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Logistisches Wachstum

Wenn du etwas über logistisches Wachstum lernen oder dein Wissen darüber auffrischen möchtest, dann bist du hier genau richtig, denn in diesem Beitrag erklären wir dir das Wichtigste zum logistischen Wachstum.  

Du möchtest das logistische Wachstum schnellstmöglich verstehen? Dann schau dir unser Video%Verweis dazu an!

Inhaltsübersicht

Logistisches Wachstum einfach erklärt

Bei einem Wachstumsprozess betrachtest du das Verhalten einer bestimmten Kenngröße, oft Population genannt, im Verlauf der Zeit. Beispiele für Populationen sind die Anzahl an Bakterien in einem Behälter oder der Stand deines Bankkontos. 

Ein Wachstumsprozess kann mathematisch als eine Differentialgleichung modelliert werden. Logistisches Wachstum besitzt die zugrunde liegende Differentialgleichung

Differentialgleichung Logistisches Wachstum

f'(t) = k \cdot f(t) \cdot (G - f(t)).

Dabei bedeuten die einzelnen Parameter folgendes:

  • f(t):  eine bestimmte Population,
  • f'(t): Ableitung von f(t) nach der Zeit t,
  • k: der Wachstumsfaktor,
  • G: die Sättigungsgrenze (auch obere Schranke) der betrachteten Population. 

Logistisches Wachstum ist durch die Einführung der oberen Schranke eine Erweiterung des Modells des exponentiellen Wachstums%verlinken, sobald Beitrag hierzu exisitert. Es wird also berücksichtigt, dass eine bestimmte Ressource vorhanden ist, die mit dem Wachstum immer kleiner wird.

Logistisches Wachstum Formel

Bei der Differentialgleichung für logistisches Wachstum handelt es sich um eine nichtlineare , gewöhnliche Differentialgleichung. Die Lösung dieser Differentialgleichung lautet

Lösung der Differentialgleichung für logistisches Wachstum

f(t) = G \cdot \frac{1}{1 + e^{-k \cdot G \cdot t}\left(\frac{G}{f(0)} - 1\right)}.

Auch hier steht f(t) für die zeitliche Entwicklung einer Population, k für den Wachstumsfaktor und G für die obere Schranke. Die Zahl f(0) beschreibt die Population zum Zeitpunkt t = 0 und ist eine positive Zahl, das heißt es gilt f(0) > 0. Diese Funktion heißt auch logistische Funktion

Einfaches Beispiel

Geben wir dieser abstrakten Lösung für logistisches Wachstum doch eine anschauliche Form. Dazu wählen wir willkürlich die Parameter G = 4, k = 1 und f(0) = 2 aus. Die Funktion lautet dann

f(t) = 4 \cdot \frac{1}{1 + e^{-1 \cdot 4 \cdot t}\left(\frac{4}{f(2)} - 1\right)}.

Wenn wir diese Funktion für das Zeitintervall [-6, 8] zeichnen, erhalten wir folgende Kurve

Logistisches Wachstum Beispiel, S-förmige Kurve, Sigmoid
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Kurve der logistischen Funktion für die Parameterwerte G = 4, k = 1 und f(0) = 2.

Dieser typische S-förmige Verlauf der Kurve ist charakteristisch für logistisches Wachstum. Funktionen mit einem solchen Verlauf heißen Sigmoid. Anhand dieser exemplarischen Kurve kannst du bereits erkennen, dass die Rate, mit der die Population wächst, am Wendepunkt am stärksten ist. Mit steigender Zeit nähert sich die Kurve der Sättigungsgrenze G und die Wachstumsrate nimmt immer mehr ab.

Beispiel: Logistisches Wachstum Biologie

Um logistisches Wachstums noch anschaulicher zu machen, schauen wir uns ein konkretes Beispiel aus der Biologie an. 

Wenn du Hefe in einem Reagenzglas ansetzt und die Hefemenge mit steigender Zeit misst, dann wird sie einen S-förmigen Verlauf zeigen. Die Ressource, die beim Wachstum der Hefe verbraucht wird, sind die Nährstoffe im Glas, die für den weiteren Wachstum der Hefemenge benötigt wird. Wir haben hier also einen klassischen Fall für logistisches Wachstum.

