Du fragst dich, was Integrieren ist? Hier geben wir dir eine Übersicht über alles, was du zum Thema Integrieren in Mathe wissen musst!
Unter Integrieren verstehst du in der Mathematik
die Umkehrung des Ableitens. Umgangssprachlich nennst du es daher auch Aufleiten
.
Wenn du eine Funktion f(x) integrierst, benutzt du folgende Schreibweise:
Das sprichst du „Integral von f(x)“ aus. Die Funktion f(x), die du integrierst, heißt Integrand.
In der Integralrechnung
unterscheidest du zwischen dem unbestimmten und dem bestimmten Integral. Das unbestimmte Integral gibt die Menge aller Stammfunktionen einer Funktion f(x) an. Das bestimmte Integral verwendest du, um den Flächeninhalt unter einem Funktionsgraphen zu bestimmen.
Jetzt stellen wir dir die verschiedenen Integrale genauer vor!
Ein unbestimmtes Integral sieht im Allgemeinen so aus:
Im Gegensatz zum bestimmten Integral hat es keine Integrationsgrenzen. Das erkennst du daran, dass über und unter dem Integralzeichen keine Werte stehen.
Du berechnest das unbestimmte Integral mithilfe der Stammfunktion F(x). F(x) ist eine Stammfunktion der Funktion f(x), wenn ihre Ableitung F'(x) wieder f(x) ist:
F'(x) = f(x)
Um eine Stammfunktion F(x) der Funktion f(x) zu bestimmen, musst du also den Vorgang des Ableitens rückgängig machen. In anderen Worten: Du musst die Funktion f(x) aufleiten (integrieren):
Stammfunktion Beispiel:
F(x) = x² ist eine Stammfunktion von f(x) = 2x, da
F'(x) = 2x = f(x)
Allerdings sind auch F(x) = x² + 1 oder F(x) = x²– 3 Stammfunktionen von f(x), denn auch sie ergeben abgeleitet wieder f(x) = 2x.
Dies liegt daran, dass jede beliebige addierte (+ 1) oder subtrahierte Konstante (– 3) beim Ableiten sowieso wieder wegfällt. f(x) hat also nicht nur eine Stammfunktion, sondern unendlich viele.
F(x) ist eine Stammfunktion von f(x). Dann hat jede Stammfunktion von f(x) die Form
F(x) + c
wobei c eine beliebige Konstante ist.
Doch wie hängen die Stammfunktion und das unbestimmte Integral nun zusammen?
Das unbestimmte Integral gibt die Menge aller Stammfunktionen von f(x) an. Du kannst deshalb für das unbestimmte Integral auch schreiben:
Unbestimmtes Integral Beispiel:
Eine Stammfunktion F(x) der Funktion f(x) = 2x ist F(x) = x². Somit lautet das unbestimmte Integral:
Super! Jetzt weißt du, was ein unbestimmtes Integral ist. Doch wie berechnest du es? Dafür musst du wissen, wie man eine Funktion integriert. Wie das geht, zeigen wir dir jetzt!
Um eine Funktion zu integrieren, gibt es in Mathe verschiedene Integrationsregeln . Die wichtigsten Regeln stellen wir dir jetzt kurz an einem Beispiel vor.
Du integrierst eine Konstante a, indem du an die Konstante ein x anhängst und + c schreibst. Das c steht für eine beliebige Zahl.
Beispiel:
Du integrierst eine Potenzfunktion nach der Variablen x, indem du den Exponenten um 1 erhöhst. Anschließend teilst du die Funktion durch den neuen, um 1 erhöhten Exponenten. Am Ende schreibst du + c, denn eine beliebige Zahl fällt beim Ableiten wieder weg.
Beispiel:
Beispiel:
Beispiel:
Beispiel:
Beispiel:
Du möchtest mehr über die partielle Integration wissen? Dann schau gerne bei unserem Beitrag vorbei!
Beispiel:
Beispiel:
Bei der Integration durch Substitution handelt es sich um eine vergleichsweise komplizierte Integrationsregel. Schau dir für eine ausführliche Erklärung einfach unseren Beitrag an!
