Mathe Grundlagen

Partielle Integration

Partielle Integration ermöglicht dir, Produkte zu integrieren. Deswegen wird sie häufig auch als Produktintegration  bezeichnet. Wie genau das funktioniert, erklären wir dir hier ausführlich mit vielen Beispielen, Tricks zur Berechnung und Aufgaben

Wenn du alles Wichtige kurz und knapp zusammengefasst sehen willst, schau dir am besten unser Video an .

Inhaltsübersicht

Partielle Integration Formel einfach erklärt

Möchtest du ein Integral berechnen, musst du dabei verschiedene Integrationsregeln beachten. Eine dieser Integrationsregeln ist die Partielle Integration. Diese brauchst du immer dann, wenn im Inneren des Integrals ein Produkt steht, du also ein Integral der Form   \int f(x)\cdot g(x) dx = ?   berechnen sollst.

Du kannst Integrieren als Umkehrung vom Ableiten auffassen. Wenn du also f(x)\cdot g(x) ableiten möchtest, brauchst du die Produktregel und erhältst f'(x)g(x)+f(x)g'(x). Mithilfe der Partiellen Integration wollen wir das sozusagen rückgängig machen.

Partielle Integration Formel

Es gilt die folgende Formel

Partielle Integration Formel 

\int \limits_a^b f'(x) \cdot g(x) dx = \biggl[f(x) \cdot g(x)\biggr]\limits_a^b -\int\limits_a^b f(x)\cdot g'(x) dx.

Wie du siehst, musst du also f'(x) und g(x) so wählen, dass dein Integral durch die Multiplikation mit g'(x) im letzten Schritt vereinfacht wird. Wie gehst du am besten vor, wenn du ein Integral mittels Produktintegration berechnen willst? Ganz einfach: Du befolgst diese Schritt-für-Schritt-Anleitung.

  • Schritt 1: Bestimme, welcher deiner Faktoren f'(x) und welcher g(x) sein soll. Wähle dabei so, dass du f(x) gut berechnen kannst, und dass g'(x) das Integral im letzten Schritt vereinfacht.
  • Schritt 2: Berechne von f'(x) die Stammfunktion f(x) und leite g(x) ab, um g'(x) zu erhalten. 
  • Schritt 3: Setze alles in die Formel ein und berechne das Ergebnis.

Partielle Integration Beispiel

Im Folgenden zeigen wir dir zwei Beispiele zur partiellen Intergation:

Beispiel 1

Wir wollen \int\limits_0^\pi x \cdot \sin(x) dx mittels partieller Integration berechnen. Dazu führen wir nacheinander die drei obigen Schritte aus. Zuerst müssen wir die Auswahl für f'(x) und g(x) treffen. Du siehst sofort, dass das Integral im letzten Schritt einfacher wird, wenn du g(x) = x wählst. (Würdest du g(x) = \sin(x) wählen, hättest du g'(x) = \cos(x), was dir nicht weiterhilft.) Somit ist hier f'(x)=\sin(x) und g(x) = x. Im zweiten Schritt musst du f(x) = -\cos(x) und g'(x) = 1 berechnen. Einsetzen in die Formel ergibt dann

\int\limits_0^\pi x\cdot \sin(x)dx = \biggl[-x\cdot \cos(x)\biggr]\limits_0^\pi - \int\limits_0^\pi - \cos(x) dx = \pi +\sin(\pi)-\sin(0)=\pi.

Beispiel 2

Möchtest du wissen, was die Stammfunktion von \ln(x) ist, kannst du sie ebenfalls mit partieller Integration berechnen. Du bist verwirrt, was hier f'(x) und was g(x) sein soll? Es gilt der folgende Trick:

\int \ln(x)dx = \int 1\cdot\ln(x)dx.

Jetzt kannst du –  wie im ersten Schritt oben – ganz einfach f'(x) = 1 und g(x) = \ln(x) wählen. Damit berechnest du im zweiten Schritt f(x) = x und g'(x) = \frac{1}{x} und setzt beides in die obige Formel ein

\int \ln(x)\cdot 1 dx = \ln(x)\cdot x - \int \frac{1}{x} \cdot x dx = \ln(x)\cdot x - x+c.

Wie du in diesen beiden Beispielen erkennst, kannst du partielle Integration sowohl für bestimmte Integrale als auch für unbestimmte Integrale  anwenden. Der Unterschied besteht lediglich darin, dass du im ersten Fall noch die Integrationsgrenzen einsetzen musst und im zweiten Fall die Konstante c addieren. 

Partielle Integration Berechnung

Findest du die Produktintegration beziehungsweise die Formel für die partielle Integration kompliziert und kannst dir die Formel nur schlecht merken? Es gibt ein paar einfache Tricks, die dir helfen können. 

Wenn du dir die Formel für die partielle Integration nicht merken willst, kannst du sie dir stattdessen direkt an der Produktregel überlegen. 

\left(f\cdot g\right)' = f'\cdot g+g'\cdot f \Longleftrightarrow f'\cdot g = \left(f\cdot g\right)' -  g'\cdot f.

Integrieren der rechten Seite liefert dir die Formel der Produktintegration. Du erhältst also 

\int\limits_a^b f'(x)\cdot g(x) dx = \biggl[f(x)\cdot g(x)\biggr]\limits_a^b -  \int\limits_a^b g'(x)\cdot f(x) dx.

