Was zeigt mir ein Steigungsdreieck bei einer Geraden?

Ein Steigungsdreieck bei einer Geraden zeigt dir, wie stark die Gerade steigt oder fällt, wenn du in x-Richtung nach rechts gehst. Es macht den Zusammenhang zwischen der waagrechten Änderung und der senkrechten Änderung sichtbar und hilft so, die Steigung zu bestimmen.

Warum ist die Steigung gleich, egal wo ich das Steigungsdreieck einzeichne?

Bei einer Geraden ist die Steigung überall gleich, weil sich und entlang der Geraden immer im gleichen Verhältnis ändern. Deshalb können Steigungsdreiecke unterschiedlich groß sein oder an verschiedenen Stellen liegen, ohne dass sich die Steigung ändert.

Wie wähle ich zwei Punkte auf der Geraden, damit ich gut rechnen kann?

Zwei Punkte wählst du so, dass sie genau auf Gitterpunkten liegen, also direkt auf Kästchen-Ecken. Dann lassen sich und leicht ablesen oder aus den Koordinaten berechnen. Zum Beispiel sind P(3|3) und Q(6|5) dafür besonders geschickt.

Wie finde ich den dritten Punkt beim rechtwinkligen Steigungsdreieck?

Den dritten Punkt C findest du, indem du von einem Punkt waagrecht und vom anderen Punkt senkrecht gehst, bis sich beide Linien schneiden. Zum Beispiel gehst du von P waagrecht nach rechts und von Q senkrecht nach unten; der Schnittpunkt ist C und damit entsteht das rechtwinklige Dreieck PQC.

Wie berechne ich die Steigung aus Delta y und Delta x?

Die Steigung berechnest du mit , also Höhenunterschied durch waagrechten Abstand. Dabei gilt und . Beispiel: Für P(-3|2) und Q(5|6) ist , und damit .

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Steigungsdreieck

Wichtige Inhalte in diesem Video

Steigungsdreieck einfach erklärt

(00:13)

Steigungsdreieck zeichnen

(00:42)

Steigungsdreieck Formel

(02:27)

Du möchtest verstehen, was ein Steigungsdreieck ist und wie du es am besten berechnest und zeichnest? Dann bist du hier genau richtig, denn wir erklären es dir mit vielen Bildern und Beispielen!

Du verstehst es besser, wenn es dir jemand anschaulich erklärt? Dann schau dir unbedingt unser Video dazu an.

Inhaltsübersicht

Steigungsdreieck einfach erklärt

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(00:13)

Ein Steigungsdreieck brauchst du immer dann, wenn du von einer Funktion die Steigung berechnen willst.

Es gibt dir an, wie stark sich eine Funktion in einem bestimmten Intervall verändert, also wie groß ihre Steigung ist. Steigungsdreiecke können dabei unterschiedlich groß und an verschiedenen Stellen eingezeichnet werden. Bei linearen Funktionen macht das keinen Unterschied. Am häufigsten wirst du das Steigungsdreieck verwenden, um die Funktionsgleichung einer linearen Funktion zu bestimmen, konkret bedeutet das, die Steigung m einer Geraden f(x) = m • x + t herauszufinden.

Prinzipiell kannst du damit aber für jede Funktion mit zwei gegebenen Punkten die durchschnittliche Steigung bestimmen.

Steigungsdreieck zeichnen

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(00:42)

Angenommen, du hast den Funktionsgraphen einer linearen Funktion gegeben und willst nun an der Geraden ein Steigungsdreieck einzeichnen, dann gehst du dabei wie folgt vor:

Schritt 1: Wähle zwei beliebige Punkte auf der Geraden aus. Besonders geschickt ist es, die Punkte so zu wählen, dass sie direkt auf einem Kästchen liegen. Hier im Bild wählen wir deshalb P(3|3) und Q(6|5).

Gerade durch zwei Punkte — Gerade mit P und Q

Schritt 2: Bestimme den Punkt C, indem du von P ausgehend waagrecht nach rechts läufst und von Q senkrecht nach unten. Der Schnittpunkt der beiden gestrichelten Linien ist der Punkt C.

Gerade Steigungsdreieck zeichnen — Gerade mit rechtwinkligem Dreieck

Schritt 3: Zeichne nun das rechtwinklige Steigungsdreieck PQC ein.

Gerade Steigungsdreieck rechtwinklig — Gerade mit Steigungsdreieck

Achtung: Da die beiden Punkte P und Q frei wählbar sind, kannst du ganz verschiedene Steigungsdreiecke einzeichnen. Klassischerweise zeichnet man es aber bei steigenden Funktionen unterhalb der Funktion ein und bei fallenden Geraden oberhalb.

Steigungsdreieck – kurz & knapp

Mit einem Steigungsdreieck kannst du die Steigung m einer Geraden bestimmen. Es gibt an, wie stark eine Funktion steigt bzw. fällt. Besonders nützlich ist das Steigungsdreieck, wenn du die Funktionsgleichung f(x) = mx + t einer linearen Funktion angeben willst.

