Analysis
Integralrechnung
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Du fragst dich, was Integrieren ist? Hier%und in unserem Video geben wir dir eine Übersicht über alles, was du zum Thema Integrieren in Mathe wissen musst! 

Integrieren einfach erklärt 

Unter Integrieren verstehst du in der Mathematik die Umkehrung des Ableitens. Umgangssprachlich nennst du es daher auch Aufleiten .%FS-Versuch Integrieren

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Integrieren

Wenn du eine Funktion f(x) integrierst, benutzt du folgende Schreibweise: 

    \[\int f(x) dx\]

Das sprichst du „Integral von f(x)“ aus. Die Funktion f(x), die du integrierst, heißt Integrand

In der Integralrechnung unterscheidest du zwischen dem unbestimmten und dem bestimmten Integral. Das unbestimmte Integral gibt die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion f(x) an. Das bestimmte Integral verwendest du, um den Flächeninhalt unter einem Funktionsgraphen zu bestimmen.

Jetzt stellen wir dir die verschiedenen Integrale genauer vor!

Unbestimmtes Integral und Stammfunktion 

Ein unbestimmtes Integral sieht im Allgemeinen so aus:

    \[\int f(x) dx\]

Im Gegensatz zum bestimmten Integral hat es keine Integrationsgrenzen. Das erkennst du daran, dass über und unter dem Integralzeichen \int keine Werte stehen. 

Du berechnest das unbestimmte Integral mithilfe der Stammfunktion F(x). F(x) ist eine Stammfunktion der Funktion f(x), wenn ihre Ableitung F'(x) wieder f(x) ist: 

F'(x) = f(x)

Um eine Stammfunktion F(x) der Funktion f(x) zu bestimmen, musst du also den Vorgang des Ableitens rückgängig machen. In anderen Worten: Du musst die Funktion f(x) aufleiten (integrieren):

    \[F(x) = \int f(x) dx\]

Stammfunktion Beispiel:

F(x) = x² ist eine Stammfunktion von f(x) = 2x, da

F'(x) = 2x = f(x)

Allerdings sind auch F(x) = x² + 1 oder F(x) =  x²– 3 Stammfunktionen von f(x), denn auch sie ergeben abgeleitet wieder f(x) = 2x.

Dies liegt daran, dass jede beliebige addierte (+ 1) oder subtrahierte Konstante (– 3) beim Ableiten sowieso wieder wegfällt. f(x) hat also nicht nur eine Stammfunktion, sondern unendlich viele.

Stammfunktion F(x) 

F(x) ist eine Stammfunktion von f(x). Dann hat jede Stammfunktion von f(x) die Form

F(x) + c

wobei c eine beliebige Konstante ist.

Doch wie hängen die Stammfunktion und das unbestimmte Integral nun zusammen? 

Unbestimmtes Integral 

Das unbestimmte Integral gibt die Menge aller Stammfunktionen von f(x) an. Du kannst deshalb für das unbestimmte Integral auch schreiben:

    \[\int f(x) dx = F(x) + c\]

Unbestimmtes Integral Beispiel: 

Eine Stammfunktion F(x) der Funktion f(x) = 2x ist F(x) = x². Somit lautet das unbestimmte Integral:

    \[\int 2x dx = x^2 + c\]

Super! Jetzt weißt du, was ein unbestimmtes Integral ist. Doch wie berechnest du es? Dafür musst du wissen, wie man eine Funktion integriert. Wie das geht, zeigen wir dir jetzt!

Integrationsregeln 

Um eine Funktion zu integrieren, gibt es in Mathe verschiedene Integrationsregeln . Die wichtigsten Regeln stellen wir dir jetzt kurz an einem Beispiel vor. 

Konstante integrieren

    \[\int a dx = ax+c\]

Du integrierst eine Konstante a,  indem du an die Konstante ein x anhängst und + c schreibst. Das c steht für eine beliebige Zahl.%FS-Versuch Wie integriert man eine Zahl.

