Mathe Grundlagen

Rotationskörper

Du hast das Thema Rotationskörper noch nicht so ganz verstanden? Kein Problem! Hier erklären wir es dir Schritt für Schritt mit vielen Beispielen.

Am besten kannst du dir die Rotationskörper bildlich vorstellen, wenn du dir unser Video anschaust.

Inhaltsübersicht

Rotationskörper einfach erklärt

Was ein Rotationskörper ist, kannst du dir leicht vorstellen, wenn du berücksichtigst, wie er entsteht. Dazu betrachtest du eine Fläche im Koordinatensystem (z.B. ein Dreieck) und drehst diese Fläche um 360^\circ um eine der beiden Koordinatenachsen. Die dreidimensionale Figur, die dadurch entsteht, heißt Rotationskörper. Im Falle eines Dreiecks erhältst du einen Kegel. 

Rotationskörper, Rotation Dreieck, rotierendes Dreieck
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Rotationskörper aus Dreieck

Ein Rotationskörper kann sehr verschiedene Formen annehmen. Das hängt einerseits von der rotierenden Fläche ab und andererseits davon, um welche Achse das Flächenstück rotiert. War deine ursprüngliche Fläche beispielsweise ein Rechteck, erhältst du einen Zylinder. 

Rotationskörper Formel

Zunächst wollen wir uns anschauen, wie du das Volumen von einem Rotationskörper berechnen kannst. Dabei macht es einen Unterschied, ob der Körper um die x-Achse oder um die y-Achse gedreht wird. Wir betrachten die beiden Formeln unabhängig voneinander und schauen uns zuerst die Rotation um die x-Achse an.

Volumen Rotationskörper bei Drehung um die x-Achse

Wenn du eine Kurve f(x) gegeben hast, die mit der x-Achse und der y-Achse ein Flächenstück einschließt, erhältst du durch Drehung um die x-Achse einen Rotationskörper. Sein Volumen V kannst du mittels Integration  und der folgenden Formel berechnen.

 Volumen eines Rotationskörpers bei Drehung um die x-Achse

V = \pi \cdot \int\limits_a^b \left(f(x)\right)^2 dx.

Die Integrationsgrenzen a und b sind die x-Werte, die dein Flächenstück begrenzen, d.h. die Grenzen deines Definitionsbereichs von f(x). 

Aber Vorsicht! Rotiert dein Flächenstück um die y-Achse, brauchst du eine andere Formel!

Rotationskörper Volumen bei Drehung um die y-Achse

Rotiert dein Flächenstück um die y-Achse, so berechnest du den Rotationskörper anders. Genauer gesagt gibt es zwei verschiedene Möglichkeiten, die aber auf das selbe Ergebnis führen. Weil du hier die Umkehrfunktion f^{-1}(y) benötigst, ist es wichtig, dass f(x) stetig und monoton ist! %Video verlinken, falls es eins geben wird (noch nicht online (Stand 19.04.2020)) 

 1. Formel für das Rotationsvolumen V bei Rotation um die y-Achse

V = \pi \cdot \int_{\min\{f(a), f(b)\}}^{\max\{f(a),f(b)\}} \left(f^{-1}(y)\right)^2 dy.

Dabei sind f(a) und f(b) dieses Mal die Grenzen deines Wertebereichs, also die Werte, die du erhältst, wenn du die untere und die obere Integrationsgrenze in f(x) einsetzt. Die zweite Möglichkeit der Berechnung lautet

2. Formel für das Rotationsvolumen V bei Rotation um die y-Achse

V = \pi \cdot \int\limits_a^b x^2 |f'(x)|dx.

Formel Rotationskörper Mantelfläche

Von einem Rotationskörper kann man anstelle des Volumens auch die Mantelfläche M berechnen. Bei einem Kegel ist das der Flächeninhalt eines Kreissektors, bei einem Zylinder entspricht die Mantelfläche einem Rechteck.

Rotationskörper - Mantelfläche berechnen, Formel
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Rotationskörper – Mantelfläche berechnen

Mantelfläche bei Rotation um x-Achse

Zur Berechnung der Mantelfläche benötigst du bei der Rotation um die x-Achse diese Formel:

Berechnung des Mantels bei Rotation um die x-Achse

M = 2\pi \cdot \int\limits_a^b f(x) \sqrt{1+\left(f'(x)\right)^2}dx.

