Mathe Grundlagen

Antiproportionaler Dreisatz

In diesem Beitrag erklären wir dir das Rechnen mit dem antiproportionalen Dreisatz.  Wir rechnen dafür gemeinsam eine Beispielaufgabe durch, damit du den  antiproportionalen Dreisatz ohne Probleme selbst anwenden kannst!

Du verstehst Sachen viel besser, wenn man sie dir mündlich erklärt? Kein Problem, dann sieh dir unser Video an und lerne dort, wie du mit dem Dreisatz Aufgaben ganz leicht lösen kannst!

Inhaltsübersicht

Dreisatz einfach erklärt

Der Dreisatz ist ein Verfahren, mit dem du Aufgaben über das Verhältnis zwischen zwei Größen lösen kannst. Dabei weißt du, wie viel von der einen Größe wie viel von der anderen Größe entsprechen. Dein Ziel ist es, das gleiche Verhältnis für eine andere Mengeneinheit zu berechnen. Beispielsweise weißt du, dass 2 Liter Milch 3 € kosten. Mit dem Dreisatz könntest du nun berechnen, wie viele Liter Milch du für 5 € bekommen kannst. Das Ergebnis erhältst du immer in nur drei Schritten – deshalb auch der Name Dreisatz. 

Die drei Schritte beim Dreisatz 
  1. Schreibe alles auf, was du über beide Größen bereits weißt 
  2. Berechne das Verhältnis für eine einzige Einheit der einen Größe 
  3. Bestimme nun ganz leicht das Verhältnis zwischen den beiden Größen für eine Mengenangabe deiner Wahl 

Proportionaler und antiproportionaler Dreisatz

Es gibt zwei verschiedene Arten des Dreisatzes: Den proportionalen und den antiproportionalen Dreisatz. Der antiproportionale Dreisatz wird manchmal auch umgekehrter Dreisatz genannt. Was der Unterschied zwischen den beiden Arten ist und wie du bei der Berechnung jeweils genau vorgehen musst, sehen wir uns gleich Schritt für Schritt an einem Beispiel an.

Merke
  • Beim proportionalen Dreisatz gilt die Regel: „Je mehr desto mehr“. Das bedeutet, wenn die eine Größe mehr wird, wird auch die andere Größe mehr.  Diesen Fall hast du etwa, wenn du im Supermarkt Äpfel kaufst: Je mehr Äpfel du haben möchtest, desto mehr Geld musst du auch bezahlen.
  • Beim antiproportionalen Dreisatz lautet die Regel hingegen: „Je mehr desto weniger“. Das heißt, je mehr ich von der einen Größe habe, desto weniger habe ich von der anderen. Diesen Fall findest du beispielsweise, wenn du nach einer Feier aufräumen musst. Je mehr Leute dir helfen, desto weniger Zeit benötigt ihr. 

Beim proportionalen und beim antiproportionalen Dreisatz musst du ein bisschen unterschiedlich rechnen. Wie du bei der Berechnung des antiproportionalen Dreisatzes genau vorgehen musst, erklären wir dir jetzt.

Beispiel: Antiproportionaler Dreisatz

Sehen wir uns dafür ein Beispiel an. 

Stell dir vor, du erklärst dich bereit, bei einem Umzug ein paar Kisten tragen zu helfen. Geplant ist, dass insgesamt 8 Personen beim Umzug mithelfen. Jeder Helfer müsste dann 16 Kisten tragen. Leider haben 4 Helfer nun aber spontan doch keine Zeit. Wie viele Kisten muss nun jeder Helfer tragen, wenn nur noch 4 Personen beim Umzug helfen? 

Auch diese Frage kannst du leicht mit dem Dreisatz beantworten. Zunächst musst du  entscheiden, ob es sich um den proportionalen oder den antiproportionalen Dreisatz handelt. Hier ist es so: Wenn mehr Leute mithelfen, dann muss jede Person weniger Kisten tragen. Wir befinden uns also im „je mehr desto weniger“-Fall. Das bedeutet, wir müssen die Rechenschritte des antiproportionalen Dreisatzes anwenden.