Beispiel: \int 2 dx  = 2x +c

Potenzregel

    \[\int x^n dx = \frac{1}{n+1}x^{n+1}+c\]

Du integrierst eine Potenzfunktion nach der Variablen x, indem du den Exponenten um 1 erhöhst. Anschließend teilst du die Funktion durch den neuen, um 1 erhöhten Exponenten. Am Ende schreibst du + c, denn eine beliebige Zahl fällt beim Ableiten wieder weg.%FS-Versuch "Und was passiert mit Zahlen beim integrieren?" FS von gut erklärt: "Eine Funktion wird nach der Variablen x <b>integriert</b>, indem man die Potenz um 1 erhöht. In den Nenner kommt ebenfalls die alte Potenz plus 1. Am Ende wird noch eine Konstante hinzugefügt, denn eine beliebige <b>Zahl</b> fällt beim Ableiten wieder weg."

Beispiel: \int x^2dx = \frac{1}{3}x^3 +c

Faktorregel

    \[\int c \cdot f(x) dx= c \cdot \int f(x)dx\]

Beispiel: \int 5x^2dx = 5 \cdot \int x^2 dx = 5 \cdot \frac{1}{3}x^3+ c = \frac{5}{3} x^3 +c

Summenregel

    \[\int (f(x)+g(x)) dx = \int f(x) dx + \int g(x) dx\]

Beispiel: \int x + x^2 dx = \int x dx + \int x^2 dx = \frac{1}{2}x^2+\frac{1}{3}x^3+c

Differenzregel

    \[\int (f(x)-g(x)) dx = \int f(x) dx - \int g(x) dx\]

Beispiel: \int 4x - x^3 dx = \int 4x dx - \int x^3 dx = 2x^2 - \frac{1}{4}x^4+c

Partielle Integration 

    \[\int f'(x) \cdot g(x) dx &= f(x) \cdot g(x) -\int f(x) \cdot g'(x) dx\]

Beispiel: \int e^x \cdot x dx = e^x \cdot x -\int e^x\cdot 1 dx = e^x \cdot x - e^x +c

Du möchtest mehr über die partielle Integration wissen? Dann schau gerne bei unserem Beitrag vorbei! 

Logarithmische Integration

    \[\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = \ln\left(|f(x)| \right) + c\]

Beispiel: \int \frac{3x^2+2x}{x^3+x^2} dx = \ln|x^3+x^2|+c

Integration durch Substitution

    \[\int\limits_a^b u(v(x))\cdot v'(x) = \int\limit_{v(a)}^{v(b)} u(y)dy\]

Beispiel: \int\limits_0^{\frac{\pi}{2}} \sin(2x)dx=\int\limits_0^\pi \sin(y)\cdot\frac{1}{2}dy = \biggl[\frac{-\cos(y)}{2}\biggr]\limits_0^\pi = 1

Bei der Integration durch Substitution handelt es sich um eine vergleichsweise komplizierte Integrationsregel. Schau dir für eine ausführliche Erklärung einfach unseren Beitrag an! 

Prima! Jetzt kennst du alle wichtigen Regeln zum Funktion integrieren

Durch das Integrieren der Funktion f(x) erhältst du die Stammfunktion F(x). Die Integralrechnung dient aber auch dazu, den Flächeninhalt unter einem Funktionsgraphen zu bestimmen. Dazu berechnest du das bestimmte Integral.%FS-Versuch "was macht integrieren"<span style="color: #008000;">)</span>

Bestimmtes Integral und Flächenberechnung

Das bestimmte Integral hat im Gegensatz zum unbestimmten Integral Integrationsgrenzen:

    \[\int\limits_{\textcolor{red}{a}}^{\textcolor{red}{b}} f(x) \, dx\]

Dabei nennst du a die untere Integrationsgrenze und b die obere Integrationsgrenze. Das Intervall [a, b] heißt Integrationsbereich.

Beim Berechnen eines bestimmten Integrals kommt eine konkrete Zahl heraus. Diese Zahl gibt dir den Flächeninhalt unter dem Funktionsgraphen an.

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Flächeninhalt unter einer Funktion

Im Folgenden zeigen wir dir an konkreten Beispielen, wie du ein bestimmtes Integral berechnest und wie dieses mit dem Flächeninhalt unter einer Funktion zusammenhängt. 