Es fällt dir schwer zu entscheiden, welchen Faktor du für die partielle Integration möglichst geschickt als g(x) wählst? Statt ewig herumzuprobieren und das Integral am Ende unnötig kompliziert zu machen, gibt es eine einfache Eselsbrücke. Du musst dir nur das Wort „LIATE“ merken (oder alternativ den Merksatz: Liebe Integrale Ausrechnen Tröstet Euch):

L Logarithmische Funktionen
I inverse Winkelfunktionen
A algebraische Funktionen
T trigonometrische Funktionen
E Exponentialfunktionen

Entsprechend der Reihenfolge in der Tabelle, wählst du nun g(x) für die partielle Integration  aus. Du schaust also, welcher deiner beiden Faktoren zuerst in der Tabelle auftaucht. Diesen wählst du dann als g(x). Der Faktor, der in der Tabelle weiter unten steht, ist somit dein f'(x). Das schauen wir uns genauer im nächsten Beispiel an. 

Beispiel 3

Wir wollen  \int\limits_1^3 x^2 \cdot \ln(x) dx durch partielle Integration berechnen. Da \ln(x) in der Tabelle ganz oben steht, wählst du also g(x) = \ln(x) und f'(x) = x^2. Partiell Integrieren liefert dann

\int\limits_1^3 x^2 \cdot \ln(x) dx = \biggl[ \frac{1}{3}x^3\cdot \ln(x)\biggr]\limits_1^3 - \int \limits_1^3\frac{1}{3}x^3\cdot \frac{1}{x}dx

= \biggl[ \frac{1}{3}x^3\cdot \ln(x)\biggr]\limits_1^3 - \biggl[ \frac{1}{9}x^3\biggr]\limits_1^3 = 9\ln(3) +\frac{26}{9}.

Mehrmalige partielle Integration

Manchmal musst du die partielle Integration mehrmals hintereinander ausführen. Das ist insbesondere dann der Fall, wenn g(x) eine algebraische Funktion mit Ordnung größer als 2 ist. Dass du mehrmals partiell integrieren musst, erkennst du daran, wenn das Integral   \int f(x)g'(x)dx   noch immer nicht elementar berechenbar ist. Das wollen wir in einem Beispiel genauer untersuchen.

Beispiel 4

Gesucht sei das Integral \int\limits_0^1 e^x \cdot 3x^2 dx. Nach der obigen Tabelle wählen wir g(x) = 3x^2 und f'(x) = e^x. Nun integrieren wir partiell und erhalten

\int\limits_0^1e^x \cdot 3x^2 dx = \biggl[e^x\cdot 3x^2\biggr]\limits_0^1 - \int\limits_0^1 e^x\cdot 6x dx = \biggl[e^x\cdot 3x^2\biggr]\limits_0^1 - \biggl[e^x\cdot 6x\biggr]\limits_0^1 + \int\limits_0^1 6e^x dx

= \biggl[e^x\left(3x^2-6x+6\right)\biggr]\limit_0^1 = 3e-6.

Hinweis: Bevor du mehrmals hintereinander integrierst, solltest du überprüfen, ob du g(x) und f'(x) wirklich richtig gewählt hast! Im schlimmsten Falle machst du dein Integral sonst zunehmend komplizierter!

Partielle Integration Aufgaben

Verwende die partielle Integration um folgende Integrale zu berechnen:

  • Aufgabe 1: \int e^x \cdot (x-1) dx
  • Aufgabe 2: \int x^2 \cdot \sin(x) dx
  • Aufgabe 3: \int\limits_2^3 \ln(x)\cdot 3x^2dx
  • Aufgabe 4: \int \cos(x)\cdot\sin(x) dx

Lösungen:

Aufgabe 1

Mit f'(x) = e^x und g(x) = x-1 gilt

\int e^x \cdot (x-1) dx  = \biggl[e^x(x-1)\biggr] - \int e^x dx  = e^x(x-2) + c.

Aufgabe 2

Mit f'(x) = \sin(x) und g(x) = x^2 gilt

\int x^2 \cdot \sin(x) dx = \biggl[-\cos(x)\cdot x^2\biggr] - \int \left(-\cos(x) \cdot 2x \right)dx.

Das letzte Integral kannst du immer noch nicht direkt berechnen. Du musst es also noch einmal partiell integrieren und erhältst dann

\biggl[-\cos(x)\cdot x^2\biggr] - \int \left(-\cos(x) \cdot 2x \right)dx = \biggl[-\cos(x)\cdot x^2\biggr] - \biggl[-\sin(x)\cdot 2x\biggr] + \int -2\sin(x) dx

= 2x\sin(x)-\cos(x)(x^2-2 ) +c.

Aufgabe 3

Mit f'(x) = 3x^2 und g(x) = \ln(x) gilt

\int\limits_2^3 \ln(x)\cdot 3x^2dx=\biggl[\ln(x)\cdot x^3\biggr]\limits_2^3 - \int\limits_2^3 x^3 \frac{1}{x}dx

=27\ln(3) - 8 \ln(2) -9 + \frac{8}{3} \approx 17, 78.

Aufgabe 4

Hier ist etwas Geschick gefordert, wenn du das Integral vereinfachen willst. Mit f'(x) = \sin(x) und g(x) = \cos(x) gilt

\int \cos(x)\cdot\sin(x) dx =\biggl[-\cos(x)\cdot \cos(x) \biggr] - \int \cos(x)\cdot\sin(x) dx.

Diesen Term kannst du umstellen und erhältst dann 

2\int \cos(x)\cdot\sin(x) dx = \biggl[-\cos(x)\cdot \cos(x) \biggr]

\Longleftrightarrow \int \cos(x)\cdot\sin(x) dx = - \frac{1}{2}\cos^2(x).

 

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