Gestreckte und gestauchte Parabel
Die Normalparabel kennst du schon, aber was passiert, wenn du es mit gestreckten und gestauchten Parabeln zu tun hast? Hier im Artikel und in unserem Video erfährst du alles, was du über Streckung und Stauchung wissen musst!
Inhaltsübersicht
Streckung & Stauchung — Überblick
Bei einer gestreckten oder gestauchten Parabel f(x) = ax2 kannst du den Streckfaktor ganz einfach ablesen: er ist die Zahl a vor dem x2. Dieser Streckfaktor a bestimmt die Form der Parabel .
- a = 1 oder a = -1 → genauso breit wie Normalparabel
- a > 1 oder a < -1 → gestreckt
- -1 < a < 1 → gestaucht
Außerdem kannst du ablesen, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist:
- a positiv → nach oben geöffnet
- a negativ → nach unten geöffnet
Streckung & Stauchung — Streckfaktor ablesen
Du kannst die Form einer Normalparabel also verändern, indem du ihren Funktionsterm x2 mit einer Zahl a multiplizierst: f(x) = a · x2. Aber auch bei verschobenen Parabeln kannst du den Streckfaktor a ganz einfach ablesen: In der Funktionsgleichung steht er immer vor dem Term mit dem Quadrat.
- Standardform (Normalform) : f(x) = ax2 + bx + c
- Scheitelpunktform : f(x) = a · (x – d)2 + e
Dabei sagt dir der Betrag von a, ob die Funktion schmaler (|a| > 1, d.h. a > 1 oder a < -1) oder breiter (|a| < 1,d.h. -1 < a < 1) als die Normalparabel f(x)=x2 ist.
- f(x) = 7x2 + 2x – 5 oder f(x) = -20 · (x + 1)2 – 3 → schmaler als Normalparabel („gestreckte Parabel“)
- f(x) = -¼x2 – 3x + 1 oder f(x) = ½ · (x – 3)2 – 1 → breiter als Normalparabel („gestauchte Parabel“)
Das Vorzeichen von a gibt an, ob die Parabel nach oben (positives Vorzeichen) oder nach unten (negatives Vorzeichen) geöffnet ist.
- f(x) = 7x2 – 2x + 5 oder f(x) = ½ · (x – 3)2 – 1 → nach oben geöffnet
- f(x) = -¼x2 – 3x + 1 oder f(x) = -20 · (x + 1)2 – 3 → nach unten geöffnet
Schau dir die Streckung und Stauchung von Parabeln nun nochmal genauer an zwei Beispielen an.
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Gestreckte Parabel
Die Funktion f(x) = 3x2 hat den Streckfaktor 3. 3 ist größer als 1. Somit hast du es mit einer gestreckten Parabel zu tun. Das siehst du auch an den Funktionswerten. Du erhältst sie, indem du die Funktionswerte der Normalparabel mit dem Faktor 3 multiplizierst.
Wenn du dir die Wertetabelle anschaust, siehst du, dass die Funktionswerte der gestreckten Parabel f(x) = 3x2 viel schneller wachsen als die der Normalparabel. Dadurch wird der Funktionsgraph sozusagen „nach oben gezogen“. Das erklärt, warum eine gestreckte Parabel schmaler ist als eine Normalparabel.
Gestauchte Parabel
Indem du x2 mit dem Streckfaktor ½ multiplizierst, erzeugst du eine gestauchte Parabel f(x) = ½x2. Auch hier lohnt sich ein Blick in die Wertetabelle. Dieses Mal musst du die Funktionswerte der Normalparabel jeweils mit dem Faktor ½ malnehmen.
Hier wachsen die Werte langsamer an, daher sieht der Funktionsgraph im Vergleich zur Normalparabel flacher und breiter aus. So erhältst du also eine gestauchte Parabel.
Parabel — gestreckt und nach unten geöffnet
Eine Parabel kann auch nach unten geöffnet sein. Das erreichst du durch ein negatives Vorzeichen vor dem Streckfaktor a. Die Funktion f(x) = –2x2 ist beispielsweise nach unten geöffnet, weil -2 negativ ist. Gleichzeitig ist sie aber auch gestreckt, weil 2 größer als 1 ist. Je nachdem, welchen Wert a hat, kann also auch eine nach unten geöffnete Parabel zusätzlich noch gestreckt oder gestaucht sein. Die Funktionswerte der Normalparabel multiplizierst du in diesem Beispiel dann mit dem Faktor –2.
Den Funktionsgraph erhältst du, indem du die Parabel an der x-Achse spiegelst (wegen dem negativen Vorzeichen) und sie mit dem Faktor 2 streckst.
Gestreckte und gestauchte Parabel — häufigste Fragen
(ausklappen)
Gestreckte und gestauchte Parabel — häufigste Fragen
(ausklappen)-
Wie erkenne ich den Streckfaktor a, wenn vor dem Quadrat gar keine Zahl steht?Wenn vor dem
keine Zahl steht, ist der Streckfaktor 
. Das liegt daran, dass immer als 
gemeint ist. Steht ein Minus davor, wie bei 
, dann ist 
.
-
Wie finde ich den Streckfaktor a, wenn die Funktionsgleichung noch nicht in Normalform oder Scheitelpunktform steht?Du findest den Streckfaktor, indem du den Term so umformst, dass das Quadrat sichtbar wird, also zu
oder 
. Multipliziere aus, fasse zusammen und bringe alles in eine dieser Formen. Zum Beispiel wird 
, also ist 
.
-
Wie kann ich a aus einem Graphen ablesen, wenn ich nur den Scheitelpunkt und einen weiteren Punkt kenne?Du berechnest
, indem du den Punkt in die Scheitelpunktform einsetzt. Nutze 
mit Scheitelpunkt 
und einem Punkt 
: 
. So bekommst du Vorzeichen und Streckung in einem Schritt.
-
Welche typischen Fehler passieren beim Streckfaktor, wenn Brüche oder negative Zahlen vorkommen?Häufig wird bei Brüchen falsch entschieden:
bedeutet breiter (gestaucht), auch wenn negativ ist. Außerdem wird das Minus oft vergessen: Negatives spiegelt an der x-Achse und öffnet nach unten. Beispiel: 
ist breiter und nach unten geöffnet, nicht schmaler.
Parabel
Super, jetzt kennst du dich bestens mit dem Strecken und Stauchen von Parabeln aus. Du hast gelernt, wie du am Streckfaktor die Streckung oder Stauchung einer Parabel ablesen kannst. Was man sonst noch alles mit Parabeln machen kann, erfährst du in unserem Video dazu! Schau doch gleich dort vorbei!
