Analysis

Produktregel

Du möchtest wissen, was die Produktregel in der Mathematik besagt und wie sie angewandt werden kann? Im folgenden Artikel erklären wir dir die allgemeine Form der Produktregel und zeigen dir mehrere Beispiele dazu.

Du willst den Inhalt dieses Artikels in audiovisueller Form sehen? Dann schau dir gerne unser Video  zur Produktregel an.

Inhaltsübersicht

Produktregel einfach erklärt

Die Produktregel ist eine Methode der Differentialrechnung. Du verwendest sie, wenn du ein Produkt ableiten möchtest.

Produktregel

f(x) = u(x) \cdot v(x) \quad \rightarrow \quad f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x).

Dabei ist es wichtig, dass das Produkt aus zwei Funktionen mit jeweils der Variable x besteht, hier u(x) und v(x), und es sich um differenzierbare Funktionen handelt.

Da die Produktregel von dem deutschen Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz aufgestellt wurde, kannst du sie auch als Leibnizregel bezeichnen

Produktregel Aufgaben

Um das Vorgehen in  der Praxis anwenden zu können, betrachten wir nun zwei Beispiele. 

Einfaches Beispiel

Berechne die Ableitung der folgenden Funktion:

f(x) = \underbrace{2x^2}_{u(x)} \cdot \underbrace{x^3}_{v(x)}.

Bei dieser Aufgabe kannst du die Produktregel anwenden. Es ist nützlich, wenn du zuerst die Ableitungen der beiden Teilfunktionen u(x) und v(x) berechnest.

Um die Ableitung einer Potenzfunktion zu bilden, musst du die sogenannte Potenzregel  anwenden. Sie liefert dir:

u'(x) = 4x und v'(x) = 3x^2.

Diese Ergebnisse kannst du nun in die Formel der Produktregel einsetzen:

f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)

= 4x \cdot x^3 + 2x^2 \cdot 3x^2

Schließlich kannst du es noch folgendermaßen vereinfachen:

f'(x) = 4x^4 + 6x^4 = 10x^4.

In diesem Fall hättest du die Produktregel umgehen können, indem du zuvor f(x)=2x^2 \cdot x^3 zu f(x)=2x^5 zusammenfasst und im Anschluss die Potenzregel anwendest. 

Produktregel e Funktion

Jetzt noch ein Beispiel für die Anwendung der Produktregel mit einer e Funktion:

Berechne die Ableitung der Funktion g(x):

g(x) = x^2 \cdot e^{2x}.

Dafür berechnest du mit der Potenzregel  die Ableitung der Funktion u(x)=x^2. Zudem musst du mit der Kettenregel  die e Funktion ableiten  können. Hast du das getan, erhältst du: 

u'(x) = 2x und v'(x) = 2 e^{2x}.

Nun setzt du für die Ableitung f'(x) deine Ergebnisse in die Formel der Produktregel ein:

g'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x)

= 2x \cdot e^{2x} + x^2 \cdot 2 e^{2x}.

Produktregel bei 3 oder mehr Termen

Wenn du einen Term ableiten möchtest, der aus drei oder mehr Produkten besteht, kannst du die Produktregel wie folgt anwenden:

f(x) = u(x) \cdot v(x) \cdot w(x)

\rightarrow f'(x) = u'(x) \cdot v(x) \cdot w(x) + u(x) + v'(x) \cdot w(x) + u(x) \cdot v(x) \cdot w'(x)

Du kannst dir merken, dass du die Regel für jeden Faktor einfach fortsetzen musst.

Produktregel Herleitung

Wir wollen im Folgenden die Produktregel herleiten. Dafür verwenden wir die h Methode, um die Steigung der Funktion 

f(x)=u(x) \cdot v(x)

zu berechnen. Sie lautet: 

f'(x)= \lim \limits_{h \to 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}.

In diese Formel setzt du nun deine Funktion f(x)=u(x) \cdot v(x) ein. Das ergibt:

f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac {u(x+h) \cdot v(x+h) - u(x) \cdot v(x)}{h}}.

Für den nächsten Schritt ist eine Ergänzung um den Term -u(x) \cdot v(x+h)+ u(x) \cdot v(x+h) notwendig:

f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac {u(x+h) \cdot v(x+h) - u(x) \cdot v(x+h)+ u(x) \cdot v(x+h) - u(x) \cdot v(x)}{h}.

Danach werden die Terme v(x+h) und u(x) ausgeklammert:

f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac {(u(x+h) - u(x)) \cdot v(x+h) + u(x) \cdot (v(x+h) - v(x))}{h}

Dieser Ausdruck lässt sich wie folgt umschreiben:

f'(x) = \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac {u(x+h)-u(x)}{h} \cdot \lim\limits_{h \rightarrow 0} {v(x+h)} + \lim\limits_{h \rightarrow 0}{u(x)} \cdot \lim\limits_{h \rightarrow 0}{\frac{v(x+h)-v(x)}{h}}

Wenn sich h nun null annähert, ergibt sich folgende Form:

f'(x) = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x).

Weitere Ableitungsregeln

Die Produktregel ist eine von vielen Ableitungsregeln der Differentialrechnung. Weitere wichtige Ableitungsregeln sind: 

Ableitungsregel Funktion Ableitung
Quotientenregel f(x)=\frac{g(x)}{h(x)} f'(x)=\frac{g'(x)\cdot h(x)-g(x)\cdot h'(x)}{[h(x)]^2}
Summenregel f(x)=g(x)+h(x) f'(x)=g'(x)+h'(x)
Differenzregel f(x)=g(x)-h(x) f'(x)=g'(x)-h'(x)
Kettenregel f(x)=g(h(x)) f'(x)=g'(h(x))\cdot h'(x)
Potenzregel f(x)=x^n f'(x)=n\cdot x^{n-1}
Faktorregel f(x)=a\cdot g(x) f'(x)=a \cdot g'(x)

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