In diesem Beitrag erklären wir dir, wie du mit den Lotfußpunktverfahren den Abstand eines Punktes von einer Geraden oder einer Ebene bestimmen kannst und rechnen gemeinsam ausführliche Beispiele durch.
In unserem Erklärvideo findest du eine unkomplizierte und anschauliche Erläuterung der Lotfußpunktverfahren .
Lotfußpunktverfahren sind ein beliebtes Mittel, um den Abstand zwischen Punkten, Geraden und Ebenen zu berechnen. Der große Vorteil dieser Verfahren ist, dass sie neben dem Abstand auch noch die Koordinaten der Endpunkte (Lotfußpunkte) der Abstandsstrecke liefern. Der Abstand zwischen zwei geometrischen Formen ist dabei:
Lotfußpunktverfahren gibt es in zwei Varianten: Entweder verwendet man eine Hilfsebene oder einen allgemeinen, oder „laufenden“, Punkt.
Für die Berechnung des Abstandes eines Punktes von einer Geraden stellen wir dir sowohl die Variante mit der Hilfsebene als auch die mit dem laufenden Punkt vor. Außerdem rechnen wir ein Beispiel für beide Varianten ausführlich durch.
Wenn du die Koordinaten des Lotfußpunktes nicht benötigst, erhältst du den Abstand auch schneller durch eine einfache Lösungsformel. In unserem Beitrag Abstand Punkt Gerade erklären wir dir genau, wie du dabei vorgehen musst.
Wenn du dich stattdessen für die Abstandsberechnung anderer geometrischer Formen und Lagen mit dem Lotfußpunktverfahren interessierst, dann schau dir unsere genau passenden Beiträge an:
Um mittels des Lotfußpunktverfahrens mit einer Hilfsebene den Abstand zu berechnen, stellst du zunächst die Gleichung einer Hilfsebene auf. Diese Ebene soll senkrecht auf der Geraden stehen und durch den außerhalb liegenden Punkt verlaufen. Anschließend bestimmst du den Durchstoßpunkt der Geraden durch die Hilfsebene. Der Durchstoßpunkt ist dabei derselbe Punkt, der sich beim Fällen des Lotes ergibt.
Beim Lotfußpunktverfahren mit einem laufenden Punkt nutzt du die Tatsache, dass der Weg von der Geraden zum außerhalb liegenden Punkt dann am kürzesten ist, wenn der Verbindungsvektor senkrecht auf der Geraden steht. Der Vektor muss daher orthogonal auf dem Richtungsvektor
der Geraden stehen. Ein wichtiger Punkt dabei ist, dass orthogonal zueinander stehende Vektoren immer ein Skalarprodukt von Null haben. Über diese Bedingung kann der Lotfußpunkt auf der Geraden berechnet werden.
Gegeben ist die Gerade in Parameterform und der Punkt
.
Wir suchen den minimalen Abstand zwischen Punkt
und Gerade
.
Schritt 1: Hilfsebene aufstellen
Die Koordinaten des Richtungsvektors der Geraden geben die Koeffizienten der Ebenengleichung vor, da die Hilfsebene
senkrecht auf
stehen soll.
Da die Hilfsebene zusätzlich den Punkt enthalten soll, muss die Gleichung
erfüllen. Wir setzen also die Koordinaten in die Ebenengleichung ein und können dadurch die rechte Seite
festlegen:
Die Hilfsebene ist damit folgendermaßen definiert:
Schritt 2: Schnittpunkt aus Hilfsebene und Gerade berechnen
In diesem Schritt setzt man die Koordinaten von in
ein.
Setzt man dieses jetzt in g ein, folgt daraus der Schnittpunkt
.
in
:
Der Durchstoßpunkt liegt somit bei (
).
Schritt 3: Verbindungsvektor bestimmen und Länge berechnen
Um die Länge der Strecke von (
) nach
zu bestimmen, müssen wir zunächst den Verbindungsvektor
des Durchstoßpunktes
und des Punktes
berechnen.
Jetzt können wir über den Betrag des Verbindungsvektors den Abstand von Punkt und Gerade ausrechnen.
Schritt 1: Laufenden Punkt und Verbindungsvektor bestimmen
Den laufenden Punkt entnehmen wir der Geradengleichung. Die Zeilen der Gleichung enstprechen dabei den Koordinaten.
Der allgemeine Verbindungsvektor ergibt sich, indem wir die Punktvektoren und
voneinander abziehen.
Schritt 2: und damit den Lotfußpunkt aus der Orthogonalitätsbeziehung (
) des Verbindungsvektors und des Richtungsvektors ableiten
Setzten wir in den laufenden Punkt
, so ergibt sich der Lotfußpunkt
).
Schritt 3: Verbindungsvektor bestimmen und Länge berechnen
Durch Abziehen ihrer Vektoren erhalten wir den Verbindungsvektor zwischen dem Lotfußpunkt auf der Geraden und dem Punkt
.
Der Abstand ist hier wiederum gleich dem Betrag des Verbindungsvektors
.
Abstände kannst du in der Geometrie zwischen verschiedenen Objekten bestimmen. Zum Glück haben wir zu all diesen Themen eigene Beiträge für dich:
Hallo, leider nutzt du einen AdBlocker.
Auf Studyflix bieten wir dir kostenlos hochwertige Bildung an. Dies können wir nur durch die Unterstützung unserer Werbepartner tun.
Schalte bitte deinen Adblocker für Studyflix aus oder füge uns zu deinen Ausnahmen hinzu. Das tut dir nicht weh und hilft uns weiter.
Danke!
Dein Studyflix-Team
Wenn du nicht weißt, wie du deinen Adblocker deaktivierst oder Studyflix zu den Ausnahmen hinzufügst, findest du hier eine kurze Anleitung. Bitte lade anschließend die Seite neu.