Mathe Grundlagen

Lineare Gleichungssysteme Aufgaben

In diesem Artikel stellen wir dir für lineare Gleichungssysteme Aufgaben zur Verfügung. Du möchtest dich aber lieber zurücklehnen? Dann schau dir unser Video dazu an!

Inhaltsübersicht

Lineare Gleichungssysteme Aufgabe 1

Ermittle für welche x und y das folgende lineare Gleichungssystem gilt

(I)   2x + 3y = -6

(II)   -3x - 4y = 7.

Verwende dabei das Additionsverfahren.

Lösung Aufgabe 1

Beim Additionsverfahren entscheidest du dich dafür, die Variable x zu eliminieren. Das kleinste gemeinsame Vielfache von 2 und 3 ist gleich 6, also multiplizierst du Gleichung (I) mit 3

(I)   2x + 3y = -6 \quad | \cdot 3

(I‘)   6x + 9y = -18

und Gleichung (II) mit 2

(II)   -3x - 4y = 7 \quad | \cdot 2

(II‘)   -6x - 8y = 14.

Als nächstes addierst du die beiden Gleichungen (I‘) und (II‘) und erhältst damit

(I‘) + (II‘)   6x -6x + 9y - 8y = -18 + 14

y = -4.

Du erhältst also für y den Wert -4, den du nun entweder in die Gleichung (I) oder in die Gleichung (II) einsetzt, um die Variable x zu berechnen. Setzt du also y=-4 in die Gleichung (I) ein, so rechnest du

y in (I)   2x + 3 \cdot (-4) = -6

x = 3.

Somit hast du also mit x=3 und y=-4 die Lösung des linearen Gleichungssystem ermittelt. Um die Lösung noch auf Richtigkeit zu überprüfen, setzt du x und y in die Gleichungen (I) und (II) ein

(I)   2 \cdot 3 + 3 \cdot (-4) = -6

(II)   -3 \cdot 3 - 4 \cdot (-4) = 7.

Du siehst also, dass beide Gleichungen erfüllt sind und die Lösung x=3 und y=-4 somit richtig ist.

Lineare Gleichungssysteme Aufgabe 2

Berechne die Lösung des linearen Gleichungssystems mit Hilfe des Einsetzungsverfahrens:

(I)   -x + 4y = -3

(II)   2x - 5y = 0.

Lösung Aufgabe 2

Dieses mal verwenden wir das Einsetzungsverfahren, um das lineare Gleichungssystem zu lösen. Dafür formst du Gleichung (I) nach x um und erhältst somit die Gleichung

(I)   -x + 4y = -3 \quad | -4y

-x = -3 - 4y \quad | \cdot (-1)

(I‘)   x = 3 + 4y.

Nun setzt du den Wert für x in die Gleichung (II) ein und bekommst damit

x in (II)   2 \cdot (3 + 4y) - 5y = 0

3y = -6

y=-2.

Im nächsten Schritt setzt du y=-2 in die Gleichung (I‘) ein

y in (I‘)   x = 3 + 4 \cdot (-2)

und erhältst so direkt den Wert für x

x = -5.

Du hast also mit x=-5 und y=-2 die Lösung des linearen Gleichungssystems berechnet. Setze x und y noch in die Gleichungen (I) und (II) ein, um die Lösung auf Richtigkeit zu überprüfen

(I)   -1 \cdot (-5) + 4 \cdot (-2) = -3

(II)   2 \cdot (-5) - 5 \cdot (-2) = 0.

Da beide Gleichungen erfüllt sind, hast du mit x=-5 und y=-2 die richtige Lösung ermittelt.

Lineare Gleichungssysteme Aufgabe 3

Bestimme x und y, sodass das folgende lineare Gleichungssystem gilt

(I)   5x - 2y = 20

(II)   6x + 4y = 24.

Verwende für die Lösung das Gleichsetzungsverfahren.

Lösung Aufgabe 3

Verwende in dieser Aufgabe das Gleichsetzungsverfahren, um das lineare Gleichungssystem zu lösen. Das heißt, du formst erst Gleichung (I) nach y um

(I)   5x - 2y = 20 \quad | - 5x

-2y = 20 - 5x \quad | : (-2)

(I‘)   y = -10 + 2,5x

und anschließend formst du auch Gleichung (II) nach y um

(II)   6x + 4y = 24 \quad | - 6x

4y = 24 - 6x \quad | : 4

(II‘)   y = 6 - 1,5x.

Nun setzt du die beiden Gleichungen (I‘) und (II‘) gleich und erhältst somit 

(I‘) = (II‘)   -10 + 2,5x = 6 - 1,5x \quad | + 1,5x

-1 + 4x = 6 \quad | +10

4x = 16 \quad | : 4

x = 4.

