Du willst wissen, wie du Nullstellen einer quadratischen Funktion berechnen kannst? Und was hat die Mitternachtsformel damit zu tun? Dann ist dieser Artikel und unser Video genau das Richtige für dich!
Die Nullstellen einer quadratischen Funktion sind die Punkte, an denen die Funktion die x-Achse schneidet. Eine quadratische Funktion kann zwei, eine oder keine Nullstelle haben.
Die Funktion f(x) = x2 – 2 hat zum Beispiel zwei Nullstellen. f(x) = x2 + 2 hat dagegen gar keine.
Aber wie sieht es mit anderen Parabeln aus, zum Beispiel f(x) = 2x2 + 4x – 6 oder f(x) = x2 + 3x? Um dann die Nullstellen der Parabel zu berechnen, kannst du immer die Mitternachtsformel verwenden. Schau dir gleich an, wie das funktioniert!
Du kannst die Nullstellen von quadratischen Funktionen f(x) = ax2 + bx – c immer mit der Mitternachtsformel berechnen. Dafür brauchst du nur die Zahl vor dem x2 (a), die Zahl vor dem x (b) und die Zahl ohne x (c).
Die Nullstellen x1 und x2 einer quadratischen Funktion sind:
Schau dir das gleich an einem Beispiel an:
f(x) = 2x2 + 4x – 6
Hier ist a = 2 (Zahl vor dem x2), b = 4 (Zahl vor dem x) und c = -6.
Jetzt gehst du in 3 Schritten vor:
2x2 + 4x – 6 = 0
Deine beiden Nullstellen der quadratischen Funktion liegen bei x1 = 1 und x2 = -3. Du hast also zwei Nullstellen. Allgemein kannst du dir merken:
Die Zahl unter der Wurzel nennst du auch Diskriminante .
Übrigens: Wenn vor x2 keine Zahl steht, kannst du auch die pq-Formel verwenden, um Nullstellen quadratischer Funktionen zu berechnen. Schau dir gleich unser Video dazu an, um sie genauer kennenzulernen!
Die Mitternachtsformel kannst du bei jeder quadratischen Funktion anwenden. Manchmal gibt es aber einen leichteren Weg, die Nullstellen einer Parabel zu berechnen. Schau dir dazu das Ausklammern und das Wurzelziehen an.
Ausklammern kannst du immer dann, wenn deine Funktion keine Zahl ohne x (c) hat.
Beispiel: f(x) = 2x2 – 4x
Hier gehst du so vor:
2x2 – 4x = 0
x • (2x – 4) = 0
2x – 4 = 0 ⇒ x = 2
Die Nullstellen der Parabel sind dann x1 = 2 und x2 = 0. Merk dir, dass die zweite Nullstelle beim Ausklammern immer 0 ist!
Wurzelziehen kannst du dann anwenden, wenn deine Funktion kein x ohne Quadrat hat. Das ist bei diesen Funktionen der Fall:
Schau dir an, wie du die Nullstellen der beiden quadratischen Funktionen berechnen kannst!
Nullstellen der Parabel f(x) = 2x2 berechnen
2x2 = 0
Nullstellen der Parabel f(x) =2x2 – 8 berechnen
2x2 – 8 = 0
2x2 – 8 = 0 ⇒ 2x2 = 8 ⇒ x2 = 4
x2 = 4 ⇒ x = = ± 2
Deine beiden Nullstellen der quadratischen Funktion sind also x1 = -2 und x2 = 2.
Um die Nullstellen zu berechnen, brauchst du deshalb die allgemeine Form einer quadratischen Funktion, also f(x) = ax2 + bx + c:
Bei Nullstellen berechnest du die Schnittpunkte einer quadratischen Funktion mit der x-Achse. Aber was, wenn zwei quadratische Funktionen sich schneiden? Oder eine Parabel und eine Gerade?
Schau dir gleich an einem Beispiel an, wie du dann vorgehst. Du hast die quadratischen Funktionen f(x) = 4x2 + 8 und g(x) = x2 – 9x + 2
4x2 + 8 = x2 – 9x + 2
3x2 + 9x + 6 = 0
Deine Schnittpunkte sind also S1(-1|12) und S2(-2|24).
Das ging dir zu schnell? Dann schau dir gleich unser Video zu Schnittpunkten von Funktionen an!
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