Was ist der Unterschied zwischen Extremstelle, Extremwert und Extrempunkt?

Eine Extremstelle ist die x-Koordinate, ein Extremwert die y-Koordinate und der Extrempunkt beides zusammen. Hochpunkt und Tiefpunkt sind Extrempunkte, die als Koordinatenpaar notiert werden. Zum Beispiel gilt: TP() und HP(), wobei und die Extremstellen sind.

Wie finde ich Extremstellen mit der ersten Ableitung?

Extremstellen findest du, indem du die Nullstellen der ersten Ableitung berechnest, also löst. Die Lösungen sind Kandidaten für Extremstellen, weil dort die Steigung der Funktion null ist. Im Beispiel führt zu und .

Wie entscheide ich mit der zweiten Ableitung zwischen Hochpunkt und Tiefpunkt?

Mit der zweiten Ableitung entscheidest du so: bedeutet Hochpunkt und bedeutet Tiefpunkt. Das klappt, weil das Vorzeichen von zeigt, ob die Kurve an der Stelle nach unten oder nach oben gekrümmt ist. Beispiel: ergibt einen Tiefpunkt.

Was bedeutet es, wenn die zweite Ableitung an der Stelle null ist?

Wenn ist, liegt an dieser Stelle möglicherweise kein Hoch- oder Tiefpunkt, sondern ein Sattelpunkt vor. Dann reicht der Test mit der zweiten Ableitung nicht aus, um eindeutig zu entscheiden. In der Einteilung gilt: möglicherweise Sattelpunkt.

Wie berechne ich den Extremwert, wenn ich die Extremstelle habe?

Den Extremwert berechnest du, indem du die Extremstelle in die Funktion einsetzt: . So bekommst du die y-Koordinate des Hochpunkts oder Tiefpunkts. Beispiel: Für ist , also HP(2|7).

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Extremwerte berechnen

Wichtige Inhalte in diesem Video

Extremwerte berechnen — einfach erklärt

(00:17)

Extremstellen und Extremwerte berechnen — Vorgehen

(01:06)

Extremwerte berechnen ist ein wichtiger Teil in der Untersuchung von Funktionen. Aber wie geht das? Und wo liegt der Unterschied zwischen Extremstellen, Extremwerten und Extrempunkten? Hier bist du richtig, um das herauszufinden!

Inhaltsübersicht

Extremwerte berechnen — einfach erklärt

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(00:17)

Eine Funktion sieht oft ein bisschen aus wie ein Gebirge. Da gibt es Gipfel — sogenannte Hochpunkte (HP) — und Täler. Das sind die Tiefpunkte (TP).

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Wenn du solche Funktionen untersuchen sollst (Kurvendiskussion ), begegnen dir oft die drei Begriffe Extrempunkt, Extremstelle und Extremwert. Sie haben etwas unterschiedliche Bedeutungen:

Extrempunkte sind die Hochpunkte (HP) und Tiefpunkte (TP) einer Funktion. Sie bestehen jeweils aus einer x-Koordinate und einer y-Koordinate: TP(x_T|y_T), HP(x_H|y_H)
Die x-Koordinaten x_T, x_H der Extrempunkte nennst du Extremstellen.
Die y-Koordinaten y_T, y_Hbezeichnest du als Extremwerte.

Aber wie kannst du nun solche Extremstellen und die zugehörigen Extremwerte berechnen? Schau dafür gleich mal in unser Video rein! Dort bekommst du das Vorgehen Schritt für Schritt erklärt!

Extremstellen und Extremwerte berechnen — Vorgehen

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(01:06)

Willst von einer Funktion f die Extremstellen und die Extremwerte berechnen, kannst du dich an folgenden Schritten orientieren:

f zweimal ableiten : f‘, f“
Nullstellen der 1. Ableitung berechnen: f'(x) = 0
Die x-Werte, die du herausbekommst, sind dann mögliche Kandidaten für Extremstellen x_E
Nullstellen aus Schritt 2 in die 2. Ableitung f“ einsetzen.
Dabei gilt:
- f“(x_E) < 0 → Hochpunkt
- f“(x_E) > 0 → Tiefpunkt
- f“(x_E) = 0 → möglicherweise Sattelpunkt
Extremwerte y_E berechnen. Setze dafür die Extremstellen x_E aus Schritt 3 in die Funktion f ein: y_E = f(x_E)
Extrempunkte (EP) angeben : EP(x_E|y_E)

Schau dir das gleich mal an einem Beispiel an!

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Extremwerte berechnen — Beispiel

Deine Aufgabe ist es, die Extremwerte der Funktion f(x) = -x³ + 3x² + 3 zu berechnen. Halte dich dabei einfach an die Schritt-für-Schritt-Anleitung:

f zweimal ableiten:
- f'(x) = -3x² + 6x
- f“(x) = -6x + 6
Nullstellen der 1. Ableitung berechnen: -3x² + 6x = 0
Um diese quadratische Gleichung zu lösen , kannst du zum Beispiel die Mitternachtsformel verwenden.