Um noch den Wert für y zu ermitteln setzt du als nächstes x=4 entweder in Gleichung (I‘) oder in Gleichung (II‘) ein. In Gleichung (II‘) rechnest du zum Beispiel

x in (II‘)   y = 6 - 1,5 \cdot 4

y = 0.

Damit hast du die Lösung x=4 und y=0 berechnet. Setzt du noch x und y in die ursprünglichen Gleichungen (I) und (II) ein

(I)   5 \cdot 4 - 2 \cdot 0 = 20

(II)   6 \cdot 4 + 4 \cdot 0 = 24,

dann siehst du, dass das lineare Gleichungssystem erfüllt ist und die Lösung damit auch richtig ist.

Lineare Gleichungssysteme Aufgabe 4

Schau dir als nächstes das lineare Gleichungssystem

(I)   x - 2y = 5

(II)   3x - 6y = 10

an und ermittle die Lösung für x und y.

Lösung Aufgabe 4

Um dieses lineare Gleichungssystem zu lösen, verwenden wir das Einsetzungsverfahren. Dafür formst du zuerst Gleichung (I) nach x um

(I)   x - 2y = 5 \quad | + 2y

(I‘)   x = 5 + 2y.

Nun setzt du x in die Gleichung (II) ein und erhältst damit die Gleichung

x in (II)   3 \cdot (5 + 2y) - 6y = 10

15 + 6y - 6y = 10.

Da aber 6y - 6y = 0 ist, bleibt am Ende mit

15 = 10

eine falsche Aussage übrig. Das heißt also, dass das lineare Gleichungssystem keine Lösung besitzt.

Lineare Gleichungssysteme Aufgabe 5

Wie lautet die Lösung des folgenden linearen Gleichungssystems?

(I)   2x + 4y = -6

(II)   -4x - 8y = 12

Lösung Aufgabe 5

Zum Lösen des linearen Gleichungssystems verwenden wir das Gleichsetzungsverfahren. Dafür formst du zuerst Gleichung (I) nach y um

(I)   2x + 4y = -6 \quad | - 2x

4y = -6 - 2x \quad | : 4

(I‘)   y = -1,5 - 0,5x

und danach Gleichung (II)

(II)   -4x - 8y = 12 \quad | + 4x

-8y = 12 + 4x \quad | : (-8)

(II‘)   y = -1,5 - 0,5x.

Als nächstes setzt du die beiden Terme -1,5 - 0,5x und -1,5 - 0,5x gleich

(I‘) = (II‘)   -1,5 - 0,5x = -1,5 - 0,5x

und erhältst mit

0 = 0

eine allgemeingültige Aussage. Das heißt, du kannst für x jeden beliebigen Wert einsetzen und hast damit mit der Menge \lbrace (x | -1,5 - 0,5x) | x \in \mathbb{R} \rbrace die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems. Das heißt, das lineare Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen.

Lineare Gleichungssysteme Aufgabe 6

Tom ist x Jahre alt und Sabine ist y Jahre alt. In zehn Jahren ist Sabine halb so alt wie Tom (I) und in 15 Jahren ist Sabine genauso alt wie Tom vor fünf Jahren (II). Wie alt sind Sabine und Tom?

Lösung Aufgabe 6:

Der Sachverhalt lässt sich mit den folgenden zwei Gleichungen darstellen

(I)   y + 10 = \frac{1}{2} \cdot (x + 10)

(II)   y + 15 = x - 5.

Um nun das Alter der beiden zu bestimmen, löst du das lineare Gleichungssystem

(I)   y + 10 = 0,5x + 5

(II)   y + 15 = x - 5

mithilfe des Gleichsetzungsverfahrens. Das heißt, du formst erst Gleichung (I) nach y um

(I)   y + 10 = 0,5x + 5 \quad | -10

(I‘)   y = 0,5x - 5

und anschließend Gleichung (II)

(II)   y + 15 = x - 5 \quad | - 15

(II‘)   y = x - 20.

Nun kannst du die beiden Gleichungen (I‘) und (II‘) gleichsetzen. Du rechnest also

(I‘) = (II‘)   0,5x - 5 = x - 20 \quad | - 0,5x

-5 = 0,5x - 20 \quad | + 20

15 = 0,5x \quad | \cdot 2

x = 30.

Damit erhältst du für x den Wert 30, den du nun entweder in Gleichung (I‘) oder (II‘) einsetzt, um den Wert für y zu bekommen. Setzt du also x in Gleichung (II‘) ein, so sieht das wie folgt aus:

x in (II‘)   y = 30 - 20

y = 10.

Insgesamt erhälst du also mit x=30 und y=10 die Lösung des linearen Gleichungssystems. Das heißt, Tom ist 30 Jahre alt und Sabine ist 10 Jahre alt.

 

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