Analysis

Wendepunkt berechnen

Du hast eine Funktion gegeben und möchtest den Wendepunkt berechnen? Hier erklären wir dir Schritt für Schritt wie du die Wendestelle einer Funktion ermittelst.

Du möchtest das Thema Wendepunkt berechnen in kürzester Zeit verstehen und anwenden können? Dann schau dir unser Video dazu an.

Inhaltsübersicht

Wendepunkt berechnen einfach erklärt

Stell dir einen Funktionsgraphen als eine Straße vor, die du mit dem Auto befährst. Befindest du dich auf einer Linkskurve, so drehst du dein Lenkrad nach links. Folgt anschließend eine Kurve nach rechts, drehst du das Lenkrad nach rechts. Dabei wird der Moment, in dem dein Lenkrad wieder in der neutralen Position ist, als Wendepunkt bezeichnet.

Das heißt, der Wendepunkt ist der Moment, in dem der Funktionsgraph von einer Links- in eine Rechtskrümmung wechselt oder umgekehrt.  

Wendepunkt berechnen
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Wendepunkt einer Funktion

Schritt-für-Schritt Anleitung: Wendepunkt berechnen

Nun zeigen wir dir Schitt für Schritt, wie du den Wendepunkt einer Funktion f berechnen kannst:

Schritt 1: Du bestimmst die zweite und dritte Ableitung der Funktion f.

Schritt 2: Jetzt setzt du f^{\prime \prime}(x) = 0  und ermittelst die passenden x-Werte.

Schritt 3: Du setzt die ermittelten x-Werte in die dritte Ableitung ein. Ist f^{\prime \prime \prime}(x) \neq 0, so handelt es sich um eine Wendestelle.

Schritt 4: Um nun die genauen Koordinaten der Wendepunkte zu errechnen, setzt du die x-Werte in deine Funktion f ein.

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Beispiel

Mit der Schritt-für-Schritt Anleitung zeigen wir dir nun an einem konkreten Beispiel, wie du einen Wendepunkt berechnen kannst. Dafür betrachten wir das folgende Polynom

f(x) = x^3 - 3x^2.

Schritt 1: Als erstes berechnen wir die Ableitungen der Funktion.

f^\prime(x) = 3x^2 - 6x

f^{\prime \prime}(x) = 6x - 6

f^{\prime \prime \prime}(x) = 6

Schritt 2: Nun setzen wir die zweite Ableitung gleich null und ermitteln die x-Werte:

6x - 6 = 0

x = 1

Damit haben wir schon mal eine mögliche Stelle, an der sich eine Wendestelle befinden kann.

Schritt 3: Damit wir aber sagen können, ob es sich bei dem ermittelten Wert um eine Wendestelle handelt, setzen wir den Punkt in die dritte Ableitung ein

f^{\prime \prime \prime}(1) = 6 \neq 0.

Die dritte Ableitung ist also ungleich null und damit haben wir bei x = 1 eine Wendestelle.

Schritt 4: Wir wissen nun, dass bei x = 1 eine Wendestelle existiert und setzen jetzt den x-Wert x=1 in die Funktion f ein, um so die genaue y-Koordinate des Wendepunktes zu ermitteln

f(1) = -2.

Insgesamt haben wir damit den Wendepunkt an der Stelle W (1\vert -2) bestimmt.

Wendepunkt berechnen, Wendepunkt, Wendestelle
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Wendepunkt der Funktion

 

Wichtige Begriffe der Kurvendiskussion

Bevor wir etwas mehr auf die Mathematik des Wendepunktes eingehen, geben wir dir an dieser Stelle eine kleine Übersicht wichtiger Begriffe, die du im Zusammenhang mit der Kurvendiskussion beherrschen solltest:

%Klicke einfach auf den Link, um mehr zu diesen Themen zu erfahren!

Wendepunkt berechnen: Weiterführende Erklärung

Jetzt weißt du, wie du die Wendepunkte einer Funktion berechnest, aber warum genau machst du diese Schritte?

Die zweite Ableitung f^{\prime \prime}(x) beschreibt das Krümmungsverhalten der Funktion f(x). Ist f^{\prime \prime}(x) < 0, so ist f an der Stelle rechtsgekrümmt, ist f^{\prime \prime}(x) > 0, so liegt eine Linkskrümmung vor. Das heißt bei einem Wendepunkt findet ein Vorzeichenwechsel bei der zweiten Ableitung statt, weshalb du für das Finden von Wendestellen die zweite Ableitung gleich 0 setzt.

