Wachstumsfaktor berechnen

Wie berechnest du den Wachstumsfaktor?

Der Wachstumsfaktor q zeigt dir, auf wie viel Prozent des Anfangswertes eine Größe gestiegen ist. 

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Der Wachstumsfaktor q ist hier 1,20. Du berechnest ihn, indem du zum Prozentsatz p% der Änderung 100% dazu addierst. Am Schluss wandelst du die Prozentzahl noch in eine Dezimalzahl um:

p% = = = 20%

100% + p% = 100% + 20% = 120%

q =  1,20

Wachstumsfaktor berechnen — Beispiel

Du hast die folgende Aufgabe gegeben:

Stell dir vor, du arbeitest in einem Labor und beobachtest die Entwicklung einer Bakterienpopulation in einer Versuchsschale. Am Anfang waren es 200 Bakterien. Jetzt erkennst du aber, dass sich die Anzahl der Bakterien jede Stunde um 25 % erhöht. Berechne den Wachstumsfaktor und die Anzahl der Bakterien nach 3 Stunden. 

Wachstumsfaktor berechnen

Um den Wachstumsfaktor q zu berechnen, brauchst du wieder den Prozentsatz.  Da die Bakterienpopulation jede Stunde um 25% wächst, ist hier p% = 25%. Nun rechnest du zu den 100% also 25% und wandelst das Ergebnis in eine Dezimalzahl um:

100% + p% = 100% + 25% = 125%

q = 1,25

Alternativ kannst du p = 25 in die Formel einsetzten und bekommst so auch den Wachstumsfaktor raus:

q = 1 + = 1 + = 1 + 0,25 = 1,25

Am Anfang deiner Beobachtung waren es 200 Bakterien. Willst du jetzt die Anzahl nach einer Stunde berechnen, multiplizierst du den Anfangswert mit dem Wachstumsfaktor.

a₁ = a₀ • q = 200 • 1,25 = 250 

Genauso kannst du jetzt auch die Anzahl nach 2 und nach 3 Stunden berechnen:

a₂ = a₁ • q = 250 • 1,25 = 312,5

a₃ = a₂ • q = 312,5 • 1,25 = 390,625

Exponentielles Wachstum

Du erkennst hier ein Muster. Um die Anzahl der Bakterien in der nächsten Stunde berechnen zu können, multiplizierst du die Anzahl der Bakterien in der Stunde zuvor immer mit dem Wachstumsfaktor q. Das lässt sich auch als Exponentialfunktion  darstellen:

f(n) = 200 • 1,25ⁿ 

Als du die Bakterienanzahl nach 3 Stunden berechnet hast, hast du den Anfangswert von 200 insgesamt schon 3 Mal mit 1,25 multipliziert. Das bedeutet, du kannst bei der Hochzahl n = 3 einsetzen. So multiplizierst du die 200 auch 3 mal mit 1,25. 

Mit dieser Funktion kannst du die Bakterienanzahl, also das exponentielle Wachstum , für jede beliebige Stunde berechnen, ohne jede Stunde davor ausrechnen zu müssen.

f(3) = 200 • 1,25³ = 390,625

Nach drei Stunden hast du also etwa 391 Bakterien in deiner Versuchsschale.

Wachstumsfaktor berechnen — häufigste Fragen

• Was versteht man unter einem Wachstumsfaktor?
  Den Wachstumsfaktor berechnest du, indem du die Wachstumsrate in Prozent + 100% rechnest und als Dezimalzahl darstellst. Mit einer Wachstumsfunktion kannst du dann die Entwicklung der Ausgangsgröße zu verschiedenen Zeitpunkten berechnen.
  
  
• Wie berechnet man das Wachstum?
  Das Wachstum berechnet du, indem du die prozentuale Veränderung herausfindest und zu 100% oder, als Dezimalzahl ausgedrückt, zu 1 dazurechnest.
  
  
• Wie berechnet man den Wachstumsfaktor bei exponentiellem Wachstum?
  Den Wachstumsfaktor bei einem exponentiellen Wachstum berechnest du, indem du die prozentuale Veränderung + 100% rechnest. Das wandelst du dann in eine Dezimalzahl um und setzt es in die Funktion für exponentielles Wachstum ein.

Exponentialfunktion

Prima! Jetzt weißt du, was ein Wachstumsfaktor ist und wie man ihn berechnet. Du willst mehr über die Exponentialfunktion erfahren? Dann schau direkt in das Video dazu rein.