In diesem Artikel betrachten wir die Kugelkoordinaten und deren Transformation mit kartesischen Koordinaten genauer. Dazu zählen auch die Transformationen der Differentiale, des Flächen-, Volumen– und Linienelements sowie die Transformation der Basisvektoren, des Nabla– und des Laplaceoperators.
Das Wichtigste zum Thema Kugelkoordinaten haben wir außerdem in einem kurzen Video für dich aufbereitet. Das fördert die Vorstellung und kann dir das Thema einfacher näher bringen.
Wird der Abstand vom Ursprung konstant gehalten, so spricht man von sphärischen Koordinaten. Die betrachteten Punkte liegen dann auf einer Kugeloberfläche.
Um einen Punkt im Raum beschreiben zu können, ist ein Koordinatensystem von Nöten. In Kugelkoordinaten ist das Koordinatensystem durch folgende Punkte festgelegt:
Um Umrechnungen mit den kartesischen Koordinaten zu vereinfachen, lassen sich die genannten Punkte so festlegen, dass der Ursprung des Kugelkoordinatensystems dem des kartesischen Systems entspricht. Des weiteren kann die -Achse als Polachse verwendet werden, sodass die
–
-Ebene der Äquatorebene entspricht. Die positive
-Achse kann zudem als Bezugsrichtung gewählt werden.
Wie bereits erwähnt, wird ein Punkt in Kugelkoordinaten unter anderem durch zwei Winkel angegeben. Wie diese gewählt werden unterscheidet sich allerdings je nach Konvention. Im Folgenden soll derjenigen Konvention gefolgt werden, welche in der Mathematik und der Physik üblich ist. Ein Punkt im Raum ist dann durch folgende drei Koordinaten gegeben:
Ein Punkt im Raum wird also durch die Angabe dieser drei Koordinaten in Kugelkoordinaten beschrieben.
Zur Vereinfachung von Rechnungen sind häufig Umrechnungen zwischen dem kartesischen und dem Kugelkoordinatensystem erforderlich. Diese sollen im Folgenden in beide Richtungen aufgezeigt werden.
Wird der Azimutwinkel zwischen
und
(
und
) angegeben, so können die Kugelkoordinaten wie folgt berechnet werden:
In der beschriebenen Konvention entspricht der Polarwinkel nicht der geographischen Breite, welche nämlich den Winkel zwischen dem Ortsvektor und der Äquatorebene beschreibt. Sie nimmt also im Gegensatz zum Polarwinkel nach obiger Konvention Werte zwischen
und
an. Man kann allerdings mit
auch die folgende Darstellung der Kugelkoordinaten verwenden:
Dann entspricht der Winkel der geographischen Breite. In beiden Konventionen kann der Winkel
als geographische Länge identifiziert werden.
Im Folgenden sollen die wichtigsten Differentiale mithilfe der Jacobi-Matrix und der Funktionaldeterminante transformiert werden.
Die Jacobi-Matrix der Transformation von Kugelkoordinaten in kartesische Koordinaten lautet folgendermaßen:
Dementsprechend lautet die Funktionaldeterminante folgendermaßen:
det
Mithilfe der Jacobi-Matrix lassen sich die Differentiale durch folgende Lineare Abbildung bestimmten:
So können nun auch das Volumen-, Flächen– und Linienelement bestimmt werden.
Diese lassen sich auch auf anderem Wege ermitteln. Das Volumenelement kann nämlich ganz einfach mithilfe der Funktionaldeterminante bestimmt werden:
Das Flächenelement ergibt sich dann durch Differentiation:
Für das Linienelement gilt:
Neben den Einheitsvektoren sollen im Folgenden auch der Nabla– und der Laplaceoperator in Kugelkoordinaten bestimmt werden.
Mit dem Richtungsvektor
gilt für die Einheitsvektoren:
Die partiellen Ableitungen können mithilfe der Jacobi-Matrix der Transformation und ihrer Inversen auf folgende Art berechnet werden:
Durch entsprechende Transformation der partiellen Ableitungen und der Einheitsvektoren ergibt sich der Nablaoperator in Kugelkoordinaten:
Mithilfe dieses Nablaoperators kann dann für ein Skalarfeld der Gradient in Kugelkoordinaten bestimmt werden. Ist ein Vektorfeld gegeben, so lautet die Divergenz in Kugelkoordinaten für dieses Feld folgendermaßen:
Für die Rotation in Kugelkoordinaten gilt:
Der Laplaceoperator lässt sich nun ganz einfach bestimmen, indem man in der Formel für die Divergenz als Vektorfeld den Nablaoperator einsetzt:
Hält man in Kugelkoordinaten den Radius konstant und lässt nur für die beiden Winkel
und
verschiedene Werte zu, so befinden sich alle möglichen Punkte auf der Oberfläche einer Kugel mit dem Radius
und dem Mittelpunkt im Koordinatenursprung. Man spricht dann von sphärischen Koordinaten.
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