Mathe Grundlagen
Funktionen - Grundlagen
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Du fragst dich, was es mit dem Definitionsbereich auf sich hat und wie man ihn für verschiedene Funktionen bestimmt? Hier erklären wir es dir leicht verständlich und mit vielen Beispielen. Wenn dir die anschauliche Version lieber ist und du direkt sehen willst, wie du den Definitionsbereich bestimmen kannst, dann schau dir unser Video an! 

Definitionsbereich einfach erklärt

In eine Funktion , zum Beispiel in f(x)=\frac{1}{x}+1, kannst du verschiedene Zahlen einsetzen und es kommen unterschiedliche Funktionswerte heraus. Bei manchen Funktionen darfst du einfach jede beliebige Zahl einsetzen — manchmal sind aber einige Zahlen nicht erlaubt.

Wenn du den Definitionsbereich einer Funktion bestimmst, beantwortest du die Frage:

Welche x-Werte darf ich in die Funktion einsetzen?

Schau dir dazu ein Beispiel an: In die Funktion f(x)=\frac{1}{x}+1 darfst du alle Zahlen einsetzen außer x = 0. Für x = 0 würde nämlich \frac{1}{\textcolor{red}{0}}+1 dastehen, du würdest also 1 durch 0 teilen — und das darfst du nicht! Deshalb ist der maximale Definitionsbereich „alle Zahlen außer 0. Die 0 nennst du dann Definitionslücke.

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Funktion mit Definitionslücke

Übrigens: Alle Zahlen, die bei einer Funktion als y-Werte herauskommen können, nennst du Wertebereich . Der Wertebereich von f(x)=\frac{1}{x}+1 ist also „alle Zahlen außer 1“ .

Je nach Art der Funktion bestimmst du die Zahlen, die in die Funktion eingesetzt werden können, auf unterschiedliche Weise. Wie genau, erfährst du jetzt!

Definitionsbereich bestimmen

Für den Definitionsbereich schaust du dir an, welche Zahlen du in deine Funktion einsetzen darfst. Oft kannst du diese Zahlenmengen mit Symbolen darstellen. Die wichtigsten Zahlenmengen findest du hier: 

natürliche Zahlen {1; 2; 3;....}
ganze Zahlen {...., -2; -1; 0; 1; 2; 3: ....}
rationale Zahlen
reelle Zahlen

Aber wie kannst du die Zahlen herausfinden, die du in eine Funktion einsetzen darfst? Dazu musst du dir immer deine konkrete Funktion anschauen, denn für verschiedene Funktionstypen gibt es verschiedene Regeln. 

Ganzrationale Funktionen

Bei ganzrationalen Funktionen musst du dir nicht viele Gedanken machen: 

Ganzrationale Funktionen

Ganzrationale Funktion haben den Definitionsbereich \mathbb{R}. Du darfst also jede Zahl in eine ganzrationale Funktion einsetzen.

Zu den ganzrationalen Funktionen zählen

Hier ist der Definitionsbereich immer der gleiche: Du darfst alle reellen Zahlen einsetzen!

Schon gewusst? Eine Ausnahme ist dabei natürlich, wenn der Definitionsbereich von vornherein eingeschränkt wird. Dann betrachtest du beispielsweise f(x) nur auf dem Intervall [a,b]. Das findet insbesondere bei abschnittsweise definierten Funktionen oder in der Integralrechnung  Anwendung. 

Gebrochen rationale Funktion

Anders sieht es bei gebrochen rationalen Funktionen aus. Das sind Funktionen mit einem Bruch, bei denen im Nenner (also unten im Bruch) ein x vorkommt: zum Beispiel f(x) = \frac{1}{x} oder g(x) = \frac{2x-4}{x^2-1}.

Gebrochen rationale Funktionen
  • Schritt 1: Berechne die Nullstellen  des Nenners
  • Schritt 2: Schreibe den Definitionsbereich \mathbb{D} auf. Das \ steht für „ohne“ : \mathbb{D} ist also die reellen Zahlen ohne die Nullstellen des Nenners.

\mathbb{D} =  \mathbb{R} \setminus\{\textcolor{red}{\text{Nullstellen des Nenners}}\} 

Die Nullstellen des Nenners darfst du also nicht in die Funktion einsetzen. Wenn du nämlich eine der Nullstellen einsetzt, kommt ja im Nenner 0 heraus und du würdest durch 0 teilen — und das darfst du in der Mathematik nicht!