Beispiel 1: 

Stell dir vor, du sollst dieses bestimmte Integral berechnen:

    \[\int \limits_0^5 -\frac{1}{2}x+4 \, dx\]

Dafür gehst du wie folgt vor: 

  • Schritt 1: Bestimme die Stammfunktion F(x).

        \[F(x) = -\frac{1}{4}x^2+4x\]

  • Schritt 2: Schreibe F(x) in eckige Klammern und dahinter die Integrationsgrenzen.

        \[ \int \limits_{\textcolor{orange}{0}}^{\textcolor{olive}{5}} -\frac{1}{2}x+4 \, dx = \biggl[-\frac{1}{4}x^2+4x\biggr]\limits_{\textcolor{orange}{0}}^{\textcolor{olive}{5}}\]

  • Schritt 3: Berechne das bestimmte Integral. Rechne dazu: F(obere Grenze) – F(untere Grenze), also

    \begin{align*} \int \limits_{\textcolor{orange}{0}}^{\textcolor{olive}{5}} -\frac{1}{2}x+4 \, dx &= \biggl[-\frac{1}{4}x^2+4x\biggr]\limits_{\textcolor{orange}{0}}^{\textcolor{olive}{5}} \\ &= (-\frac{1}{4} \cdot {\textcolor{olive}{5}}^2+4\cdot {\textcolor{olive}{5}}) - (-\frac{1}{4}\cdot {\textcolor{orange}{0}}^2+4\cdot {\textcolor{orange}{0}}) \\ &= \textcolor{cyan}{13,75} \end{align*}

Doch was sagt dir diese Zahl? Das bestimmte Integral gibt dir die Fläche an, die der Funktionsgraph von f(x) im Intervall [a, b] mit der x-Achse einschließt.

Für unser Beispiel bedeutet das: Im Intervall [0, 5] beträgt der Flächeninhalt zwischen dem Funktionsgraphen von f(x) = -\frac{1}{2}x + 4 und der x-Achse 13,75.

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Berechnung eines bestimmten Integrals

In deiner Rechnung hast du den sogenannten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) verwendet. Seine Formel lautet allgemein:

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

    \[\int\limits_{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{olive}{b}} f(x) dx = \biggl[F(x)\biggr]\limits_{\textcolor{orange}{a}}^{\textcolor{olive}{b}} = F({\textcolor{olive}{b}}) - F({\textcolor{orange}{a}})\]

Beispiel 2: 

Angenommen, du sollst das bestimmte Integral berechnen: 

    \[\int \limits_{-\pi}^\pi \sin(x) \, dx\]

  • Schritt 1: Bestimme die Stammfunktion F(x).

    Tipp: Leite dir F(x) über die Ableitung von f(x) = cos(x) her!

    Die Ableitung von f(x) = cos(x) ist f'(x) = – sin (x). cos(x) ist also die Stammfunktion von f(x) = – sin(x). Die Stammfunktion von f(x) = sin (x) ist daher:

F(x) = – cos(x)

  • Schritt 2: Schreibe F(x) in eckige Klammern und dahinter die Integrationsgrenzen.

    \[ \[\int \limits_{\textcolor{orange}{-\pi}}^{\textcolor{olive}{\pi}} \sin(x) \, dx = \biggl[-\cos(x) \biggr]\limits_{\textcolor{orange}{-\pi}}^{\textcolor{olive}{\pi}}\]

  • Schritt 3: Berechne des bestimmte Integral.

    \[ \int \limits_{\textcolor{orange}{-\pi}}^{\textcolor{olive}{\pi}} \sin(x) \, dx = \biggl[-\cos(x) \biggr]\limits_{\textcolor{orange}{-\pi}}^{\textcolor{olive}{\pi}} = -\cos({\textcolor{olive}{\pi}}) - (- \cos({\textcolor{orange}{-\pi}})) =  1-1 = 0\]

Hier siehst du den dazugehörigen Funktionsgraphen:

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Bestimmtes Integral der Sinus-Funktion

Vielleicht fragst du dich, warum das bestimmte Integral gleich 0 ist, obwohl die Sinusfunktion offensichtlich eine Fläche größer als 0 mit der x-Achse einschließt.

