Mathe Grundlagen
Spezielle Integrale
 – Video

Das bestimmte und unbestimmte Integral spielen eine große Rolle in der Integralrechnung. Worin ihr Unterschied besteht und wie du sie berechnest, erfährst du hier und in unserem Video !

Bestimmtes und unbestimmtes Integral einfach erklärt

Der Unterschied zwischen einem bestimmten und einem unbestimmten Integral besteht darin, dass das bestimmte Integral Integrationsgrenzen hat.

    \[\int\limits_{\textcolor{red}{a}}^{\textcolor{red}{b}} f(x) \, dx\]

Beim Berechnen eines bestimmten Integrals kommt deshalb eine konkrete Zahl heraus. Die gibt dir den orientierten (positiven oder negativen) Flächeninhalt unter dem Graphen an. 

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Flächeninhalt unter einer Funktion

Ein unbestimmtes Integral hingegen hat keine Integralgrenzen.

    \[\int f(x) \, dx\]

Du berechnest es, indem du die sogenannte Stammfunktion von f(x) ermittelst. Davon gibt es immer unendlich viele. Die Menge aller Stammfunktionen nennst du dann unbestimmtes Integral.

Bestimmtes Integral berechnen

Ein bestimmtes Integral kannst du konkret berechnen. Schau dir das am besten gleich an einem Beispiel an. Berechne das bestimmte Integral:

    \[\int \limits_0^5 -\frac{1}{2}x+4 \, dx\]

    \[F(x) = -\frac{1}{4}x^2+4x\]

  • Schritt 2: Schreibe F(x) in eckige Klammern und dahinter die Integrationsgrenzen.

    \[ \int \limits_{\textcolor{orange}{0}}^{\textcolor{red}{5}} -\frac{1}{2}x+4 \, dx = \biggl[-\frac{1}{4}x^2+4x\biggr]\limits_{\textcolor{orange}{0}}^{\textcolor{red}{5}}\]

  • Schritt 3: Berechne das bestimmte Integral. Rechne dazu:

F(obere Grenze) – F(untere Grenze), also

    \[ \int \limits_{\textcolor{orange}{0}}^{\textcolor{red}{5}} -\frac{1}{2}x+4 \, dx = \biggl[-\frac{1}{4}x^2+4x\biggr]\limits_{\textcolor{orange}{0}}^{\textcolor{red}{5}} = (-\frac{1}{4} \cdot {\textcolor{red}{5}}^2+4\cdot {\textcolor{red}{5}}) - (-\frac{1}{4}\cdot {\textcolor{orange}{0}}^2+4\cdot {\textcolor{orange}{0}}) = 13,75\]


Damit weißt du, dass der orientierte Flächeninhalt zwischen der x-Achse im Intervall [0, 5] und dem Graphen 13,75 groß ist. 

Integral Flächeninhalt
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Beispiel 1: Berechnung eines bestimmten Integrals

In deiner Rechnung hast du den sogenannten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) verwendet. Seine Formel lautet allgemein:

Berechnung eines bestimmten Integrals

\int\limits_{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{red}{b}} f(x) dx = \biggl[F(x)\biggr]\limits_{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{red}{b}} = F({\textcolor{red}{b}}) - F({\textcolor{orange}{a}}).

Bestimmtes Integral berechnen Beispiel

Schau dir gleich noch ein Beispiel an, um das bestimmte Integral zu üben:

    \[\int \limits_{-\pi}^\pi \sin(x) \, dx\]

  • Schritt 1: Bestimme die Stammfunktion F(x)

    \[F(x) = -\cos(x)\]

  • Schritt 2: Schreibe F(x) in eckige Klammern und dahinter die Integrationsgrenzen.

    \[ \[\int \limits_{\textcolor{orange}{-\pi}}^{\textcolor{red}{\pi}} \sin(x) \, dx = \biggl[-\cos(x) \biggr]\limits_{\textcolor{orange}{-\pi}}^{\textcolor{red}{\pi}}\]

  • Schritt 3: Berechne des bestimmte Integral. Rechne dazu:

    \[ \int \limits_{\textcolor{orange}{-\pi}}^{\textcolor{red}{\pi}} \sin(x) \, dx = \biggl[-\cos(x) \biggr]\limits_{\textcolor{orange}{-\pi}}^{\textcolor{red}{\pi}} = -\cos({\textcolor{red}{\pi}}) - (- \cos({\textcolor{orange}{-\pi}})) =  1-1 = 0\]

Hier siehst du den dazugehörigen Graphen:

Sinus Flächeninhalt Integral
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Beispiel 2: Bestimmtes Integral der Sinus-Funktion

Vielleicht fragst du dich, warum die Fläche hier nicht 0 groß ist. Das liegt daran, dass ein Teil der blauen Fläche unterhalb der x-Achse liegt und deshalb negativ gezählt werden muss. Wie das genau funktioniert, erfährst du im nächsten Abschnitt!

Bestimmtes Integral berechnen – Besonderheiten

Um bestimmte Integrale auszurechnen, gibt es einige Tricks und Regeln, die dir das Leben einfacher machen. Hier haben wir sie zusammengefasst:

„positiver“ und „negativer“ Flächeninhalt

Wie du im Beispiel gesehen hast, kannst du den Flächeninhalt zwischen Funktion und x-Achse nicht so leicht berechnen, wenn die Funktion zwischen den Integrationsgrenzen oberhalb und unterhalb der x-Achse verläuft.

