Mathe Grundlagen
Funktionen - Grundlagen
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Was ist eine Funktion? — Einfach erklärt

Eine Funktion f ist eine Beziehung zwischen zwei Mengen  — der Definitionsmenge (\mathbb{D}_f) und der Wertemenge (\mathbb{W}_f}). Wichtig ist dabei, dass jedem Element x aus der Definitionsmenge (Argumentgenau ein Element y aus der Wertemenge (Funktionswert) zugeordnet wird (z. B. x \mapsto y = 2  · x).

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Definitions– und Wertemenge einer Funktion

y bezeichnet also den Funktionswert an einer bestimmten Stelle x. Daher schreibst du statt y auch f(x). Oft stellst du eine Funktion f dann auch in einer Funktionsgleichung dar, wie etwa f(x) = 2 · x + 1.

Funktionen im Alltag — Beispiel: Verkaufspreis

Funktionen spielen nicht nur in Mathe eine Rolle, sondern sie begegnen dir auch im Alltag! Wusstest du, dass du es zum Beispiel beim Einkaufen mit einer Funktion zu tun hast?

Stell dir vor, du möchtest Brötchen kaufen. Der Preis f(x), den du zahlen musst, ist abhängig davon, wie viele Brötchen x du kaufen willst. Das kannst du mit einer mathematischen Funktion beschreiben. Wenn jedes Brötchen 1,50 € kostet, ist das die Funktion f(x) = 1,5 · x.

2 Brötchen kosten dann zum Beispiel 3 €, denn f(2) = 1,5 · 2 = 3. Für 3 Brötchen gilt f(3) = 1,5 · 3 = 4,5. Also musst du dafür 4,50 € bezahlen. Um den Preis zu berechnen, setzt du also einfach die Anzahl der Brötchen für das x in die Funktionsgleichung f(x) = 1,5 · x ein.

Eine gute Möglichkeit, diesen Zusammenhang von Anzahl und Preis darzustellen, ist eine Wertetabelle:

Anzahl x 1 2 3 4 5
Preis f(x) 1,5 3 4,5 6 7,5

Du kannst mathematische Funktionen aber auch grafisch veranschaulichen. Mehr dazu erfährst du im nächsten Abschnitt!

Funktion und Funktionsgraph

Eine Funktion liefert dir also immer Paare aus einem Argument x und seinem zugehörigen Funktionswert y. Bei der Funktion y = f(x) = 2 · x + 1 bekommst du zum Beispiel das Paar (-1 | -1), denn y = f(-1) = 2 · (-1) + 1 = -1. Genauso bestimmst du auch die anderen Paare, wie (0,5 | 2oder (2 | 5). Diese Paare (xy) kannst du dann in ein Koordinatensystem einzeichnen.

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Funktionsgraph zeichnen

Dazu suchst du auf der horizontalen x-Achse das Argument x (z. B. x = 2) und auf der vertikalen y-Achse den zugehörigen Funktionswert y = f(x) (hier: f(2) = 5). Ziehe nun gedanklich an der Stelle des x-Wertes eine Linie parallel zur y-Achse und an der Stelle des y-Wertes eine Linie parallel zur x-Achse. Dort, wo sich diese beiden Linien treffen, liegt der Punkt für das Wertepaar (x | y), hier also: (2 | 5).

Verbindest du die eingezeichneten Punkte, erhältst du einen Teil des Funktionsgraphen

Expertenwissen — Funktionsgraph

Du kannst einen Funktionsgraphen auch als die Menge der Paare (x, y) mit  x aus der Definitionsmenge X und y aus der Wertemenge Y auffassen. Das ist dann eine Teilemenge des kartesischen Produktes X x Y := {(x, y) | xX, yY}.

Funktion Definition — Wichtige Begriffe im Überblick

  • Funktionsgleichung: z. B. f(x) = 2 · x + 1
  • Zuordnungsvorschrift: z. B. x \mapsto y = 2  · x
  • Funktionsterm: z. B. 2 · x + 1.
  • Argument: Element aus der Definitionsmenge, das du für den Buchstaben x in die Funktionsgleichung einsetzen kannst, z. B. für x = 3 f(3) =  2 · 3 + 1.  
  • Funktionswert: Element y = f(x) aus der Wertemenge, das beim Einsetzen von einem konkreten Argument x (z. B. x = 3) herauskommt:  f(3) =  2 · 3 + 1 = 7. 
  • Definitions– und Wertemenge: In diesem Fall darfst du jede reelle Zahl x aus \mathbb{R} in die Funktionsgleichung einsetzen und es kann auch jedes y aus der Menge der reellen Zahlen herauskommen. Um das deutlich zu machen, schreibst du auch  f: \textcolor{green}{\mathbb{R}}\textcolor{blue}{\mathbb{R}}.
  • Abhängige und unabhängige Variable: Der Funktionswert y ist abhängig von dem Argument x. Daher nennst du y auch „abhängige Variable“ und x „unabhängige Variable“.

Übrigens: Bei einer Funktion darf jedes Argument nur einen Funktionswert haben. Umgekehrt kann ein Element aus der Wertemenge aber der Funktionswert von mehreren verschiedenen Argumenten sein. Falls tatsächlich auch jeder Funktionswert nur einmal auftaucht, nennst du die Funktion eineindeutig oder injektiv

Lineare Funktionen einfach erklärt

Super! Jetzt weißt du, worum es geht, wenn in Mathe von Funktionen die Rede ist. Als Beispiele hast du hier schon lineare Funktionen gesehen. Du möchtest diese Art von Funktionen genauer kennen lernen? Dann schau dir doch direkt unser Video dazu an!

Zum Video: Lineare Funktionen einfach erklärt
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