Mathematische Grundlagen

Linearfaktorzerlegung

Mit der Linearfaktorzerlegung kannst du ein Polynom durch seine Linearfaktoren darstellen. %Im Video zeigen wir dir ausführlich, wie du dabei vorgehen musst.

Inhaltsübersicht

Linearfaktorzerlegung Einfach erklärt

Die Linearfaktorzerlegung ist eine andere Darstellung der Polynomfunktion (also einem mehrgliedrigen Term). Mit ihr lassen sich die Nullstellen des Polynoms direkt ablesen. 

Was ist die Linearfaktorzerlegung?

Bei der Linearfaktorzerlegung wird ein Polynom von der Normalform

f(x) = anxn+an-1xn-1+…+a0

in die Linearfaktordarstellung oder Produktform gebracht.

f(x) = a(x-x1)(x-x2)…(x-xn) · Restglied

Die einzelnen Klammern sind die Linearfaktoren des Polynoms. Dabei handelt es sich immer um einen der Term der Form ( x – Zahl ). Die Zahlen x1, x2, …, xn sind die Nullstellen des Polynoms. Das Restglied ist der Teil der Funktion, der keine Nullstellen mehr besitzt.

Beispiele

Normalform 6x2 – 12x – 18 ⇔ 6 · ( x + 1 )( x – 3 ) Produktform

Normalform x2 + 3x – 4 ⇔ ( x – 1 )( x + 4 ) Produktform

Normalform x2 – 2x – 8 ⇔ ( x + 2 )( x – 4 ) Produktform

Linearfaktorzerlegung Vorgehensweise

Möchtest du eine Linearfaktorzerlegung durchführen, dann befolgst du immer diese Schritte:

  1. Nullstellen berechnen 
  2. Linearfaktoren aufstellen
  3. Linearfaktoren in die Produktform bringen
  4. Ausmultiplizieren zur Kontrolle

Beispiel: Polynome 2. Grades

Wir wollen nun die quadratische Funktion f(x) = x2 + 4x + 3 in ihre Linearfaktoren zerlegen. 

Schritt 1: Nullstellen berechnen

Zunächst müssen die Nullstellen des Polynoms berechnet werden. Dazu kannst du die PQ-Formel , die Mitternachtsformel oder die ABC-Formel anwenden.

f ( x ) = x2 + 4x + 3 = 0 

In diesem Beispiel berechnen wir die Nullstellen mithilfe der Mitternachtsformel. 

x_{1,2}=\frac{-4\pm\sqrt{4^2-4*1*3}}{2*1}

Die Nullstellen des Polynoms liegen also bei x1 = – 1 und x2 = – 3.

Merke

Wenn eine Funktion keine Nullstellen hat, kann sie nicht weiter zerlegt werden. 

Schritt 2: Linearfaktoren aufstellen

Um die Funktion in ihre Produktform zu bringen, musst du für jede Nullstelle einen Linearfaktor bilden. Dafür bildest du eine Klammer die aus „x Minus Nullstelle“ besteht.

x1 = – 1 ⇒ ( x – ( – 1 )) = ( x + 1 ) 

x2 = – 3 ⇒ ( x – ( – 3 )) = ( x + 3 )

Schritt 3: Linearfaktoren in die Produktform bringen

Die Klammern multiplizierst du zum Schluss noch, schreibst sie also hintereinander:

f(x) = ( x + 1 ) ( x + 3 )

Schritt 4: Probe durch Ausmultiplizieren

Das Ergebnis kannst du jetzt noch überprüfen, indem du den Term ausmultiplizierst. Dabei muss das ursprüngliche Polynom entstehen:

f( x ) = ( x + 1 ) ( x + 3 ) = x2 + 3x + 1x + 3 = x2 + 4x + 3

Beispiel: Linearfaktorzerlegung mit Vorfaktor

Hat eine Funktion einen Vorfaktor (Zahl) vor x2, dann muss dieser auch in der Linearfaktordarstellung vorangestellt werden.

Beispiel:

In diesem Beispiel haben wir einen Vorfaktor 2. Den merkst du dir, da du ihn später für die Linearfaktordarstellung brauchst.

f( x ) = 2x2 + 3x + 1

Schritt 1: Nullstellen berechnen 

Mitternachtsformel anwenden:

x_{1,2}=\frac{3\pm\sqrt{3^2-4*2*1}}{2*1}

x1 = – 1 und x2 = – 0,5

Schritt 2: Linearfaktoren aufstellen

x1 = – 1        → ( x + 1 )

x2 = – 0,5   → ( x + 0,5 )

Schritt 3: Linearfaktoren in die Produktform bringen

Jetzt musst du die Klammern zusammenführen und das Ganze mit dem Vorfaktor aus der Normalform – also 2 – multiplizieren:

f( x ) = 2x2 + 3x + 1 → f(x) = 2( x + 1 )( x + 0,5 )

Schritt 4: Probe durch Ausmultiplizieren

2 ( x + 1 )( x + 0,5 ) = ( 2x + 2 )( x + 0,5 ) = 2x2 + x + 2x + 1 =  2x2 + 3x + 1 

Linearfaktorzerlegung bei höheren Polynomen

Hast du eine Funktion höheren Grades als 2 gegeben, musst du die Nullstellen mit einer anderen Methode finden:

  • Durch Ausklammern kannst du manchmal den Grad des Restpolynoms reduzieren
  • Durch Raten/Ausprobieren findest du oft eine der Nullstellen
  • Mit der Polynomdivision kannst du den Grad des Polynoms reduzieren, indem du das Polynom durch den Linearfaktor der gefundenen Nullstelle teilst

Wie du dabei vorgehst, siehst du jetzt.

