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Du fragst dich, was proportionale Zuordnungen sind? Dann bist du hier genau richtig! Denn%in unserem Video erklären wir  dir alles, was du dazu wissen solltest.

Proportionale Zuordnung einfach erklärt

Kaufst du zwei Liter Milch, musst du auch doppelt so viel bezahlen, als wenn du einen Liter kaufst. Du ordnest also einer Größe, der Anzahl der Liter Milch, eine andere Größe, den Kaufpreis, zu. Wächst die Anzahl der Milchliter, wächst auch der Kaufpreis. Das nennst du gleichmäßiges Wachstum. Damit ist es eine proportionale Zuordnung.

Was ist eine proportionale Zuordnung?

Proportionale Zuordnungen geben ein gleichmäßiges Wachstum an. Halbiert sich die eine Größe, halbiert sich auch die andere Größe. Verdoppelt sich die eine Größe, so verdoppelt sich auch die andere Größe.

Proportionale Zuordnung – Beispiel

Zum Beispiel streicht ein Maler (1. Größe) an einem Tag zwei ganze Räume (2. Größe).

Was passiert mit der Anzahl der gestrichenen Räume, wenn du jetzt zwei Maler bestellst? 

Wenn zwei Maler einen Tag lang Wände streichen, schaffen sie mehr als zwei Räume. Jeder von ihnen schafft zwei ganze Räume, insgesamt streichen sie an einem Tag also vier Räume

Wenn du drei Maler bestellst, streicht jeder von ihnen zwei Räume. An einem Tag werden dann also sechs Räume gestrichen! Das kannst du in einer Wertetabelle erfassen:

Anzahl Maler 1 2 3
Anzahl gestrichener Räume pro Tag 2 4 6

Du erkennst: Je mehr Maler du hast, desto mehr Räume werden an einem Tag gestrichen. Verdoppelst du die Anzahl der Maler, verdoppelt sich die Anzahl der gestrichenen Räume.

Die Anzahl der gestrichenen Räume ist proportional zur Anzahl der Maler. Es handelt sich um eine proportionale Zuordnung.

Proportionalitätsfaktor

Den Proportionalitätsfaktor einer Zuordnung berechnest du, indem du den Wert der 2. Größe (y) durch den Wert der 1. Größe (x) teilst.

Proportionalitätsfaktor berechnen

Proportionalitätsfaktor = y : x

Berechnen wir nun den Proportionalitätsfaktor im Maler-Beispiel. Ein Maler streicht zwei Räume an einem Tag. Den Proportionalitätsfaktor berechnest du so:

    \[\textnormal{Proportionalitätsfaktor} = 2 : 1 = 2\]

Kontrollieren kannst du dieses Ergebnis in der nächsten Spalte: Zwei Maler streichen vier Räume

    \[\textnormal{Proportionalitätsfaktor} = 4 : 2 = 2\]

Prima, du siehst, in beiden Fällen ist der Proportionalitätsfaktor 2!

Was bedeutet proportional?

Nur wenn der Proportionalitätsfaktor bei verschiedenen Wertepaaren gleich ist, hast du ein gleichmäßiges (proportionales) Wachstum und damit eine proportionale Zuordnung.

Übrigens: Wenn sich der Proportionalitätsfaktor bei verschiedenen Wertepaaren unterscheidet, könnte es sich um eine antiproportionale Zuordnung handeln. %Verweis

Darstellung von proportionalen Zuordnungen

Proportionale Zuordnungen kannst du auf verschiedene Weisen darstellen.

Wertetabelle:

Die Darstellung als Zuordnungstabelle ist dir bereits im Beispiel begegnet. In der oberen Zeile der Tabelle siehst du die Anzahl der Maler. In der unteren Zeile erfährst du, wie viele Räume abhängig davon gestrichen werden.

Anzahl Maler 1 2 3
Anzahl gestrichener Räume pro Tag 2 4 6

 

Pfeildiagramm:

Eine Zuordnung kannst du auch mittels Pfeilen darstellen. Dafür schreibst du hinter den Wert der 1. Größe einen Pfeil und den zugeordneten Wert.

    \begin{align*} \textcolor{red}{1} \longmapsto \textcolor{blue}{2}\\ \textcolor{red}{2} \longmapsto \textcolor{blue}{4}\\ \textcolor{red}{3} \longmapsto \textcolor{blue}{6}\\ \end{align*}

 

Graph:

Du kannst proportionale Zuordnungen auch als Graph darstellen. Dafür ordnest du den Achsen die beiden Größen zu und trägst die Wertepaare ein. Die Anzahl der Maler hast du der Variable x zugeordnet und orientierst dich daher beim Einzeichnen an der waagerechten x-Achse. Um die Anzahl der gestrichenen Räume einzutragen, schaust du auf die senkrechte y-Achse. Nun kannst du die Wertepaare einzeichnen. 

 

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Wertepaar im Koordinatensystem

Diese Wertepaare verbindest du nun, um den Graphen abzubilden.

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Graph der Zuordnung

Zuordnungsvorschrift:

Experten stellen proportionale Zuordnungen gerne als Zuordnungsvorschriften dar. Dafür benötigst du den Proportionalitätsfaktor.

Zuordnungsvorschrift

y = Proportionalitätsfaktor • x

Im Maler-Beispiel war der Proportionalitätsfaktor 2. Um die Zuordnungsvorschrift zu erhalten, setzt du den Proportionalitätsfaktor einfach ein:

    \[y = 2 \cdot x\]

y berechnen mit Zuordnungsvorschrift:

Diese Vorschrift bietet den Vorteil, dass du die fehlende Größe schnell berechnen kannst. Wenn du dich fragst, wie viele Räume von vier Malern an einem Tag gestrichen werden, setzt du diese Maleranzahl in die Vorschrift ein. Du erinnerst dich, dass du die Anzahl der Maler mit der Variablen x darstellst. Daher setzt du die Anzahl der Maler, 4, in die Vorschrift ein.

    \begin{align*} y =&\; 2 \cdot \textcolor{red}{4}\\ y =&\; 8\\ \end{align*}

Vier Maler streichen also acht Räume an einem Tag.

x berechnen mit Zuordnungsvorschrift:

Du kannst dich aber auch fragen, wie viele Maler du brauchst, um zehn Räume zu streichen. Dann suchst du die 1. Größe. Du erinnerst dich: Die 1. Größe, die Anzahl der Maler hast du x zugeordnet. Um diese zu berechnen, setzt du die dir bekannte Anzahl der Räume (10) in die Vorschrift ein:

    \begin{align*} y =&\; 2 \cdot x\\ \textcolor{blue}{10} =&\; 2 x\\ \textcolor{blue}{10} =&\; 2 x \;\;\; | : 2\\ \textcolor{blue}{5} =&\; x\\ \end{align*}

Du benötigst also fünf Maler, um zehn Räume zu streichen.

Um fehlende Angaben von proportionalen Zuordnungen zu berechnen, kannst du den Dreisatz nutzen. Um zu erfahren, wie das geht, klick hier .

Antiproportionale Zuordnung

Es gibt nicht nur Zuordnungen, deren Größen sich proportional entwickeln. Um zu erfahren, was es damit auf sich hat, sieh dir unseren Beitrag zu antiproportionalen Zuordnungen an. Bis gleich! % Thumbnail-Verweis

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