Das liegt daran, dass ein Teil der blauen Fläche unterhalb der x-Achse liegt. Flächen unterhalb der x-Achse gehen als negative Zahlen in das bestimmte Integral ein. Da das Flächenstück unterhalb der x-Achse und das Flächenstück oberhalb der x-Achse genau gleich groß sind, heben sich die Zahlen gegenseitig auf und das bestimmte Integral ist gleich 0.

Wie du dennoch den Flächeninhalt berechnen kannst, den die Sinus-Funktion im Intervall [-π, π] mit der x-Achse einschließt, zeigen wir dir im folgenden Abschnitt.

Bestimmtes Integral berechnen — Besonderheiten 

Beim Rechnen mit bestimmten Integralen gibt es einige Tricks und Regeln. Hier haben wir sie für dich zusammengefasst:

  • „Positiver“ und „negativer“ Flächeninhalt:
    Wie du im Beispiel gesehen hast, kannst du den Flächeninhalt zwischen Funktion und x-Achse nicht so leicht berechnen, wenn die Funktion zwischen den Integrationsgrenzen oberhalb und unterhalb der x-Achse verläuft.

    In diesem Fall musst du das Integral aufteilen und von einer Nullstelle bis zur nächsten integrieren. Anschließend addierst du die Beträge , um die „negativen Flächen“ in „positive“ umzuwandeln.

    Beispiel: Bestimme den Flächeninhalt, den die Sinusfunktion im Intervall [-π, π] mit der x-Achse einschließt! Dafür gehst du wie folgt vor:

    \begin{align*} A &= \left| \int \limits_{-\pi}^0\sin(x)dx\right| +\left| \int \limits_0^\pi \sin(x)dx\right| \\  &=\left| \biggl[-\cos(x)\biggr]\limits_{-\pi}^0\right| + \left| \biggl[-\cos(x)\biggr]\limits_0^\pi\right| \\ &= \left|-\cos(0)+\cos(-\pi)\right| + \left|-\cos(\pi)+\cos(0)\right| \\ &= 2+2 = 4 \end{align*}

  • Umgekehrte Summenregel:
    Bei bestimmten Integralen bietet es sich oft an, Integrale mit denselben Integrationsgrenzen zusammenzufassen:

        \[\int\limits_a^b f(x) dx + \int\limits_a^b g(x) dx = \int\limits_a^b f(x) + g(x) dx\]


  • Integration über angrenzende Intervalle:
    Wird dieselbe Funktion f(x) über zwei angrenzende Intervalle integriert, so kannst du die Integrale zu einem großen Integral zusammenfassen:

        \[\int\limits_a^b f(x) dx + \int\limits_b^c f(x) dx= \int\limits_a^c f(x) dx\]


  • Untere und obere Integrationsgrenze identisch:
    Für alle a \in \mathbb{R} ist

        \[\int\limits_a^a f(x) dx = 0.\]


    Das leuchtet ein, wenn du an den Flächeninhalt denkst: Wenn du von a bis a integrierst, betrachtest du kein Intervall, sondern lediglich einen Punkt. Eine Funktion f(x) kann aber nur in einem Intervall eine Fläche mit der x-Achse einschließen. Das bestimmte Integral beträgt somit immer 0.

  • Vertauschte Integrationsgrenzen:
    Du kannst bei einem bestimmten Integral die Integrationsgrenzen vertauschen. Dann gilt:

        \[\int\limits_a^b f(x) dx = - \int\limits_b^a f(x) dx\]


    Je nachdem „in welche Richtung“ du integrierst, ändert sich also das Vorzeichen deines bestimmten Integrals. Integrierst du „nach links“ und nicht „nach rechts“, so werden Flächen oberhalb der x-Achse negativ gezählt und Flächen unterhalb der x-Achse positiv gezählt. Auch dies musst du bei der Berechnung von Flächeninhalten mithilfe des bestimmten Integrals berücksichtigen.
Bestimmtes Integral und Flächenberechnung

Beim Berechnen von Flächeninhalten mithilfe des bestimmten Integrals musst du beachten:

  • Integrierst du „nach rechts“ (untere Grenze < obere Grenze), so gehen Flächen oberhalb der x-Achse positiv und Flächen unterhalb der x-Achse negativ in das bestimmte Integral ein.
  • Integrierst du „nach links“ (untere Grenze > obere Grenze), so gehen Flächen oberhalb der x-Achse negativ und Flächen unterhalb der x-Achse positiv in das bestimmte Integral ein.