Beispiel: Linearfaktorzerlegung mit Ausklammern

Enthält jeder Summand der Funktion die Variable x, kannst du diese ausklammern um wieder eine quadratische Funktion zu erhalten.

f ( x ) = x3 – 6x2 + 5x

f ( x ) = x ( x2 – 6x + 5 ) = 0

Schritt 1: Nullstellen berechnen

Da das Produkt 0 ergeben soll, kann man die einzelnen Faktoren gleich 0 setzen:

                 x1 = 0

x2– 6x + 5 = 0

Daher hat f(x) immer eine Nullstelle x1=0.

Die anderen Nullstellen können mittels der Mitternachtsformel berechnet werden.

f(x) = x2 – 6x  + 5 = 0

x_{1,2}=\frac{6\pm\sqrt{(-6)^2-4*2*(-8)}}{2*2}

x2 = 5    x3 = 1

Schritt 2: Linearfaktoren aufstellen

x1 = 0 →  ( x – 0 ) = x

x2 = 5 → ( x – 5 )

x3 = 1  → ( x – 1 )

Schritt 3: Linearfaktoren in Produktform bringen

f ( x ) =  x ( x – 5 ) ( x – 1 )

Schritt 4: Probe durch Ausmultiplizieren

f ( x ) = ( x2 – 5x )( x – 1 )

           = x3 – x2 – 5x2 + 5x

           = x3 – 6x2 + 5x

Beispiel: Linearfaktorzerlegung mit Polynomdivision

Enthält ein Summand der Funktion kein x benötigen wir die Polynomdivision  um das Polynom in Linearfaktoren zu zerlegen.

Achtung

Hast du eine Funktion 4. Grades oder höher gegeben, muss die Polynomdivision mehrmals durchgeführt werden. Solange bis du als Ergebnis eine Funktion 2. Grades erhältst.

Wir haben die Funktion f(x) = x3 – 7x2 + 14x – 8 gegeben.

1. Schritt: Nullstellen

  1. Nullstellen berechnen 
  2. Linearfaktoren aufstellen
  3. Linearfaktoren in die Produktform bringen
  4. Ausmultiplizieren zur Kontrolle

Für die Polynomdivision musst du bereits eine Nullstelle kennen. Die hast du entweder gegeben oder du kannst sie leicht durch raten und einsetzen herausfinden.

In diesem Beispiel haben wir eine Nullstelle bei 1.

Du teilst daher durch das Polynom f( x ) = ( x – 1 ).

    \begin{alignat*}{6} (1&x^3&-7&x^2&+14&x&-8&):(x-1)=x^2-6x+8 \\ -(1&x^3&-1&x^2) \\ \cline{1-4} &&-6&x^2&+14&x&-8 \\ &&-(-6&x^2&+6&x)\\ \cline{3-7} &&&&8&x&-8&\\&&&&-(8&x&-8&)\\ \cline{5-7}&&&&0 \end{alignat*}

Nach Anwendung der Polynomdivision hast du wieder eine quadratische Funktion gegeben und kannst wie im ersten Beispiel mit der Berechnung der Nullstellen fortfahren.

In diesem Beispiel verwenden wir die PQ-Formel:

x_{1/2} = -\frac{6}{2}\pm \sqrt{\frac{6^2}{4}-8}

Dadurch erhalten wir die Punkte x2 = 2 und x3 = 4.

2. Schritt: Linearfaktoren aufstellen

x1 = 1 →  ( x – 1 )

x2 = 2 → ( x – 2 )

x3 = 4 → ( x – 4 )

3. Schritt: Linearfaktoren in Produktform bringen

Als faktorisierte Darstellung erhalten wir:

f ( x ) = ( x – 1 ) ( x – 2 ) ( x – 4 )

4. Schritt: Ausmultiplizieren zur Kontrolle

f ( x ) = ( x2 – 2x – 1x + 2 ) ( x – 4 )

           = x3 – 4x2 – 2x2 + 8x – 1x2 + 4x + 2x – 8

           = x3 – 7x2 + 14x – 8

Beispiel: Gebrochenrationale Gleichungen

Bei einer gebrochenrationalen Gleichung muss für Zähler und Nenner jeweils eine Linearfaktorzerlegung nach den oben aufgeführten Verfahren durchgeführt werden.

g(x)=\cfrac{3x^2+10x+8}{2x^2-4x-16}

Da wir sowohl im Nenner als auch im Zähler eine quadratische Gleichung gegeben haben, kannst du die Funktionen wieder in die Mitternachtsformel einsetzen. Dabei erhältst du im Zähler die Nullstellen -2 und –\frac{4}{3} und im Nenner die Nullstellen 4 und -2.

Da der Faktor (x+2) in der Linearfaktorzerlegung im Zähler und im Nenner steht, kannst du ihn kürzen.

g(x)=\cfrac{3x^2+10x+8}{2x^2-4x-16}= \cfrac{3(x+2)(x+\frac{4}{3})}{2(x-4)(x+2)}=\cfrac{3(x-\frac{4}{3})}{2(x-4)}

%(x+2) im Zähler und Nenner durchstreichen

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