$\begin{align*} x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \notag = \frac{-6 \pm \sqrt{(-6)^2-4 \cdot (-3) \cdot 0}}{2 \cdot (-3)}\nonumber\\ x_1 =\frac{-6 + \sqrt{36}}{-6} = 0\nonumber\\ x_2 =\frac{-6 - \sqrt{36}}{-6} = 2 \nonumber \end{align*}$

Die Kandidaten für unsere Extremstellen sind also x₁ = 0 und x₂ = 2. Die überprüfst du nun mit der 2. Ableitung.
Nullstellen x₁ = 0 und x₂ = 2 aus Schritt 2 in die 2. Ableitung f“(x) = -6x + 6 einsetzen:
- f“(0)= -6 · 0 + 6 = 6 > 0 → Tiefpunkt
- f“(2) = -6 · 2 + 6 = -6 < 0 → Hochpunkt
Extremwerte berechnen: Extremstellen x₁ = 0 und x₂ = 2 in f(x) = -x³ + 3x² + 3 einsetzen:
- y_T = f(0) = –0³ + 3 · 0² + 3 = 3
- y_H = f(2) = –2³ + 3 · 2² + 3 = 7
Extrempunkte angeben:
- TP(0|3)
- HP(2|7)

Tipp: Um die Nullstellen in Schritt 2 zu berechnen, gibt es neben der Mitternachtsformel noch weitere Möglichkeiten, wie die pq-Formel , den Satz von Vieta oder den Satz vom Nullprodukt . In manchen Fällen bist du damit sogar schneller als mit der Mitternachtsformel. Im Beispiel wäre etwa der Satz vom Nullprodukt eine geschickte Abkürzung:
-3x² + 6x = 0 ⇔ x · (-3x + 6) = 0 ⇔ x= 0 oder (-3x + 6) = 0 also: x₁ = 0 und x₂ = 2.

Extremwerte berechnen — Die wichtigsten Fragen

Was ist ein Extremwert?
Ein Extremwert ist die y-Koordinate eines Hochpunkts (Maximum) oder Tiefpunkts (Minimum) einer Funktion. Er ist zu unterscheiden von der Extremstelle (x-Koordinate) und dem Extrempunkt (x- und y-Koordinate zusammen).
Wie berechnet man Extremwerte?
Die Extremwerte einer Funktion f berechnest du in folgenden fünf Schritten:
1. Leite die Funktion einmal ab.
2. Setze die Ableitung gleich 0 und löse nach x auf.
3. Berechne die zweite Ableitung .
4. Setze die x-Werte in die zweite Ableitung ein, um Hochpunkte, Tiefpunkte und Sattelpunkte zu unterscheiden.
5. Du kannst nun die Extremwerte berechnen, indem du die x-Werte in die Funktion f einsetzt.
Was brauchst du, um Extremwerte zu berechnen?
Um Extremwerte zu berechnen, brauchst du die erste und zweite Ableitung der Funktion. Beim Ableiten helfen dir die Ableitungsregeln. Auch deine Fähigkeiten im Gleichungen lösen sind hier gefragt, um die x-Werte herauszubekommen, die du dann in die Funktion f einsetzen kannst.

Extremwerte berechnen — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was ist der Unterschied zwischen Extremstelle, Extremwert und Extrempunkt?

Eine Extremstelle ist die x-Koordinate, ein Extremwert die y-Koordinate und der Extrempunkt beides zusammen. Hochpunkt und Tiefpunkt sind Extrempunkte, die als Koordinatenpaar notiert werden. Zum Beispiel gilt: TP() und HP(), wobei und die Extremstellen sind.
Wie finde ich Extremstellen mit der ersten Ableitung?

Extremstellen findest du, indem du die Nullstellen der ersten Ableitung berechnest, also löst. Die Lösungen sind Kandidaten für Extremstellen, weil dort die Steigung der Funktion null ist. Im Beispiel führt zu und .
Wie entscheide ich mit der zweiten Ableitung zwischen Hochpunkt und Tiefpunkt?

Mit der zweiten Ableitung entscheidest du so: bedeutet Hochpunkt und bedeutet Tiefpunkt. Das klappt, weil das Vorzeichen von zeigt, ob die Kurve an der Stelle nach unten oder nach oben gekrümmt ist. Beispiel: ergibt einen Tiefpunkt.
Was bedeutet es, wenn die zweite Ableitung an der Stelle null ist?

Wenn ist, liegt an dieser Stelle möglicherweise kein Hoch- oder Tiefpunkt, sondern ein Sattelpunkt vor. Dann reicht der Test mit der zweiten Ableitung nicht aus, um eindeutig zu entscheiden. In der Einteilung gilt: $f''(x_E)=0 \rightarrow$ möglicherweise Sattelpunkt.
Wie berechne ich den Extremwert, wenn ich die Extremstelle habe?

Den Extremwert berechnest du, indem du die Extremstelle in die Funktion einsetzt: . So bekommst du die y-Koordinate des Hochpunkts oder Tiefpunkts. Beispiel: Für ist $y_H=f(2)=-2^3+3\cdot 2^2+3=7$ , also HP(2|7).

Ableitungsregeln

Spitze! Jetzt weißt du, wie du vorgehst, um Extremwerte zu berechnen. Aber wie ging das nochmal mit dem Ableiten? Wenn du einen Überblick über die wichtigsten Ableitungsregeln bekommen willst, ist dieses Video genau das Richtige für dich!