Beispiel 1

Du sollst den Definitionsbereich der Funktion f(x) = \cfrac{2x+3}{x^2-4} bestimmen. Um die Definitionslücken zu ermitteln, berechnest du die Nullstellen des Nenners:

    \begin{align*} x^2-4 &= 0 \\ x^2 &= 4  \\ x &= \pm 2 \end{align*}

Die beiden Definitionslücken sind somit x1 = -2 und x2 = 2. Du kannst also den Definitionsbereich angeben:

\mathbb{D}= \mathbb{R} \setminus \{\textcolor{red}{-2, 2}\}.

Das siehst du auch direkt, wenn du den Graphen von f(x)= \cfrac{2x+3}{x^2-4} zeichnest. Der Funktionsgraph hat bei x_1 =-2 und bei x_2 = 2 jeweils eine senkrechte Asymptote , an die der Graph sich nach oben und unten hin immer mehr annähert.

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Beispiel 1: Definitionsbereich gebrochen rationaler Funktionen

Beispiel 2

Wir wollen den Definitionsbereich von f(x) = \cfrac{2}{x^3+2x^2-8x} bestimmen. Dazu berechnest du wieder zuerst die Definitionslücken, das heißt die Nullstellen des Nenners. 

x3 + 2x2 – 8x = 0

Dafür klammerst du ein x aus. Dann steht in der Klammer eine quadratische Funktion , die du mit der Mitternachtsformel lösen kannst. Du erhältst also:

x(x2 + 2x – 8) = 0

x1 = 0, x2 = 2 und x3 = -4

Für den Definitionsbereich gilt also \mathbb{D}= \mathbb{R} \setminus \{\textcolor{red}{-4, 0, 2}\}. Der Funktionsgraph sieht hier folgendermaßen aus. 

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Beispiel 2: Definitionsbereich einer gebrochen rationalen Funktion

E Funktion und ln-Funktion

Auch bei der e-Funktion und der ln-Funktion \ln(x) gibt es einige Besonderheiten.

E-Funktion und ln-Funktion
  • Die e-Funktion hat den Definitionsbereich \mathbb{D} = \mathbb{R}. Du darfst also alle reellen Zahlen einsetzen.
  • Die ln-Funktion ln(x) hat den Definitionsbereich \mathbb{D}= \mathbb{R}^+. Im ln dürfen also nur positive Zahlen stehen!
e Funktion ln Funktion Umkehrfunktion
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Graph der e-Funktion und der ln-Funktion

Achtung: Bei komplizierteren ln-Ausdrücken ist der Definitionsbereich meist nicht einfach \mathbb{R}^+! Schau dir dazu ein Beispiel an:

Angenommen, du möchtest den Definitionsbereich von f(x) = \ln(\frac{x^2}{4}-1)+2 angeben. Weil du in den ln nur positive Zahlen einsetzen darfst, muss hier das Innere der Funktion, das heißt (\frac{x^2}{4}-1), positiv sein. Dann gehst du so vor:

  • Schritt 1: Berechne die Nullstellen der inneren Funktion:

\frac{x^2}{4}-1 = 0 \quad \Longleftrightarrow \quad x_1 = -2 \quad x_2 = 2

  • Schritt 2: Finde heraus, wann \frac{x^2}{4}-1>0 und wann \frac{x^2}{4}-1<0 ist. Dafür kannst du dir zum Beispiel den Graphen von \frac{x^2}{4}-1 anschauen.
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Bestimmung der Definitionsmenge – Funktion in der ln-Funktion

Du siehst, dass \frac{x^2}{4}-1 im Intervall [\textcolor{red}{-2,2}] negativ ist und sonst positiv. Alle Zahlen, für die \frac{x^2}{4}-1 positiv ist, bilden jetzt deinen Definitionsbereich der ln-Funktion: 

\mathbb{D}= (-\infty, \textcolor{red}{-2}) \wedge (\textcolor{red}{2}, \infty)

Das \wedge-Zeichen ist ein „und„. Du darfst also alles einsetzen von minus unendlich bist -2 und alles von 2 bis plus unendlich! Die runden Klammern sagen dir, dass du auch die 2 und die -2 nicht einsetzen darfst.

