_0^\pi \sin(y)\cdot\frac{1}{2}dy = \biggl[\frac{-\cos(y)}{2}\biggr]\limits_0^\pi = 1.

Merke: Vergiss nicht, deine Integrationsgrenzen anzupassen, und das dx richtig zu ersetzen!

Mittelwertsatz der Integralrechnung

Eine zentrale Aussage der Integralrechnung ist der Mittelwertsatz der Integralrechnung. Manchmal wird er auch als Cauchyscher Mittelwertsatz bezeichnet. Er existiert in verschiedenen Fassungen und erlaubt die Abschätzung von Integralen, ohne dass man sie explizit berechnen muss.

In der allgemeinen Fassung besagt der Mittelwertsatz der Integralrechnung, dass für ein stetiges f:[a,b] \longrightarrow \mathbb{R} und ein integrierbares g:[a,b] \longrightarrow \mathbb{R} ohne Vorzeichenwechsel ein \xi \in [a,b] existiert, sodass 

\int\limits_a^b f(x)g(x) dx = f(\xi)\int\limits_a^b g(x) dx.

Insbesondere für den Spezialfall g=1 ergibt sich

\int\limits_a^b f(x) dx = f(\xi)(b-a).

Geometrisch lässt sich dieser „erste Mittelwertsatz der Integralrechnung“ so interpretieren, dass zu jedem Flächeninhalt, den f(x) mit der x-Achse einschließt, ein entsprechendes Rechteck mit derselben Fläche gefunden werden kann.

Mittelwertsatz der Integralrechnung
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Mittelwertsatz der Integralrechnung

Das ist insbesondere dann sehr praktisch, wenn du den durchschnittlichen Wert einer Funktion im Intervall [a,b] bestimmen möchtest. Dieser ist nämlich gerade f(\xi)! Wenn also nach dem Durchschnitt aller y-Werte im Intervall [a,b] gefragt ist, berechnest du

f(\xi) = \frac{1}{b-a}\int\limits_a^b f(x)dx = \frac{1}{b-a}\left[F(b) - F(a)\right].

Merke: Zentral wichtig ist bei dieser Integralrechnung, dass g(x) im Intervall [a,b] keinen Vorzeichenwechsel enthält, d.h. dass  g(x) < 0\quad  \forall x \in [a,b]   oder   g(x) > 0 \quad\forall x \in [a,b]. Ohne diese Forderung ist der Satz im Allgemeinen nicht gültig!

Kurvenintegrale

Bisher haben wir immer Integralrechnung nur für reelle Funktionen betrachtet. Mit dem Kurvenintegral kann man auch über Funktionen integrieren, deren Definitionsmenge D eine Teilmenge des \mathbb{R}^n ist. Entlang der Kurve \gamma, die diese Teilmenge umfasst, wird dann integriert. 

Kurvenintegrale 1. Art sind Kurvenintegrale einer skalaren Funktion f:\mathbb{R}^n\supset D\rightarrow \mathbb{R}. Sie ordnen jedem Wert x\in D\subset\mathbb{R}^n eine reelle Zahl f(x)\in\mathbb{R} zu.

Ist die Teilmenge D\subset\mathbb{R}^n offen und \gamma:[a,b]\rightarrow \mathbb{R} die Parametrisierung einer stückweise stetig differenzierbaren Kurve. Dann heißt

\int\limits_{\gamma}f\mathrm{d}s:=\int\limits_a^b f\left(\gamma(t)\right)\cdot\left\lVert\dot{\gamma}(t)\right\rVert\mathrm{d}t

das Kurvenintegral 1. Art von f längs der Kurve \gamma.

Analog dazu gibt es in der Integralrechnung das Kurvenintegral 2. Art für vektorwertige Funktionen. Wie genau es definiert ist und wie du es berechnest, erfährst du hier . Allgemein kannst du bei der Integralrechnung eines Kurvenintegrals folgendermaßen vorgehen.

Anleitung: Kurvenintegrale berechnen

Schritt 1: Parametrisiere die Kurve und setze sie in f ein.
Schritt 2: Bestimme das Bogenelement ds. Es kann je nach Art des Kurvenintegrals skalar oder vektorwertig sein.
Schritt 3: Berechne das Kurvenintegral.

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