Ist die dritte Ableitung f^{\prime \prime \prime}(x) \neq 0, so ist der Fall, dass bei f^{\prime \prime}(x) an der kritischen Stelle ein Extremum ist, ausgeschlossen. Wäre dort nämlich ein Extremum, so fände bei der zweiten Ableitung kein Vorzeichenwechsel, also keine Änderung des Krümmungsverhaltens von f statt.

Aus diesem Grund überprüfst du in einer extra Rechnung, ob die dritte Ableitung an den ermittelten x-Werten ungleich 0 ist.

Wendepunkt berechnen Aufgaben

Damit du dir das Thema „Wendepunkt berechnen“ noch besser verinnerlichen kannst, bieten wir dir zwei Aufgaben an, die wir zusammen lösen.

Aufgabe 1: Wendepunkt einer Polynomfunktion

Gegeben ist folgende Funktion

f(x) = - \frac{1}{3}x^4 +x^3 +2

a) Berechne die zweite und dritte Ableitung der Funktion f.

b) Bestimme, an welchen Punkten sich eine Wendestelle befinden könnte.

c) Handelt es sich bei den gefundenen Werten um Wendestellen? Wenn ja, wie lauten die genauen Koordinaten?

Lösung: Aufgabe 1

a) Zum Berechnen der Ableitungen verwenden wir die Potenz- und Faktorregel und erhalten somit:

f^\prime(x) = -\frac{4}{3}x^3 + 3x^2

f^{\prime \prime}(x) = -4x^2+6x

f^{\prime \prime \prime}(x) = -8x+6.

b) Um mögliche Wendestellen zu finden, setzen wir  f^{\prime \prime}(x) = -4x^2 + 6x = 0 und erhalten damit zwei mögliche Wendestellen bei

x_{1} = 0

x_{2} = 1,5.

Das sind die potenziellen x-Werte der Wendepunkte.

c) Um zu überprüfen, ob sich bei x_{1} und x_{2} tatsächlich eine Wendestelle befindet, setzen wir die Werte in die dritte Ableitung ein und erhalten somit 

f^{\prime \prime \prime}(x_{1}) = 6 \neq 0

f^{\prime \prime \prime}(x_{2}) = -6 \neq 0.

Die Bedingung für eine Wendestelle ist somit erfüllt. Damit können wir an den Stellen x_{1} =0 und x_{2} = 1,5 ein Wendepunkt berechnen. Setzen wir nun die Werte x_1 und x_2 in die Funktion f ein,

f(0)=2

f(1,5)=3,6875,

dann erhalten wir die Wendepunkte W_{1} (0 \vert 2) und W_{2} (1,5 \vert 3,6875).

Augabe 2: Wendepunkt einer gebrochenrationalen Funktion

Gegeben ist die gebrochenrationale Funktion

f(x) = \frac{x^2}{x^2+4}

a) Berechne die zweite und dritte Ableitung der Funktion f.

b) Bestimme, an welchen Punkten sich eine Wendestelle befinden könnte.

c) Handelt es sich bei den gefundenen Werten um Wendestellen? Wenn ja, wie lauten die genauen Koordinaten?

Lösung: Aufgabe 2

a) Wir verwenden die Quotientenregel um die Ableitungen zu berechnen und erhalten

f^\prime(x) = \frac{8x}{(x^2+4)^2}

f^{\prime \prime}(x) = \frac{8(-3x^2+4)}{(x^2+4)^3}

f^{\prime \prime \prime}(x) = \frac{96x(x^2-4)}{(x^2+4)^4}

b) Wir setzen f^{\prime \prime}(x) = \frac{8(-3x^2+4)}{(x^2+4)^3} = 0 und lösen diese Gleichung. Wir erhalten mit 

x_{1} = \frac{2}{\sqrt{3}}

x_{2} = -\frac{2}{\sqrt{3}}

die möglichen Positionen der Wendepunkte.

c) Nun setzen wir x_{1} und x_{2} in die dritte Ableitung ein.

f^{\prime \prime \prime}(\frac{2}{\sqrt{3}}) = -0,37 \neq 0

f^{\prime \prime \prime}(-\frac{2}{\sqrt{3}}) = 0,37 \neq 0

Damit ist gezeigt, dass x_1 und x_2 Wendestellen von f sind. Um die y-Koordinaten der Wendepunkte zu bestimmen, werten wir die Funktion f an den Stellen x_{1} und x_{2} aus

f(\frac{2}{\sqrt{3}})=0,25

f(-\frac{2}{\sqrt{3}})=0,25

und bekommen somit die Wendepunkte W_{1} = ( \frac{2}{\sqrt{3}} \vert 0,25) und W_{2} = ( -\frac{2}{\sqrt{3}} \vert 0,25).

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