Mathe Grundlagen

Tschebyscheff Ungleichung

Hier erfährst du alles zur Ungleichung von Tschebyscheff. Die dazugehörige Formel wird dir anhand eines anschaulichen Beispiels einfach erklärt.

Du schaust gerne Filme? Wir auch! Unser Video erklärt dir sofort was es mit der Ungleichung von Tschebyscheff auf sich hat.

Inhaltsübersicht

Ungleichung von Tschebyscheff einfach erklärt

Mithilfe der Tschebyscheff Ungleichung kann die maximale Wahrscheinlichkeit geschätzt werden, dass der Wert einer Zufallsvariable X sich außerhalb bestimmter Intervallgrenzen befindet. Die sich ergebende Wahrscheinlichkeit ist eine obere Abschätzung. Sie wird das errechnete Ergebnis also nicht übersteigen, kann aber darunter liegen.
Alternativ kann auch die Gegenwahrscheinlichkeit als untere Abschätzung bestimmt werden, also die Mindestwahrscheinlichkeit, dass der Wert einer Zufallsvariable X sich innerhalb der Intervallgrenzen befindet.

Tschebyscheff Ungleichung, Mindestwahrscheinlichkeit, Intervallgrenzen
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Tschebyscheff Ungleichung Definition

Tschebyscheff Ungleichung Formel

Schauen wir uns nun zunächst die Formel für die Tschebyscheff Ungleichung an. Diese lautet:

Ungleichung 1:     P(|X-E(X)|>=k)\le\frac{V(X)}{k^2}

Wobei E(X) für den Erwartungswert steht, V(X) die Varianz (Zur Erinnerung: V(X) äquivalent zu \sigma^2 ) bezeichnet und k die Breite des Intervalls bestimmt.
Äquivalent zu Ungleichung 1 kann aber auch die folgende alternative Darstellung verwendet werden.

Ungleichung 2:       P(|X-E(X)|<k)\geq1-\frac{V(X)}{k^2}

Tschebyscheff Ungleichung Erklärung

Mit der Ungleichung 1 kann die obere Wahrscheinlichkeit (Maximalwahrscheinlichkeit) dafür geschätzt werden, dass der Wert einer Zufallsvariable X außerhalb des durch k und den Erwartungswert E(X) definierten Intervalls liegt.

Mit anderen Worten: es wird die Wahrscheinlichkeit P gesucht, dass

X\notin(E(X)-k,\ \ E(X)+k)

Mit der Ungleichung 2 kann man die entsprechende Gegenwahrscheinlichkeit bestimmen, also die untere Wahrscheinlichkeit (Minimalwahrscheinlichkeit). Es wird geschätzt, dass der Wert einer Zufallsvariable X innerhalb des durch k und den Erwartungswert definierten Intervalls liegt. Anders beschrieben wird die Wahrscheinlichkeit P gesucht, dass

X\in(E(X)-k,\ \ E(X)+k)

Aus Gründen der Vereinfachung werden wir im nun folgenden Beispiel ausschließlich auf Ungleichung 1 eingehen. Die Berechnung der Gegenwahrscheinlichkeit mithilfe von Ungleichung 2 erfolgt äquivalent.

Tschebyscheff Ungleichung Beispiel 

Zur Veranschaulichung erläutern wir die Funktionsweise der Ungleichung von Tschebyscheff anhand eines Binnenschiffes, welches einen großen Fluss befährt. Das Schiff sollte sich im Optimalfall möglichst in der Mitte des Flusses befinden, um nicht dem Risiko ausgesetzt zu sein auf Grund zu laufen. Die Fahrrinne ist jeweils nach links und rechts begrenzt.

Mit der Formel der Tschebyscheff Ungleichung kann man  jetzt die maximale Wahrscheinlichkeit bestimmen, ob sich das Schiff außerhalb der Fahrrinne befindet.

Tschebyscheff Ungleichung Aufgaben: Beispiel Rechnung

Verdeutlichen wir den Sachverhalt anhand eines Rechenbeispiels. Im Erwartungswert sollte sich das Schiff in der Mitte des Flusses aufhalten und damit eine Abweichung von der Flussmitte von 0 haben.

Daraus ergibt sich \ E(X)=0

Die Fahrrinne ist 20 m breit, also 10 m in jede Richtung. Daraus ergibt sich k=10 . Die Varianz ist gegeben und beträgt VAR(X)=7 . Durch Einsetzen erhalten wir:

P(|X-0|\geq\ 10)\ \le\frac{7}{{10}^2}=\frac{7}{100}=0,07=7\%

Die Wahrscheinlichkeit, dass sich das Schiff außerhalb der Fahrrinne befindet, also um mehr als 10 m in die eine oder andere Richtung vom Erwartungswert (Flussmittelpunkt) entfernt ist, liegt damit bei 7%.

Tschebyscheff Ungleichung Berechnung, Tschebyscheff Ungleichung Beispiel
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Tschebyscheff Ungleichung Beispiel 

Tschebyscheff Ungleichung Aufgaben: Beispiel umgekehrte Rechnung 

Es kann vorkommen, dass bei bestimmten Aufgaben nur die Wahrscheinlichkeit bekannt ist, mit der dein Zufallsvariablenwert die Grenzen verletzt, aber nicht die Größe der Grenzen. Demzufolge ist k unbekannt und muss bestimmt werden. In diesem Beispiel ist also die Breite der Fahrrinne gesucht.

Es wird davon ausgegangen, dass die Varianz mit VAR(X)=7 und der Erwartungswert mit E(X)=0 unverändert zur vorherigen Aufgabe sind. Die Wahrscheinlichkeit, dass der Wert deiner Zufallsvariable sich außerhalb des Intervalls befindet, ist mit 10 % angegeben. Mithilfe der Tschebyscheff Ungleichung ergibt sich daraus folgende Rechnung:

\frac{7}{k^2}=0,1

k\approx8,37

Um mit einer Wahrscheinlichkeit von 10 % die Fahrrinne zu verlassen, müsste die Fahrrinne laut Tschebyscheff Ungleichung also eine Abweichung von weniger als \ \pm 8,37m zulassen. Die Fahrrinne ist also insgesamt 16,74 m breit.

Tschebyscheff Ungleichung umgekehrt, Tschebyscheff Ungleichung umgekehrte Rechnung
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Umgekehrte Rechnung der Tschebyscheff Ungleichung

Tschebyscheff Ungleichung Beweis

Es ist möglich, die tschebyscheffsche Ungleichung mithilfe der Markow-Ungleichung herzuleiten.

Markow-Ungleichung:             \ P[Y\geq k]\leq \frac{E[h(Y)]}{h(k)}

Häufig wird die Ungleichung von Tschebyscheff daher als Sonderfall der Markow-Ungleichung beschrieben.

Tschebyscheff Ungleichung Variante Standardabweichung

Eine zusätzliche, häufig zitierte Variante der Tschebyscheff Ungleichung ist die Folgende:

P(|X-E(X)|>=k\cdot\sigma)\le\frac{1}{k^2}

Dabei ergibt sich die Standardabweichung  aus der Wurzel der Varianz:

\sigma=\sqrt{VAR(X)}

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