Was bedeuten Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck?

Sinus, Kosinus und Tangens beschreiben im rechtwinkligen Dreieck feste Verhältnisse von Seitenlängen zu einem Winkel . Es gilt: , und .

Wie erkenne ich beim Winkel α die Gegenkathete?

Die Gegenkathete zum Winkel ist die Seite, die dem Winkel direkt gegenüberliegt. Das liegt daran, dass „gegen“ hier wörtlich „gegenüber“ bedeutet. Konkret: Wenn an einer Ecke liegt, ist die gegenüberliegende Seite die Gegenkathete.

Wie erkenne ich beim Winkel α die Ankathete?

Die Ankathete zum Winkel ist die Kathete, die direkt an anliegt, aber nicht die Hypotenuse ist. Es gibt zwei Seiten am Winkel, und die längste davon ist die Hypotenuse; die andere, kürzere Seite am Winkel ist die Ankathete.

Video

Sinus Cosinus Tangens

Wichtige Inhalte in diesem Video

Was sind Sinus, Cosinus und Tangens?

(00:14)

Seiten mit sin, cos, tan berechnen

(01:24)

Hier und im Video erfährst du, was Sinus, Cosinus und Tangens sind und wie du damit Seiten und Winkel in rechtwinkligen Dreiecken berechnest.

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Inhaltsübersicht

Was sind Sinus, Cosinus und Tangens?

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(00:14)

Sinus, Cosinus und Tangens beschreiben jeweils ein Verhältnis zwischen zwei Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks. Betrachtest du den Winkel α, sehen Sinus, Cosinus und Tangens zum Beispiel so aus:

Funktion	Mit Buchstaben
sin(α) = $\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$	$\frac{a}{c}$
cos(α) = $\frac{Ankathete}{Hypotenuse}$	$\frac{b}{c}$
tan(α) = $\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$	$\frac{a}{b}$

Auf dem Bild ist ein rechtwinkliges Dreieck zu sehen. Die Seite c gegenüber dem rechten Winkel ist die Hypothenuse. Die Seite b, beim Winkel Alpha und gegenüber B ist die Ankathete von Alpha und die Seite a gegenüber des Winkels von Alpha ist die Gegenkathete von Alpha. — Hypotenuse, Gegenkathete und Ankathete

Wichtig: Die Hypotenuse c ist dabei immer die Seite gegenüber des rechten Winkels. Ankathete b und Gegenkathete a können sich jedoch ändern. Das hängt davon ab, welcher Winkel dein Ausgangspunkt ist. Wenn z. B. β dein Ausgangswinkel wäre, dann ist die Ankathete a und die Gegenkathete b.

Sinus, Cosinus oder Tangens sicher wählen

Mit den Definitionen aus dem letzten Abschnitt kannst du jetzt die richtige Funktion auswählen. Das klappt in drei Schritten:

Auf dem Bild ist ein rechtwinkliges Dreieck zu sehen, mit einem Winkel Alpha von 35 Grad und einer Hypotenuse c mit 8 cm Länge. Gesucht ist die Seite a. — Sinus, Cosinus oder Tangens sicher wählen

➡️ Beispiel: In einem rechtwinkligen Dreieck ist α = 35° und die Hypotenuse c = 8 cm gegeben. Gesucht ist a.

1. Bezugswinkel festlegen: Entscheide, welcher Winkel dein Ausgangspunkt ist.

→ Winkel α = 35° ist dein Bezugswinkel.

2. Seiten benennen: Ordne die Seiten relativ zu α ein. Welche ist die Gegenkathete, welche die Ankathete, welche die Hypotenuse?

→ c ist die Hypotenuse
→ b ist die Ankathete
→ a ist die Gegenkathete

3. Funktion wählen: Überprüfe, welche zwei Seiten in deiner Aufgabe vorkommen

Beteiligte Seiten	Passende Funktion
Gegenkathete und Hypotenuse	sin(α)
Ankathete und Hypotenuse	cos(α)
Gegenkathete und Ankathete	tan(α)

→ Du suchst die Gegenkathete a und hast die Hypotenuse c. Deshalb brauchst du die Sinus-Funktion sin(α).
→ Setze anschließend in die Formel ein: sin(35°) = $\frac{a}{8}$

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Seiten mit sin, cos, tan berechnen

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(01:24)

Jetzt weißt du welche Funktion du brauchst. Als nächstes geht es darum, die Formel umzustellen und das Ergebnis auszurechnen.

Alle Umstellvarianten auf einen Blick:

Grundformel	Gesuchte Seite	Umgestellte Formel
sin(α) = $\frac{a}{c}$	a	a = c · sin(α)
sin(α) = $\frac{a}{c}$	c	c = $\frac{a}{\sin(α)}$
cos(α) = $\frac{b}{c}$	b	b = c · cos(α)
cos(α) = $\frac{b}{c}$	c	c = $\frac{b}{\cos(α)}$
tan(α) = $\frac{a}{b}$	a	a = b · tan(α)
tan(α) = $\frac{a}{b}$	b	b = $\frac{a}{\tan(α)}$

➡️ Beispiel 1: In einem rechtwinkligen Dreieck ist α = 35° und die Hypotenuse c = 8 cm gegeben. Gesucht ist a.

Ist deine gesuchte Seite oberhalb des Bruchstrichs, musst du mit der unteren Seite multiplizieren und das Ergebnis ausrechnen. Das geht so:

→ sin(35°) = $\frac{a}{8}$ | • 8
→ sin(35°) • 8 = a
→ ~4,59 = a

➡️ Beispiel 2: In einem rechtwinkligen Dreieck ist α = 55° und die Gegenkathete a = 9 cm gegeben. Gesucht ist die Ankathete b.

