Wie rechne ich eine Ebene von der Parameterform in die Normalform um, damit ich die Hessesche Normalform benutzen kann?

Du wandelst die Ebene in die Normalform, indem du erst den Normalenvektor berechnest und dann aufstellst. Für Hesse normierst du: . Beispiel: , , , also .

Wie bekomme ich den Normalenvektor einer Ebene, wenn ich nur zwei Richtungsvektoren aus der Parameterform habe?

Den Normalenvektor einer Ebene bekommst du aus zwei Richtungsvektoren mit dem Kreuzprodukt , weil dann zu beiden Richtungen senkrecht steht. Sind und parallel, entsteht keine eindeutige Ebene. Beispiel: , .

Wie berechne ich den Lotfußpunkt von einem Punkt auf eine Ebene?

Den Lotfußpunkt eines Punkts auf eine Ebene mit Stützpunkt und Normalenvektor berechnest du mit und . Beispiel: Ebene , , , also .

Wie berechne ich den Abstand zwischen einer Geraden und einer Ebene, wenn die Gerade die Ebene nicht parallel ist?

Wenn die Gerade zur Ebene nicht parallel ist, schneiden sich Gerade und Ebene und der Abstand ist automatisch . Du prüfst das mit (Normalenvektor der Ebene, Richtungsvektor der Geraden) und berechnest den Schnittpunkt durch Einsetzen. Beispiel: Gerade und Ebene , also und Abstand .

Wie erkenne ich, ob zwei Ebenen parallel sind?

Zwei Ebenen sind parallel, wenn ihre Normalenvektoren proportional sind, also mit . In Koordinatenform heißt das: ist ein Vielfaches von . Beispiel: und parallel, aber nicht identisch, weil nicht mit skaliert$.

Video

Quiz

Hier geht's zum Video „Kreuzprodukt / Vektorprodukt“

Hier geht's zum Video „Abstand Gerade Gerade“

Abstand Gerade Ebene

Wichtige Inhalte in diesem Video

Abstand Gerade Ebene einfach erklärt

(00:12)

Abstand Gerade Ebene berechnen

(01:46)

Du fragst dich, wie du den Abstand von Gerade und Ebene berechnen kannst? Hier und in unsere Video erfährst du alles Wichtige dazu.

Inhaltsübersicht

Abstand Gerade Ebene einfach erklärt

im Videozur Stelle im Video springen

(00:12)

Der Abstand von zwei Objekten im Raum ist immer die kürzeste Entfernung zwischen ihnen. Deshalb kann der Abstand zwischen Gerade und Ebene drei Fälle haben:

Fall 1: Gerade g und Ebene E schneiden sich = der Abstand ist 0
Fall 2: Gerade g und Ebene E sind parallel, aber g liegt in E = der Abstand ist 0
Fall 3: Gerade g und Ebene E sind parallel, aber g liegt nicht in E = Abstand ist nicht 0

Den Abstand zwischen Gerade und Ebene kannst du nur berechnen, wenn beide Parallel zueinander sind :

abstand ebene gerade, abstand gerade ebene, abstand zwischen gerade und ebene, gerade ebene abstand — Ebene E und Gerade g sind parallel

Du berechnest dabei den Abstand zwischen der Ebene E zu einem beliebigen Punkt auf der Geraden g. Das machst du mit der Hesseschen Normalform .

Berechnung: Schritt für Schritt

Zur Berechnung sind eine Ebene E in Normalform und eine Gerade g gegeben:

E: 4x₁ + 4x₂ – 2x₃ = 4
g = $\vec{x}$ = $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ 5 \end{array}\right)$ + r · $\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 1 \end{array}\right)$

Zur Berechnung des Abstands wählst du jetzt einen beliebigen Punkt auf der Geraden aus. Dazu eignet sich meistens der Stützpunkt der Geraden. Hier ist es P (2 | 3 | 5), den du jetzt in die Formel einsetzt:

Hessesche Normalform:

d(g; E) = d(P; E)= $\frac{\mid 4\cdot 2 + 4 \cdot 3 + (-2) \cdot 5 - 4\mid }{\sqrt{4^2+4^2+(-2)^2}} = \frac{6}{6} = 1$

➔ Die Gerade hat also von der Ebene den Abstand 1

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Abstand Gerade Ebene berechnen

im Videozur Stelle im Video springen

(01:46)

Beispiel 1:

Es sind wieder eine Ebene G und die Gerade k gegeben:

k = $\vec{x}$ = $\left(\begin{array}{c} 5 \\ 3 \\ 4 \end{array}\right)$ + r · $\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$
G: x₃ = 0
Untersuche vor der Berechnung die Parallelität der Ebene und der Geraden. Dazu multiplizierst du den Richtungsvektor der Geraden mit dem Normalenvektor der Ebene

$\left(\begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array}\right)$ · $\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 1 \end{array}\right)$ = 0 · 1 + 1 · 0 + 0 · 1 = 0 ✅
Zuletzt rechnest du mithilfe der Hesseschen Normalform den Abstand aus. Dazu wählst du einen beliebigen Punkt auf der Geraden und setzt ihn in die Formel ein. Hier eignet sich der Stützpunkt der Geraden P (5 | 3 | 4).

d(k; G) = d(P; G) = $\frac{\left| 0 \cdot 5 + 0\cdot 3 + 1\cdot 4 - 0\right|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}=\frac{4}{1}$ = 4

➔ Der Abstand von der Gerade k zu der Ebene G ist also 4.

