Partielle Ableitungen

Bei der partiellen Ableitung werden Funktionen betrachtet, die eine Teilmenge des nach abbilden. Dabei wird eine solche Funktion, die von mehreren Variablen abhängt, nach nur einer dieser Variablen abgeleitet. Dazu werden die restlichen Variablen als Konstanten angesehen und die Funktion dadurch als Funktion einer Variablen betrachtet.

Definition: Partielle Ableitung und partielle Differenzierbarkeit

Sei offen und eine reelwertige Funktion. Sei weiterhin ein Punkt aus , dann heißt in partiell differenzierbar nach der i-ten Variable falls der Grenzwert

existiert. Diesen Grenzwert nennt man die i-te partielle Ableitung von in .

Schreibweisen der partiellen Ableitungen

In der gerade erfolgten Definition wurde eine Schreibweise der partiellen Ableitung benutzt, welche vom Symbol Gebrauch macht. Dieses wird als „d“ oder auch als „del“ gesprochen. Äquivalente Schreibweisen bzw. Symbole der i-ten partiellen Ableitung in lauten:

Partiell ableiten 

Eine Funktion nach der i-ten Variable  partiell abzuleiten funktioniert, wie eingangs erwähnt, recht simpel. Man sieht alle anderen Variablen als Konstanten an. Dadurch kann die Funktion als Funktion der Variablen angesehen werden. Die partielle Ableitung entspricht der gewöhnlichen Ableitung dieser Funktion.

Partiell ableiten: Beispiel 1 

Beispielsweise soll die partielle Ableitung der Funktion nach der ersten Variablen bestimmt werden. Dabei können dann die Variablen und als konstant betrachtet werden. Die partielle Ableitung nach lautet demnach:

Analog ergeben sich die partiellen Ableitungen nach den anderen beiden Variablen:

Partiell ableiten: Beispiel 2

Betrachtet man Funktionen, welche von maximal drei Variablen abhängen, werden diese häufig nicht mit bezeichnet, sondern mit x, y und z. Ein solcher Fall soll im folgenden Beispiel behandelt werden: Betrachtet wird die Funktion Die partiellen Ableitungen nach x bzw. nach y lauten:

Deutung der partiellen Ableitungen 

Die Bedeutung der partiellen Ableitungen einer Funktion  die von den zwei Variablen x und y abhängt, lässt sich noch geometrisch interpretieren. Der Graph dieser Funktion lässt sich nämlich als Hügelfläche im Dreidimensionalen darstellen. Die partielle Ableitung nach x an der Stelle  gibt dann die Steigung des Graphen an dieser Stelle an, wenn man sich von dort aus in positive x-Richtung bewegt. Man kann sich das auch folgendermaßen vorstellen: Wird der Funktionsgraph von mit einer Ebene geschnitten, die den Punkt  enthält und parallel zur –-Ebene liegt, so ergibt sich eine Schnittkurve. Die partielle Ableitung nach x an der Stelle ist dann gerade die Steigung der Tangente an dieser Schnittkurve.

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Für Funktionen, die von mehr als zwei Variablen abhängen, hält die geometrische Interpretation allerdings nicht mehr stand. Man kann hier die partielle Ableitung nach der i-ten Variable als die Änderungsrate des Funktionswertes an der Stelle interpretieren, wenn man eine kleine Veränderung der i-ten Variable betrachtet.

Partielle Ableitungen höherer Ordnung

Partielle Ableitungen 1. Ordnung

Die bisher definierten partiellen Ableitungen einer Funktion werden auch als partielle Ableitungen 1. Ordnung bezeichnet. Ist die Funktion auf dem ganzen Definitionsbereich partiell differenzierbar nach der i-ten Variable, so lässt sich die partielle Ableitungsfunktion ganz einfach wie folgt definieren:

Partielle Ableitungen 2. Ordnung 

Diese Funktion kann wiederum partiell nach einer Variablen abgeleitet werden. Diese partielle Ableitung wird dann Partielle Ableitung 2. Ordnung genannt und mit folgender Schreibweise abgekürzt:

Wird zweimal hintereinander die partielle Ableitung nach derselben Variablen gebildet, wird das folgendermaßen notiert:

Über die Vertauschbarkeit der zweiten Ableitungen macht der Satz von Schwarz eine Aussage: Ist  eine zweimal stetig partiell differenzierbare Funktion, so gilt für alle :

Zur Verdeutlichung werden im Folgenden alle ersten und zweiten partiellen Ableitungen der Funktion aus Beispiel 2 aufgelistet:

     

 

     

Man sieht also, dass gilt:

Ableitungsregeln

Wie bereits erwähnt, entspricht das partielle Ableiten nach der i-ten Variable genau dem herkömmlichen Ableiten, wenn die üblichen Variablen als Konstanten betrachtet werden. Daher gelten auch die üblichen Ableitungsregeln.

Summenregel

Für gilt:

Beispielsweise gilt für :

Produktregel

Für gilt:

Beispielsweise gilt für :

Quotientenregel

Für gilt:

Beispielsweise gilt für :

Kettenregel

Für gilt:

Beispielsweise gilt für :