In diesem Fall musst du das Integral aufteilen und separat von einer Nullstelle bis zur nächsten integrieren. Die Beträge davon addierst du dann.

Den Flächeninhalt des Beispiels berechnest du wie folgt:

A = \left| \int \limits_{-\pi}^0\sin(x)dx\right| +\left| \int \limits_0^\pi \sin(x)dx\right|

=\left| \biggl[-\cos(x)\biggr]\limits_{-\pi}^0\right| + \left| \biggl[-\cos(x)\biggr]\limits_0^\pi\right|

= \left|-\cos(0)+\cos(-\pi)\right| + \left|-\cos(\pi)+\cos(0)\right| = 2+2 = 4

Umgekehrte Summenregel

Willst du ein unbestimmtes Integral berechnen, kannst du dazu die Summenregel verwenden. Bei bestimmten Integralen bietet es sich oft an, die Aussage umgekehrt anzuwenden, d.h. Integrale mit denselben Integrationsgrenzen zusammenzufassen. 

\int\limits_a^b f(x) dx + \int\limits_a^b g(x) dx = \int\limits_a^b f(x) + g(x) dx

Zusammenfassen von Integrationsgrenzen

Ganz ähnlich ist die folgende Regel

\int\limits_a^b f(x) dx + \int\limits_b^c f(x) dx= \int\limits_a^c f(x) dx

Gleiche Integrationsgrenzen

Für alle a \in \mathbb{R} ist 

\int\limits_a^a f(x) dx = 0.

Das ist anschaulich klar, wenn du den Flächeninhalt bedenkst. 

Vertauschte Integrationsgrenzen

Du kannst bei einem bestimmten Integral die Integrationsgrenzen vertauschen. Dann gilt

\int\limits_a^b f(x) dx = - \int\limits_b^a f(x) dx

Jetzt weißt du alles Wichtige über bestimmte Integrale und kannst sie berechnen. Nun wollen wir dir noch erklären, was ein unbestimmtes Integral ist.

Unbestimmtes Integral 

Ein unbestimmtes Integral hat keine Integrationsgrenzen. Du berechnest es mithilfe der Stammfunktion. Weil du zu jeder Funktion unendlich viele Stammfunktionen finden kannst, gibt das unbestimmte Integral die Menge aller Stammfunktionen an.

Unbestimmte Integrale sehen allgemein so aus:

    \[\int f(x) \, dx \]

Beispielweise kann f(x) = 2x sein: 

    \[\int \textcolor{teal}{2x} \, dx \]

Achtung! — Die Konstante 

Jede Funktion, die abgeleitet f(x) ergibt, bezeichnest du als Stammfunktion. Bei f(x) = 2x ist das zum Beispiel x2, aber auch x2 + 1 oder x2 + 3. Das ist so, weil die Zahl am Ende beim Ableiten sowieso wegfällt. Jede Stammfunktion hat deshalb allgemein die Form

F(x) = x2 + C

C ist dabei eine beliebige Zahl.

Deshalb kannst du für unbestimmte Integrale auch schreiben: 

    \[\int f(x) \, dx = \textcolor{red}{F(x)} + \textcolor{blue}{C}\]

Unbestimmtes Integral berechnen Beispiele

Um ein unbestimmtes Integral zu berechnen, musst du die Stammfunktionen F(x) von f(x) finden. Dazu gibt es verschiedene Integrationsregeln , die wir dir ausführlich in einem separaten Video erklären. Hier siehst du konkret an zwei Beispielen, wie du ein unbestimmtes Integral berechnen kannst.

Unbestimmte Integrale: Beispiel 1

Du sollst ein unbestimmtes Integral berechnen:

\int -x^2 + 3x+4 dx

Dafür bestimmen wir die Stammfunktion von -x^2 + 3x+4. Dazu verwenden wir die Summen- und die Faktorregel der Integration. Somit erhalten wir 

\int -x^2 + 3x+4 dx = -\frac{1}{3}x^3+\frac{3}{2}x^2+4x + c.

Wichtig ist bei der Berechnung unbestimmter Integrale, dass du die Konstante c nicht vergisst. Willst du nicht das bestimmte Integral allgemein berechnen, sondern suchst nach einer konkreten Stammfunktion, kannst du für c einen beliebigen Wert einsetzen. 

Unbestimmte Integrale: Beispiel 2

Ein anderes Beispiel für die Berechnung unbestimmter Integrale ist 

\int \sqrt{x} dx.

Um es zu berechnen, suchst du wieder nach einer Stammfunktion von \sqrt{x}. Diesen Ausdruck kannst du umschreiben in \sqrt{x} = x^\frac{1}{2}. Damit kannst du es leicht integrieren und erhältst

\int \sqrt{x} dx = \int x^\frac{1}{2} dx = \frac{2}{3}x^\frac{3}{2}+c .

Weitere Beispiele

Für die wichtigsten Funktionen haben wir dir hier noch einmal zusammengefasst, wie ihr zugehöriges unbestimmtes Integral aussieht:

unbestimmtes Integral Stammfunktion

Integralrechnung

Jetzt kannst du bestimmte und unbestimmte Integrale berechnen und sogar Flächeninhalte damit ermitteln. Du willst auch wissen, wie du Flächeninhalte zwischen zwei Graphen berechnen kannst? Das und vieles mehr erfährst du in unserem Artikel zur Integralrechnung!

Zum Video: Integralrechnung
Zum Video: Integralrechnung

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