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Beispiel 1: Steigung einer Geraden

Zeichne ein Steigungsdreieck an die Gerade f(x)= -0,5x+4 ein. Dazu wählen wir die beiden Punkte P(-4|6) und Q(4|2). Den Punkt C finden wir hier, indem wir von P nach rechts laufen und von Q nach oben.

Steigungsdreieck Gerade fallend — Steigungsdreieck einer fallenden Gerade

Steigungsdreieck Formel

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(02:27)

Wie genau du mit einem Steigungsdreieck eine Steigung einer Geraden ausrechnest, zeigen wir dir jetzt.

Steigungsdreieck Formel

Mit den Punkten P(x_p|y_P) und Q(x_Q|y_Q) ergibt sich die Steigung

$m = \cfrac{\Delta y}{\Delta x} = \cfrac{ y_Q - y_P}{ x_Q - x_P}.$

Angenommen du hast einen Funktionsgraphen einer linearen Funktion (also eine Gerade) gegeben, und möchtest ihre Steigung bestimmen. Dann führst du die folgenden Schritte aus:

Schritt 1: Zeichne wie oben beschrieben ein Steigungsdreieck ein. Wähle dazu zuerst zwei beliebige Punkte und .

Steigung berechnen Steigungsdreieck — Steigung bestimmen

Schritt 2: Bestimme als nächstes den Abstand der x-Werte $\Delta x$ und den Höhenunterschied $\Delta y$ . Du kannst dabei entweder die Kästchen zählen, oder du berechnest den Wert aus den Koordinaten der beiden Punkte und . Dazu ziehst du jeweils die beiden x-Werte und die beiden y-Werte voneinander ab:

$\Delta x = x_Q - x_P$

$\Delta y = y_Q -y_P$

Schritt 3: Berechne nun die Steigung als

$m = \cfrac{\Delta y}{\Delta x} = \cfrac{ y_Q - y_P}{ x_Q - x_P}$

Beispiel 2: Steigungsdreieck berechnen

Hier wollen wir die Steigung der oben abgebildeten Geraden explizit berechnen. Hier sind P(-3|2) und Q(5|6) gegeben. Um zu bestimmen, berechnen wir zuerst

$\Delta x = 5 - (-3) = 8$

$\Delta y = 6-2 = 4.$

Die beiden Ergebnisse setzen wir jetzt in die Formel ein und erhalten für die Steigung der Geraden

$m = \cfrac{\Delta y}{\Delta x} = \cfrac{ 4}{8} = \cfrac{1}{2}.$

Steigungsdreieck — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was zeigt mir ein Steigungsdreieck bei einer Geraden?

Ein Steigungsdreieck bei einer Geraden zeigt dir, wie stark die Gerade steigt oder fällt, wenn du in x-Richtung nach rechts gehst. Es macht den Zusammenhang zwischen der waagrechten Änderung $\Delta x$ und der senkrechten Änderung $\Delta y$ sichtbar und hilft so, die Steigung zu bestimmen.
Warum ist die Steigung gleich, egal wo ich das Steigungsdreieck einzeichne?

Bei einer Geraden ist die Steigung überall gleich, weil sich $\Delta y$ und $\Delta x$ entlang der Geraden immer im gleichen Verhältnis ändern. Deshalb können Steigungsdreiecke unterschiedlich groß sein oder an verschiedenen Stellen liegen, ohne dass sich die Steigung ändert.
Wie wähle ich zwei Punkte auf der Geraden, damit ich gut rechnen kann?

Zwei Punkte wählst du so, dass sie genau auf Gitterpunkten liegen, also direkt auf Kästchen-Ecken. Dann lassen sich $\Delta x$ und $\Delta y$ leicht ablesen oder aus den Koordinaten berechnen. Zum Beispiel sind P(3|3) und Q(6|5) dafür besonders geschickt.
Wie finde ich den dritten Punkt beim rechtwinkligen Steigungsdreieck?

Den dritten Punkt C findest du, indem du von einem Punkt waagrecht und vom anderen Punkt senkrecht gehst, bis sich beide Linien schneiden. Zum Beispiel gehst du von P waagrecht nach rechts und von Q senkrecht nach unten; der Schnittpunkt ist C und damit entsteht das rechtwinklige Dreieck PQC.
Wie berechne ich die Steigung aus Delta y und Delta x?

Die Steigung berechnest du mit $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$ , also Höhenunterschied durch waagrechten Abstand. Dabei gilt $\Delta x=x_Q-x_P$ und $\Delta y=y_Q-y_P$ . Beispiel: Für P(-3|2) und Q(5|6) ist $\Delta x=8$ , $\Delta y=4$ und damit $m=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$ .

Steigung berechnen

Steigungen kannst du nicht nur mit einem Dreieck bestimmen. Noch schneller geht das, wenn du sie einfach direkt berechnest! Wie das funktioniert, erfährst du in unserem Video .