Du sprichst in diesem Zusammenhang auch vom „orientierten Flächeninhalt“

Du willst noch mehr über die Berechnung von Flächeninhalten wissen? Beispielsweise, wie du die Fläche zwischen zwei Graphen mithilfe des bestimmten Integrals berechnen kannst? Dann schau bei unserem Beitrag zur Integralrechnung vorbei! 

Uneigentliches Integral 

Super! Jetzt weißt du alles Wichtige über bestimmte Integrale und kannst sie berechnen. Nun erklären wir dir noch, was ein uneigentliches Integral ist.

Es gibt zwei Arten von uneigentlichen Integralen \int\limits_{a}^{b} f(x) dx:

  • Erste Art: Die Integrationsgrenzen sind unbeschränkt. Das heißt a und/oder b sind gleich -\infty oder \infty.
  • Zweite Art: f(x) ist an den Integrationsgrenzen nicht definiert. Das heißt f(a) und/oder f(b) ist nicht definiert.

Uneigentliche Integrale sind also Integrale, deren Grenzen kritische Werte enthalten.

Uneigentliches Integral berechnen

Ein uneigentliches Integral mit nur einer kritischen Grenze b kannst du folgendermaßen berechnen:

  • Schritt 1: Ersetze die kritische Grenze b durch eine Variable β:

        \[\int \limits_{a}^{\beta} f(x)dx\]

  • Schritt 2: Berechne das Integral in Abhängigkeit von β:

        \[A(\beta) :=\int \limits_{a}^{\beta} f(x)dx = \left[F(x)\right]_{a}^{\beta}\]

  • Schritt 3: Bestimme, falls vorhanden, den Grenzwert \lim \limits_{\beta \to b} A(\beta).

Beispiel:

    \[\int \limits_{1/2}^{\infty} e^{-2x+1}dx\]

  • Schritt 1: Ersetze die kritische Grenze \infty durch β:

        \[\int \limits_{1/2}^{\beta} e^{-2x+1}dx\]

  • Schritt 2: Berechne das Integral in Abhängigkeit von β:

        \[A(\beta):=\int \limits_{1/2}^{\beta} e^{-2x+1}dx\]

        \[= \left[-\frac{1}{2} e^{-2x+1}\right]_{1/2}^{\beta}\]

        \[= -\frac{1}{2}e^{-2\beta+1}+\frac{1}{2}\]

  • Schritt 3: Bilde den Grenzwert für \beta \to \infty:

        \[\lim \limits_{\beta \to \infty} A(\beta) = \lim \limits_{\beta \to \infty} \left(-\frac{1}{2}e^{-2\beta+1}+\frac{1}{2} \right)= \frac{1}{2}\]

Der Grenzwert ergibt sich, da

    \[\lim \limits_{\beta \to \infty} e^{-2\beta +1} = 0\]

Damit erhältst du als Lösung:

    \[\int \limits_{1/2}^{\infty} e^{-2x+1}dx = \frac{1}{2}\]

Wie du vorgehst, wenn a die kritische Grenze ist oder sogar a und b kritische Grenzen sind, erfährst du in unserem Beitrag zu uneigentlichen Integralen !

e-Funktion integrieren

Geschafft! Jetzt weißt du alles, was du zum Thema Integrieren in Mathe wissen musst! Du möchtest dein neues Wissen direkt anwenden? Dann schau doch bei unserem Video zum e-Funktion integrieren vorbei!

Zum Video: e-Funktion integrieren
Zum Video: e-Funktion integrieren

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