Beispiel 2:

Es sind eine Ebene F und eine Gerade h gegeben. Die Ebene ist hier aber zuerst in Parameterform angegeben.

h: $\vec{x}$ = $\left(\begin{array}{c} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)$ + r · $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 6 \end{array}\right)$
F: $\vec{x}$ = $\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \end{array}\right)$ + r · $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 6 \end{array}\right)$ + s · $\left(\begin{array}{c} 4 \\ -2 \\ -4 \end{array}\right)$
Forme sie also zuerst in die Koordinatenform um:
- Normalenvektor $\vec{n}$ = $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 0 \\ -1 \end{array}\right)$ x $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 6 \end{array}\right)$ = $\left(\begin{array}{c} -4 \\ 32 \\ -20 \end{array}\right)$
- Also lautet der Ansatz für die Koordinatenform: F = -4x₁ + 32x₂ -20x₃ = d
- Um d zu berechnen, setzt du noch den Stützpunkt P (0 | 0 | 0) in die Ebene ein:
  
  (-4) · 0 + 32 · 0 +(-20) · 0 = 0
Jetzt kannst du die Parallelität der Ebene und der Geraden untersuchen:

$\left(\begin{array}{c} -4 \\ 32 \\ -20 \end{array}\right)$ · $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 4 \\ 6 \end{array}\right)$ = (-4) · 2 + 32 · 4 + (-20) · 6 = -8 + 128 -120 = 0 ✅
Zuletzt bestimmst du den Abstand zu einem beliebigen Punkt, beispielsweise

P (1 | 2 | 3)
d(g; E) = d(P; E) = $\frac{\left|(-4) \cdot 1 + 32 \cdot 2 + (-20) \cdot 3 -0\right|}{\sqrt{(-4)^2+32^2+(-20)^2}}=\frac{0}{1440}$ = 0

➔ Aus dem Ergebnis d = 0 kannst du schließen, dass die Gerade h in der Ebene F liegt.

Das Wichtigste

Achte darauf, dass du vor der Berechnung die Gerade in Parameterform und die Ebene in Koordinatenform vorliegen hast.
Untersuche zuerst, ob die Ebene und die Gerade wirklich parallel zueinander sind. Wenn das nicht der Fall ist, schneiden sich die Beiden an einem Punkt und der Abstand ist automatisch 0.
Zuletzt berechnest du den Abstand von einem Punkt auf der Geraden zu der Ebene. Dazu brauchst du die Hessesche Normalform.

Übrigens: Alternativ kannst du den Abstand auch mit dem Lotfußpunktverfahren berechnen. Mehr dazu erfährst du hier !

Abstand Gerade Ebene — häufigste Fragen

(ausklappen)

Wie rechne ich eine Ebene von der Parameterform in die Normalform um, damit ich die Hessesche Normalform benutzen kann?

Du wandelst die Ebene $\vec{x}=\vec{p}+r\vec{u}+s\vec{v}$ in die Normalform, indem du erst den Normalenvektor $\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}$ berechnest und dann $\vec{n}\cdot(\vec{x}-\vec{p})=0$ aufstellst. Für Hesse normierst du: $\vec{n}_0=\frac{\vec{n}}{\|\vec{n}\|}$ . Beispiel: $\vec{p}=(0,0,0)$ , $\vec{u}=(1,0,0)$ , $\vec{v}=(0,1,0)$ $\Rightarrow$ $\vec{n}=(0,0,1)$ , also .
Wie bekomme ich den Normalenvektor einer Ebene, wenn ich nur zwei Richtungsvektoren aus der Parameterform habe?

Den Normalenvektor einer Ebene bekommst du aus zwei Richtungsvektoren mit dem Kreuzprodukt $\vec{n}=\vec{u}\times\vec{v}$ , weil $\vec{n}$ dann zu beiden Richtungen senkrecht steht. Sind $\vec{u}$ und $\vec{v}$ parallel, entsteht keine eindeutige Ebene. Beispiel: $\vec{u}=(1,2,0)$ , $\vec{v}=(0,1,1)$ $\Rightarrow$ $\vec{n}=(2,-1,1)$ .
Wie berechne ich den Lotfußpunkt von einem Punkt auf eine Ebene?

Den Lotfußpunkt eines Punkts auf eine Ebene mit Stützpunkt $\vec{x}_0$ und Normalenvektor $\vec{n}$ berechnest du mit $L=P-t\vec{n}$ und $t=\frac{\vec{n}\cdot(P-\vec{x}_0)}{\|\vec{n}\|^2}$ . Beispiel: Ebene , , $\vec{n}=(0,0,1)$ $\Rightarrow$ , also .
Wie berechne ich den Abstand zwischen einer Geraden und einer Ebene, wenn die Gerade die Ebene nicht parallel ist?

Wenn die Gerade zur Ebene nicht parallel ist, schneiden sich Gerade und Ebene und der Abstand ist automatisch . Du prüfst das mit $\vec{n}\cdot\vec{v}\neq 0$ (Normalenvektor der Ebene, Richtungsvektor der Geraden) und berechnest den Schnittpunkt durch Einsetzen. Beispiel: Gerade $\vec{x}=(0,0,1)+t(0,0,-1)$ und Ebene $\Rightarrow$ , also und Abstand .
Wie erkenne ich, ob zwei Ebenen parallel sind?

Zwei Ebenen sind parallel, wenn ihre Normalenvektoren proportional sind, also $\vec{n}_1=\lambda\vec{n}_2$ mit $\lambda\neq 0$ . In Koordinatenform heißt das: ist ein Vielfaches von . Beispiel: und $\Rightarrow$ parallel, aber nicht identisch, weil nicht mit skaliert$.

Abstand Gerade Gerade

Prima! Du kannst den Abstand zwischen Ebene und Gerade berechnen! Willst du jetzt auch noch den Abstand zwischen Gerade und Gerade berechnen können? Schau dazu gleich in unser Video rein!