Definitionsbereich, ln, Asymptote
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Beispiel 4: Definitionsbereich ln-Funktion

Wurzelfunktion

Auch in die Wurzelfunktion f(x) = \sqrt{x} darfst du nicht alle x-Werte einsetzen.

Wurzelfunktion

Die Wurzelfunktion hat den Definitionsbereich \mathbb{D} = \mathbb{R}_0^+. Du darfst also alle positiven Zahlen und die 0 einsetzen.

Achtung: Für kompliziertere Wurzel-Funktionen gibt es noch mehr zu beachten. Schau dir das Vorgehen am Beispiel an:

Gesucht sind alle Zahlen, die du in f(x) = \sqrt{x^3-8} einsetzen darfst. Das ist eine sehr steile Wurzelfunktion, deren Graph um 2 nach rechts in x-Richtung verschoben ist.

  • Schritt 1: Berechne die Nullstellen des Ausdrucks unter der Wurzel:

    \begin{align*} x^3-8 &= 0 &|+8 \\ x^3 &=8 &|\sqrt[3]{...} \\ x &=2  \end{align*}

  • Schritt 2: Finde heraus, wann x^3-8 positiv ist und wann negativ. Dafür schaust du dir den Graphen von x^3-8 an. Daran siehst du, dass x^3-8 für \textcolor{blue}{x\geq2} positiv ist. 
  • Schritt 3: Definitionsbereich angeben: 

\mathbb{D} =  \{x \in \mathbb{R}: \textcolor{blue}{x \geq 2}\}. 

Definitionsmenge Wurzel
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Beispiel 3: Definitionsbereich einer Wurzelfunktion

Schon gewusst? Etwas aufpassen musst du, wenn du die n-ten Wurzeln \sqrt[n]{f(x)} untersuchst. Ist n ungerade, also zum Beispiel \sqrt[\textcolor{orange}{3}]{f(x)}, so sind negative Ausdrücke unter der Wurzel erlaubt und du darfst jede reelle Zahl einsetzen. (\mathbb{D} = \mathbb{R}). Für gerades n, also zum Beispiel für \sqrt[\textcolor{teal}{4}]{f(x)} ergibt der Ausdruck keinen Sinn, sobald f(x) < 0 ist. Der Definitionsbereich ist somit  \mathbb{D} = \mathbb{R}^+.

Trigonometrische Funktionen

Manchmal musst du bei trigonometrischen Funktionen angeben, welche Zahlen du einsetzen darfst. Bei Sinus und Cosinus ist das jeweils kein Problem:

Sinus und Cosinus
  • \sin(x) hat den Definitionsbereich \mathbb{D} = \mathbb{R}
  • \cos(x) hat den Definitionsbereich \mathbb{D} = \mathbb{R}

Das siehst du auch direkt an den beiden Funktionsgraphen: 

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Sinus und Cosinus

Betrachtest du nun den Tangens , so ist die Sache etwas komplizierter, da

\tan(x) = \cfrac{\sin(x)}{\cos(x)}.

Die Definitionslücken sind daher alle Nullstellen der Cosinusfunktion, d. h. bei allen x mit \cos(x) = 0. Diese erkennst du am Graphen: Es sind %ohne "gerade"%done die Werte \frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}, \frac{5\pi}{2} usw. Somit ergibt sich für den Definitionsbereich:

\mathbb{D} = \mathbb{R} \setminus \{ k\pi+\frac{\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \}.

Bei Umkehrfunktionen sind Wertebereich und Definitionsbereich immer vertauscht. Weil der Wertebereich von \sin(x) und \cos(x) das Intervall [-1, 1] ist, gilt für die Umkehrfunktionen:

\arcsin(x) = \sin^{-1}(x) und  \arccos(x) = \cos^{-1}(x) haben den Definitionsbereich \mathbb{D}=[-1, 1].

Zusammengefasst findest du die Definitionsbereiche der trigonometrischen Funktionen nochmals in dieser Tabelle:

Funktion Definitionsbereich


Wertebereich

Der Definitionsbereich gibt an, welche Werte du für x in eine Funktion einsetzen darfst. Im Gegensatz dazu ermittelst du für den Wertebereich die Menge aller möglichen y-Werte einer Funktion. Auch dazu haben wir ein eigenes Video für dich. Schau es dir gleich an!

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Zum Video: Wertebereich

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