Prima! Jetzt kennst du alle wichtigen Regeln zum Funktion integrieren.
Durch das Integrieren der Funktion f(x) erhältst du die Stammfunktion F(x). Die Integralrechnung dient aber auch dazu, den Flächeninhalt unter einem Funktionsgraphen zu bestimmen. Dazu berechnest du das bestimmte Integral.
Das bestimmte Integral hat im Gegensatz zum unbestimmten Integral Integrationsgrenzen:
Dabei nennst du a die untere Integrationsgrenze und b die obere Integrationsgrenze. Das Intervall [a, b] heißt Integrationsbereich.
Beim Berechnen eines bestimmten Integrals kommt eine konkrete Zahl heraus. Diese Zahl gibt dir den Flächeninhalt unter dem Funktionsgraphen an.
Im Folgenden zeigen wir dir an konkreten Beispielen, wie du ein bestimmtes Integral berechnest und wie dieses mit dem Flächeninhalt unter einer Funktion zusammenhängt.
Stell dir vor, du sollst dieses bestimmte Integral berechnen:
Dafür gehst du wie folgt vor:
Doch was sagt dir diese Zahl? Das bestimmte Integral gibt dir die Fläche an, die der Funktionsgraph von f(x) im Intervall [a, b] mit der x-Achse einschließt.
Für unser Beispiel bedeutet das: Im Intervall [0, 5] beträgt der Flächeninhalt zwischen dem Funktionsgraphen von und der x-Achse 13,75.
In deiner Rechnung hast du den sogenannten Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI) verwendet. Seine Formel lautet allgemein:
Angenommen, du sollst das bestimmte Integral berechnen:
F(x) = – cos(x)
Hier siehst du den dazugehörigen Funktionsgraphen:
Vielleicht fragst du dich, warum das bestimmte Integral gleich 0 ist, obwohl die Sinusfunktion offensichtlich eine Fläche größer als 0 mit der x-Achse einschließt.
Das liegt daran, dass ein Teil der blauen Fläche unterhalb der x-Achse liegt. Flächen unterhalb der x-Achse gehen als negative Zahlen in das bestimmte Integral ein. Da das Flächenstück unterhalb der x-Achse und das Flächenstück oberhalb der x-Achse genau gleich groß sind, heben sich die Zahlen gegenseitig auf und das bestimmte Integral ist gleich 0.
Wie du dennoch den Flächeninhalt berechnen kannst, den die Sinus-Funktion im Intervall [-π, π] mit der x-Achse einschließt, zeigen wir dir im folgenden Abschnitt.
Beim Rechnen mit bestimmten Integralen gibt es einige Tricks und Regeln. Hier haben wir sie für dich zusammengefasst:
Beim Berechnen von Flächeninhalten mithilfe des bestimmten Integrals musst du beachten:
Du sprichst in diesem Zusammenhang auch vom „orientierten Flächeninhalt“.
Du willst noch mehr über die Berechnung von Flächeninhalten wissen? Beispielsweise, wie du die Fläche zwischen zwei Graphen mithilfe des bestimmten Integrals berechnen kannst? Dann schau bei unserem Beitrag zur Integralrechnung vorbei!
Super! Jetzt weißt du alles Wichtige über bestimmte Integrale und kannst sie berechnen. Nun erklären wir dir noch, was ein uneigentliches Integral ist.
Es gibt zwei Arten von uneigentlichen Integralen :
Uneigentliche Integrale sind also Integrale, deren Grenzen kritische Werte enthalten.
Ein uneigentliches Integral mit nur einer kritischen Grenze b kannst du folgendermaßen berechnen:
Beispiel:
Der Grenzwert ergibt sich, da
Damit erhältst du als Lösung:
Wie du vorgehst, wenn a die kritische Grenze ist oder sogar a und b kritische Grenzen sind, erfährst du in unserem Beitrag zu uneigentlichen Integralen !
Geschafft! Jetzt weißt du alles, was du zum Thema Integrieren in Mathe wissen musst! Du möchtest dein neues Wissen direkt anwenden? Dann schau doch bei unserem Video zum e-Funktion integrieren vorbei!
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