Mantelfläche bei Rotation um y-Achse

Für die Rotation um die y-Achse brauchst du wieder die Umkehrfunktion f^{-1}(y). Die zugehörige Formel lautet dann

Berechnung des Mantels bei Rotation um die y-Achse

M = 2\pi \cdot \int_{\min\{f(a), f(b)\}}^{\max\{f(a),f(b)\}} f^{-1}(y)\sqrt{1+\left(\left(f^{-1}(y)\right)'\right)^2}dy.

Rotationskörper berechnen: Beispiele

Damit du noch besser verstehst, wie du Volumen und Mantelfläche von einem Rotationskörper berechnest, betrachten wir nun einige Beispiele.

Beispiel 1: Rotationsvolumen bei Drehung um die x-Achse

Gesucht sei das Rotationsvolumen von f(x) = \frac{1}{2}x^2+1 im Intervall \left[0, 2\right] bei Rotation um die x-Achse.

Gegeben ist die Funktion f(x) = \frac{1}{2}x^2+1, die im Intervall \left[0,2\right] ein Flächenstück beschreibt. Gesucht ist das Volumen des Rotationskörpers, der durch Drehung des Flächenstücks um die x-Achse entsteht. Dazu müssen wir nur alle Werte in die obige Formel für die Rotation um die x-Achse einsetzen und berechnen

V = \pi \cdot \int\limits_0^2 \left(\frac{1}{2}x^2+1\right)^2 dx

=  \pi \cdot \int\limits_0^2 \left(\frac{1}{4}x^4+x^2+1 \right)dx

= \pi \left[ \frac{1}{20}x^5+\frac{1}{3}x^3+x\right]\limites_0^2

= \pi \cdot \frac{94}{15} \quad \approx \quad  19,7.

Beispiel 2: Rotationsvolumen bei Drehung um die y-Achse

Gesucht sei das Rotationsvolumen von f(x) = \frac{1}{2}x^2+1 im Intervall \left[0, 2\right] bei Rotation um die y-Achse.

Damit du den Unterschied zwischen der Drehung um die x-Achse und der Drehung um die y-Achse direkt siehst, betrachten wir noch einmal dieselbe Funktion wie im ersten Beispiel. Drehst du sie um die y-Achse erhältst du einen ganz anderen Körper! Sein Volumen wollen wir nun auf die beiden möglichen Arten bestimmen. Um die erste Formel anwenden zu können, benötigen wir jedoch zuerst die Umkehrfunktion f^{-1}(y). Diese ist in [0,2] wohldefiniert, da f(x) in diesem Intervall streng monoton steigend ist. Aber Vorsicht: Im Allgemeinen gilt das nicht!

Wir berechnen die Umkehrfunktion, indem wir f(x) nach y auflösen

y = f(x) = \frac{1}{2}x^2 +1

\Longleftrightarrow x = f^{-1}(y) = \sqrt{2y-2}.

Um das Rotationsvolumen auszurechnen, fehlen jetzt noch die Integralgrenzen. Dazu berechnen wir f(0) = 1 und f(2)=3 und erhalten

V = \pi \cdot \int_1^3 \left( \sqrt{2y-2}\right)^2 dy,

= \pi \cdot \int_1^3 \left(2y-2 \right)dy

= \pi \cdot \left[y^2-2y\right]\limits_1^3

= \pi \left( 9-6-1+2\right) = 4\pi.

Zur Überprüfung wollen wir das Volumen auch noch mit der zweiten Formel bestimmen. Dazu benötigen wir die Ableitung f'(x) = x. Einsetzen ergibt

V = \pi \cdot \int\limits_0^2 \left(x^2 |x|\right)dx.

Die Betrag-Striche kannst du hier weglassen, weil f'(x) = x in [0,2] positiv ist. Also gilt

V = \pi \cdot \int\limits_0^2 \left(x^2 \cdot x\right) dx

= \pi \cdot \int\limits_0^2 x^3 dx

= \pi \cdot \left[ \frac{1}{4}x^4\right]\limits_0^2 = 4\pi.