Antiproportionaler Dreisatz: Schritt 1

Der erste Schritt des antiproportionalen Dreisatzes ist der gleiche wie beim proportionalen Dreisatz. Du zeichnest also eine kleine Tabelle und trägst alle Informationen ein, die du bereits kennst.

Das ist zum einen, dass bei 8 Helfern jede Person 16 Kisten tragen muss. Diese Angaben schreibst du in die erste Zeile der Tabelle. Zum Anderen kennst du die Anzahl der Helfer, für die du das Verhältnis berechnen möchtest. Diesen Wert trägst du in der dritten Zeile in der Spalte der Helfer ein. Die zweite Zeile der Tabelle lässt du wie vorhin für einen Zwischenschritt frei.

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Antiproportionaler Dreisatz: Schritt

Antiproportionaler Dreisatz: Schritt 2

Nun folgt der zweite Schritt. Jetzt wollen wir berechnen, wie viel von der einen Größe einer einzigen Einheit der anderen Größe entsprechen. Folglich müssen wir ausrechnen, wie viele Kisten ein einziger Helfer tragen muss, wenn er beim Umzug ganz alleine wäre. In die zweite Zeile schreiben wir auf der Seite der Helfer folglich eine 1. 

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Antiproportionaler Dreisatz: Schritt 2.1

Nun fehlt in der zweiten Zeile noch die Anzahl der Kisten.  Bei der Berechnung dieses Werts musst du aufpassen, denn das Vorgehen unterscheidet sich ab hier von den Rechenschritten des proportionalen Dreisatzes. 

Statt auf beiden Seiten der Tabelle zu teilen, musst du jetzt nämlich in einer Spalte teilen und in der anderen Spalte malnehmen. Der Grund dafür ist, dass die eine Größe ja mehr wird, wenn die andere Größe weniger wird.

Auf welcher Seite du teilen und auf welcher Seite du malnehmen musst, kannst du an der Tabelle erkennen: In der Spalte der Helfer steht in der zweiten Zeile bereits eine 1.

Um auf dieses Ergebnis zu kommen, wurde die erste Zeile durch 8 geteilt. Da in der Spalte der Helfer geteilt wurde, musst du also in der Spalte der Kisten malnehmen. Die Zahl, mit der du mal oder geteilt rechnest, ist aber in beiden Spalten die gleiche. Folglich musst du den Wert in der Spalte der Kisten mit 8 multiplizieren. Du rechnest also:

16 \times 8 = 128

Eine einzelne Person müsste also ganze 128 Kisten tragen!

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Antiproportionaler Dreisatz: Schritt 2.2

Antiproportionaler Dreisatz: Schritt 3

Jetzt haben wir es fast geschafft. In einem letzten Schritt berechnen wir, wie viele Kisten eine Person bei  insgesamt 6 Helfern tragen müsste. Auch hierfür müssen wir erneut auf einer Seite der Tabelle malnehmen und auf der anderen Seite teilen.

Auf welcher Seite, du welche Rechenart verwenden musst, kannst du wieder an der Tabelle ablesen. Du siehst, dass in der letzten Zeile der Tabelle bereits die Zahl 6 eingetragen ist. Um von der zweiten Zeile der Tabelle zur dritten Zeile zu kommen, wurde in dieser Spalte also mal 4 gerechnet. Folglich musst du in der anderen Spalte der Tabelle geteilt durch 4 rechnen.

Falls das für dich einfacher ist, kannst du dir auch merken, dass du jetzt die Rechenart anwendest, die du im zweiten Schritt in dieser Spalte nicht benutzt hast. Wenn du also zuerst geteilt hast, dann nimmst du jetzt mal und umgekehrt.

Eine Ausnahme von dieser Regel liegt vor, wenn die Ausgangs- oder die Zielmengeneinheit kleiner als 1 ist. Die Zahl, mit der du mal nimmst oder teilst, ist wieder in beiden Spalten der Tabelle die selbe. Du rechnest also: 

128 Kisten \div 4 = 32


Wenn 4 Leute helfen, muss also jede Person 32 Kisten tragen!

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Antiproportionaler Dreisatz: Schritt 3

 

 

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