→ tan(55°) = $\frac{9}{b}$

Ist deine gesuchte Seite unterhalb des Bruchstrichs, musst du auch zuerst mit der unteren Seite multiplizieren. Das sieht so aus:

→ tan(55°) = $\frac{9}{b}$ | • b
→ tan(55°) • b = 9

Als nächstes musst du noch durch den Tangens teilen, damit b alleine steht:

→ tan(55°) • b = 9 | : tan(55°)
→ b = 9 : tan(55°)
→ b = ~6,3

Winkel mit arcsin, arccos, arctan berechnen

Bisher hast du aus einem bekannten Winkel eine Seite berechnet. Jetzt läuft es andersherum: Du kennst zwei Seiten und suchst den Winkel α.

Der erste Schritt ist derselbe wie zuvor. Du bildest das Verhältnis der beiden gegebenen Seiten. Danach wendest du die passende Umkehrfunktion an:

Gegebene Seiten	Verhältnis	Umkehrfunktion
Gegenkathete und Hypotenuse	sin(α) = $\frac{a}{c}$	α = arcsin $\left(\frac{a}{c}\right)$
Ankathete und Hypotenuse	cos(α) = $\frac{b}{c}$	α = arccos $\left(\frac{b}{c}\right)$
Gegenkathete und Ankathete	tan(α) = $\frac{a}{b}$	α = arctan $\left(\frac{a}{b}\right)$

➡️ Beispiel 1: Gegeben: Gegenkathete a = 5 cm, Hypotenuse c = 10 cm. Gesucht: Winkel α.

→ Beteiligt sind Gegenkathete und Hypotenuse: arcsin wählen.
→ Formel aufstellen: α = arcsin( $\frac{a}{c}$ )
→ Einsetzen: α = arcsin( $\frac{5}{10}$ )
→ In Taschenrechner eingeben: α = 30°

➡️ Beispiel 2: Gegeben: Gegenkathete a = 7 cm, Ankathete b = 4 cm. Gesucht: Winkel α.

→ Beteiligt sind Gegenkathete und Ankathete: arctan wählen.
→ Formel aufstellen: α = arctan( $\frac{a}{b}$ )
→ Einsetzen: α = arctan( $\frac{7}{4}$ )
→ In Taschenrechner eingeben: α = 60,26°

DEG-Modus am Taschenrechner prüfen

Bevor du arcsin, arccos oder arctan berechnest, prüfe den Modus deines Taschenrechners:

Zeigt das Display DEG? → Alles gut, rechne los.
Zeigt es RAD oder GRD? → Stelle zuerst auf DEG um, sonst bekommst du falsche Winkel.

Das Ergebnis gibst du dann in Grad (°) an und rundest auf zwei Nachkommastellen.

Rechenregeln zu sin, cos, tan

Zwei einfache Regeln helfen dir beim Umformen und Einsetzen von Sinus, Cosinus und Tangens.

Regel 1: tan durch sin und cos ausdrücken
Der Tangens lässt sich immer durch Sinus und Cosinus ersetzen:

$\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

Das ist nützlich, wenn du in einer Aufgabe nur sin und cos gegeben hast, aber eigentlich mit tan weiterrechnen willst. Statt tan neu zu bestimmen, setzt du einfach die bekannten Werte ein.

Regel 2: sin² + cos² = 1
Für jeden Winkel α gilt:

$\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$

Das bedeutet: Kennst du sin(α), kannst du cos(α) daraus berechnen.

cos(α) = $\sqrt{1 - \sin^2(\alpha)}$
sin(α) = $\sqrt{1 - \cos^2(\alpha)}$

Beispiel: Du weißt, dass sin(\alpha) = 0,6. Dann gilt:

cos(α) = $\sqrt{1 - 0{,}6^2} = \sqrt{1 - 0{,}36} = \sqrt{0{,}64} = 0{,}8$

Standardwerte für sin, cos, tan

Bestimmte Winkel tauchen in Aufgaben besonders oft auf. Ihre Funktionswerte sind fest und du kannst sie auswendig lernen:

Winkel	sin	cos	tan
0°	0	1	0
30°	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{\sqrt{3}}$
45°	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	1
60°	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{1}{2}$	$\sqrt{3}$
90°	1	0	nicht definiert

Sinus Cosinus Tangens — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was bedeuten Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck?

Sinus, Kosinus und Tangens beschreiben im rechtwinkligen Dreieck feste Verhältnisse von Seitenlängen zu einem Winkel $\alpha$ . Es gilt: $\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$ , $\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$ und $\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$ .
Wie erkenne ich beim Winkel α die Gegenkathete?

Die Gegenkathete zum Winkel $\alpha$ ist die Seite, die dem Winkel $\alpha$ direkt gegenüberliegt. Das liegt daran, dass „gegen“ hier wörtlich „gegenüber“ bedeutet. Konkret: Wenn $\alpha$ an einer Ecke liegt, ist die gegenüberliegende Seite die Gegenkathete.
Wie erkenne ich beim Winkel α die Ankathete?

Die Ankathete zum Winkel $\alpha$ ist die Kathete, die direkt an $\alpha$ anliegt, aber nicht die Hypotenuse ist. Es gibt zwei Seiten am Winkel, und die längste davon ist die Hypotenuse; die andere, kürzere Seite am Winkel ist die Ankathete.

Einheitskreis

Jetzt kennst du Sinus, Cosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck. Doch du brauchst sie nicht nur bei Dreiecken, sondern bei Formen aller Art. Ein Beispiel dafür ist der Einheitskreis. Wie die Funktionen dort funktionieren zeigen wir dir hier.