Achtung: Pass auf, dass du das \pi bei der Berechnung nirgends vergisst!

Beispiel 3: Mantelfläche Rotationskörper um die x-Achse

Sei f(x) =-2x+4 die Funktion, die im Intervall [0,2] durch Rotation um die x-Achse einen Kegel beschreibt. Seine Mantelfläche lässt sich mit obiger Formel leicht berechnen. Dazu musst du zuerst die Ableitung f'(x) = -2 bestimmen und in die Formel einsetzen

M = 2\pi \cdot \int\limits_0^2 \left(-2x+4\right) \sqrt{1+(-2)^2}dx

= 2\pi \cdot \int\limits_0^2 \left(-2x+4\right) \cdot  \sqrt{5}dx

= 2\pi \cdot \sqrt{5} \biggl[ -x^2+4x\biggr]\limits_0^2 = 8\pi \cdot \sqrt{5}.

Beispiel 4: Zusammengesetzte Rotationskörper

In vielen Aufgaben musst du das Volumen eines zusammengesetzten Rotationskörpers berechnen. Das typische Beispiel ist ein Zylinder mit aufgesetztem Kegel.

Das Volumen dieses Rotationskörpers kannst du bestimmen, indem du zuerst das Volumen des Zylinders ausrechnest, und dann das Volumen des Kegels addierst.

In der Abbildung siehst du die Rotationsfläche, die durch f(x) = 2 in [0,3] und g(x) = -x+5 in [3,5] beschrieben wird. Willst du das zugehörige Rotationsvolumen bestimmen, berechnest du also

V = \pi \cdot \int\limits_0^3 2^2dx + \pi \cdot \int\limits_3^5 \left( -x+5)^2dx

= \pi \cdot \biggl[4x\biggr]\limits_0^3 + \pi \left[\frac{1}{3}x^3-5x^2+25x\right]\limits_3^5

= 14,67 \cdot \pi.

Rotationskörper Aufgaben

Wenn du selbstständig weiter üben möchtest, findest du hier noch einige etwas schwerere Aufgaben mit Lösungen.

Aufgabe 1

Sei f(x) = 6\sqrt{x} eine Funktion, die durch Rotation um die x-Achse im Intervall [0,9] eine Schüssel beschreibt. Werden x und f(x) in \mathrm{cm} angegeben, so ist die Schüssel 9 \mathrm{cm} hoch.

a) Skizziere den Rotationskörper und berechne dann den Durchmesser der Schüssel.

b) Welches Volumen hat die Schüssel? Wie viele Liter sind das?

Aufgabe 2

f(x) = -\frac{5}{6}x^3 rotiert um die y-Achse. Das Volumen des zugehörigen Rotationskörpers soll 16\pi\mathrm{cm}^3 betragen. Berechne die möglichen Integrationsgrenzen, wenn eine Einheit einem Zentimeter entspricht.

Lösungen:

Aufgabe  1:

a)  Um den Durchmesser von diesem Rotationskörper zu berechnen, setzt du lediglich die obere Grenze des Definitionsbereiches in f(x) ein und erhältst für den Radius

f(9)= 6\cdot \sqrt{9} =18 \mathrm{cm}.

Der Durchmesser beträgt somit 36 \mathrm{cm}.

b) Setzt du alle Parameter in die Formel zur Berechnung des Volumens bei Rotation um die x-Achse ein, musst du das Integral

\pi \cdot \int\limits_0^9 \left( 6\sqrt{x}\right)^2 dx

berechnen. Als Lösung erhältst du dann

4580\mathrm{cm}^3=4,580 \mathrm{l}.

Aufgabe 2:

Um die Integrationsgrenzen zu bestimmen, setzt du alle bekannten Werte in die Formel für den Rotationskörper bei Drehung um die y-Achse ein:

16\pi = \pi \cdot \int\limits_a^b x^2\cdot |\frac{-5}{2}x^2|dx = \pi \cdot \int\limits_a^b\frac{5}{2}x^4dx

\Longleftrightarrow 16 = \biggl[\frac{1}{2}x^5 \biggr]\limits_a^b.

Wähle nun a=0 und erhalte dann b=2.

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