Mathe Grundlagen
Abstandsrechnung
 – Video

Abstand Punkt Gerade einfach erklärt

Der Abstand zwischen einem Punkt und einer Gerade ist ihre kürzeste Verbindung. Den Abstand berechnest du, indem du eine senkrechte Linie vom Punkt P zur Geraden ziehst. Du fällst also das Lot. Die Länge der Strecke \textcolor{blue}{\overline{PS}} ist dann der Abstand zwischen Gerade und Punkt.

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Abstand Punkt Gerade

In einem dreidimensionalen Raum kannst du den Abstand eines Punktes P(P1|P2|P3) zu einer Geraden g: \vec{x} = \vec{q} + \lambda \cdot \vec{u} ganz leicht mit der Abstandsformel bestimmen:

    \[d = \frac{\vert (\vec{p} - \vec{q}) \times \vec{u} \vert}{\vert \vec{u} \vert}\]

Brauchst du zusätzlich noch die Koordinaten des Schnittpunktes S, verwendest du stattdessen besser eines der Lotfußpunktverfahren  .

Um die Berechnung des Abstands zwischen Punkt und Gerade zu üben, haben wir dir ausführliche Beispiele vorbereitet.

Abstand Punkt Gerade berechnen

Wir wollen den Abstand zwischen der Geraden g in Parameterform und dem Punkt P (1 \vert 3 \vert 3) bestimmen.

g: \vec{x} = \left( \begin{array}{c}3\\-2\\-2\end{array}\right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c}-2\\1\\3\end{array}\right)

d = \frac{\vert (\vec{p} - \vec{q}) \times \vec{u} \vert}{\vert \vec{u} \vert}

Schritt 1

Um die Formel lösen zu können, müssen wir zunächst den Vektor \vec{q} vom Vektor \vec{p} abziehen. Dadurch erhalten wir den Verbindungsvektor des Aufpunkts Q der Gerade und dem Punkt P.

\vec{AP} = \vec{p} - \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 3 \\\ 3 \end{array}\right) - \left( \begin{array}{c} 3 \\\ -2 \\\ -2 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} -2 \\\ 5 \\\ 5 \end{array}\right)

Schritt 2

Im nächsten Schritt müssen wir das Kreuzprodukt aus dem gerade berechneten Vektor und dem Richtungsvektor der Geraden bestimmen. Bildet man das Kreuzprodukt zweier Vektoren, wird ein Vektor erzeugt, der senkrecht auf diesen steht.

Kreuzprodukt allgemein: \vec{a} \times \vec{b} = \left( \begin{array}{c} a_1 \\\ a_2 \\\ a_3 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{c} b_1 \\\ b_2 \\\ b_3 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} a_2 b_3 - a_3 b_2 \\\ a_3 b_1 - a_1 b_3 \\\ a_1 b_2 - a_2 b_1 \end{array}\right)

Für unser Beispiel setzen wir jetzt den zuvor berechneten Vektor \vec{AP} und \vec{u} ein.

(\vec{p} - \vec{a}) \times \vec{u} = \left( \begin{array}{c} -2 \\\ 5 \\\ 5 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{c} -2 \\\ 1 \\\ 3 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} {5\cdot 3 - 5 \cdot 1} \\\ {5 \cdot (-2) - (-2) \cdot 3} \\\ {(-2) \cdot 1 - 5 \cdot (-2)}\end{array}\right) = \left( \begin{array}{c}10 \\\ -4 \\\ 8 \end{array}\right)

Schritt 3

Den Abstand d berechnen wir nun, indem wir den Betrag des Kreuzproduktes durch den Betrag des Richtungsvektors der Geraden teilen.

d = \frac{\sqrt{10^2 + (-4)^2 + 8^2}}{\sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 3^2}} = \frac{6\sqrt{5}}{\sqrt{14}} \approx 3,59

Der Abstand zwischen g und P beträgt also ungefähr 3,59 Längeneinheiten.

Abstand Punkt Gerade – Beispiel

Aufgabe: Gesucht ist der Abstand von Punkt T (8 \vert 4 \vert 5) und der Geraden h: \vec{x} = \q + \lambda \vec{u}.

h: \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 2 \end{array}\right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \\\ 4 \end{array}\right)

Tipp

Bevor du mit dem Rechnen loslegst, solltest du immer überprüfen, ob der Punkt schon auf der Geraden liegt.

Dann wäre der Abstand logischerweise Null. Um unnötigen Rechenaufwand zu vermeiden, solltest du zuerst die folgenden drei Schritte durchführen:

Schritt 0

1. Punkt T für \vec{x} in h einsetzen

\left( \begin{array}{c} 8\\\ 4\\\ 5\end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 2 \end{array}\right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \\\ 4 \end{array}\right)

2. Gleichungssystem aufstellen

8 = 1 + 2 \lambda
4 = \lambda
5 = 2 + 4 \lambda

3. Nach \lambda zeilenweise auflösen

8 = 1 + 2 \lambda \ \ \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \lambda = 4,5
4 = \lambda \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \lambda = 4
5 = 2 + 4 \lambda \ \ \ \ \ \rightarrow \ \ \ \lambda = \frac{3}{4}

\Rrightarrow Der Punkt T liegt nicht auf der Geraden h, da \lambda in den Zeilen des Gleichungssystems unterschiedliche Werte annimmt. Das Gleichungssystem liefert also eine falsche Aussage.

Nachdem nun gesichert ist, dass der Abstand ungleich Null ist, können wir diesen nun mit Hilfe der Formel bestimmen.

    \[d = \frac{\vert (\vec{t} - \vec{q}) \times \vec{u} \vert}{\vert \vec{u} \vert} \]

Schritt 1

Am einfachsten ist es, die Formel aufzuteilen und diese Unterteilungen einzeln zu berechnen. Zuerst ziehst du den Aufpunktsvektor \vec{q} der Geraden vom Punktvektor \vec{t} ab.

(\vec{t} - \vec{q}) = \left( \begin{array}{c} 8 \\\ 4 \\\ 5 \end{array}\right) - \left( \begin{array}{c} 1 \\\ 0 \\\ 2 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 7 \\\ 4 \\\ 3 \end{array}\right)

Schritt 2

Anschließend berechnen wir das Kreuzprodukt aus der eben berechneten Vektordifferenz und dem Richtungsvektor der Geraden. Wie beim Kreuzprodukt gerechnet werden muss, findest du im Absatz „Abstand Punkt Gerade Formel“.

(\vec{t} - \vec{q}) \times \vec{u} = \left( \begin{array}{c} 7 \\\ 4 \\\ 3 \end{array}\right) \times \left( \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \\\ 4 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 13 \\\ -22 \\\ -1 \end{array}\right)

Schritt 3

Zum Schluss teilt man den Vektorbetrag des Kreuzprodukts durch den Betrag des Richtungsvektors und erhält den Abstand.

    \[d = \frac{\sqrt{13^2+(-22)^2+(-1)^2}}{\sqrt{2^2+1^2+4^2}} \approx 5,6\]

Der Abstand zwischen der Geraden h und dem Punkt T beträgt circa 5,6 LE.

Alternative Berechnung mit der Hilfsebene%neu

Den Abstand zwischen Punkt und Gerade kannst du auch mit einer Hilfsebene bestimmen. Dazu musst du nur dieser 5-Schritte-Anleitung folgen, die wir dir anhand eines Beispiels erklären:

Du hast den Punkt P (-1 | -3 | 3 ) und die Gerade g: \vec{x} = \left( \begin{array}{c}2\\1\\-3\end{array}\right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c}-1\\3\\1\end{array}\right) gegeben.

Schritt 1 Zuerst bildest du die Hilfsebene in Normalform, die durch den Punkt P geht und senkrecht zu dem Richtungsvektor \vec{u} ist.  Dazu brauchst du den Normalenvektor\vec{n}, er steht senkrecht auf der Ebene. Der \vec{u} aus der Gerade g ist der Vektor = \vec{n} der Hilfsebene.

    \[E: \left [\vec{x} - \left( \begin{array}{c} 1 \\\ -3 \\\ -3 \end{array}\right)\right] \circ  \left( \begin{array}{c} -1 \\\ 3 \\\ 1 \end{array}\right) = 0\]

Schritt 2 Jetzt kannst du die Ebene E in die Koordinatenform umwandeln.

\left [\vec{x} - \left( \begin{array}{c} 1 \\\ -3 \\\ -3 \end{array}\right)\right]  \circ  \left( \begin{array}{c} -1 \\\ 3 \\\ 1 \end{array}\right) = 0

⇒ – (x1 – 1) + 3 (x2 + 3) + (x3 + 3) = 0

⇒ – x1 + 3x2 + x3 = – 13

Schritt 3 Nun setzt du in x1 , x2 , x3 den Vektor \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 2- \lambda \\\ 1 +3\lambda \\\ -3+ \lambda \end{array}\right) ein. Dadurch rechnest du λ aus und bestimmst den Schnittpunkt der Hilfsebene E mit der Gerade g. 

– (2 – λ) + 3 (1 + 3λ) + (-3 + λ) = – 13

11 λ = -11

λ = – 1

Schritt 4 Als Nächstes setzt du λ in die Gerade g ein, um den Ortsvektor \vec{S} des Schnittpunktes zu bestimmen.

\vec{S} = \left( \begin{array}{c} 2 \\\ 1 \\\ - 3 \end{array}\right) + (-1) \cdot  \left( \begin{array}{c} -1 \\\ 3 \\\ 1 \end{array}\right) = \left( \begin{array}{c} 3 \\\ -2 \\\ -4 \end{array}\right)

Schritt 5 Als Letztes berechnest du den Abstand der Punkte S und P.

d = \sqrt{(3-1)^2 + (-2 -(-3))^2 + (-4-(-3))^2} = \sqrt{6}

Super! Du hast den Abstand zwischen Punkt und Gerade mithilfe der Hilfsebene bestimmt!

Abstandsrechnung – weitere Themen

Es gibt noch viel mehr Abstände, die du berechnen kannst. Hier findest du die Videos zu allen wichtigen Berechnungen!

Hier geht’s zum Video Abstand Gerade Gerade

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