Lass uns daher für einen bestimmten Fall die logistische Funktion bestimmen. Wir haben ein Reagenzglas, dessen enthaltene Nährstoffe Platz für 665 mg Hefe bietet. Zu Beginn sind im Glas 10 mg Hefe. Nach 3 Stunden sind es schon 47 mg. Wir möchten die Parameter G, k und f(0) bestimmen.

Beginnen wir mit der Sättigungsgrenze G. Wir wissen, dass der Nährstoff im Reagenzglas Platz für 665 mg Hefe bietet. Damit kann die Hefemenge im Reagenzglas diese Schranke nicht überschreiten und wir haben G = 665  \mathrm{mg}.

Zu Beginn befindet sich im Glas eine Hefemenge von 10 mg. Damit wissen wir, dass die Hefemenge zum Zeitpunkt t = 0 gerade 10 mg ist. Es gilt also f(0) = 10  \mathrm{mg}

Zur Berechnung des Wachstumsfaktors nutzen wir die Information aus, dass sich im Glas nach 3 Stunden 47 mg Hefe befindet. Formal ausgedrückt bedeutet das f(3) = 47 \ \mathsf{mg}. Wenn wir nun in die allgemeine Formel der logistischen Funktion die gefundene obere Schranke G und den Anfangswert f(0) einsetzen, dann erhalten wir

f(3) = 665 \cdot \frac{1}{1 + e^{-k \cdot 665 \cdot 3}\left(\frac{665}{10} - 1\right)} = 47.

Beachte, dass wir hier zur Übersicht die Einheiten nicht erwähnen. Wir müssen diese Gleichung nun nur noch nach k umstellen:

665 \cdot \frac{1}{1 + e^{-k \cdot 665 \cdot 3}\left(\frac{665}{10} - 1\right)} = 47\quad \quad \bigg| \cdot \left(1 + e^{-k \cdot 665 \cdot 3}\left(\frac{665}{10} - 1\right)\right)

665 = 47 \cdot \left(1 + e^{-k \cdot 665 \cdot 3}\left(\frac{665}{10} - 1\right)\right)

Nun dividieren wir beide Seiten durch 47 und subtrahieren von beiden Seiten 1. Es ist dann

\frac{665}{47} - 1 = e^{-k \cdot 665 \cdot 3}\left(\frac{665}{10} - 1\right).

Jetzt dividieren wir beide Seiten durch (\frac{665}{10} - 1) und wenden dann den natürlichen Logarithmus an 

\ln\left(\frac{\frac{665}{47} - 1}{\frac{665}{10} - 1}\right) = -k \cdot 665 \cdot 3.

Zum Schluss teilen wir durch - 665 \cdot 3 und erhalten für k

k = \frac{-1}{665 \cdot 3} \cdot \ln\left(\frac{\frac{665}{47} - 1}{\frac{665}{10} - 1}\right) = 8,049 \cdot 10^{-4}.

Wir haben also alle Parameter bestimmen können und die logistische Funktion für diesen konkreten Fall lautet

f(t) = 665 \cdot \frac{1}{1 + e^{-8,049 \cdot 10^{-4} \cdot 665 \cdot t}\left(\frac{665}{10} - 1\right)}.

Logistisches Wachstum Rekursive Darstellung

Eine weitere mögliche Darstellung des logistischen Wachstums ist eine sogenannte rekursive Darstellung

Rekursive Darstellung Logistisches Wachstum

Die Rekursionsvorschrift für logistisches Wachstum lautet

f(t) = f(t-1) + k \cdot \Delta t \cdot f(t-1) \cdot (G - f(t-1)).

Diese Rekursionsvorschrift besagt also, dass die Zunahme in der Population bei einem Zeitintervall \Delta t proportional…

  • …zur Population f(t) am Anfang des Zeitintervalls,
  • …zum Wachstumsfaktor k,
  • …zur verstrichenen Zeit \Delta t und
  • …zur Differenz (G - f(t)) ist.

Und genau diese Differenz bremst den Wachstumsprozess bei einem logistischen Wachstum. Denn je näher f(t) der oberen Schranke kommt, umso kleiner ist diese Differenz und damit die Zunahme in der Population. Für den Extremfall, dass die obere Schranke erreicht wird, geht die Differenz gegen Null und somit kommt das Wachstum zu einem Stillstand. 

Beispiel

Wir können uns diese rekursive Darstellung anhand eines einfachen Beispiels veranschaulichen. Dazu wählen wir dieselben Parameter wie zuvor, also G = 4, k = 0,15 und f(0) = 2 und beginnen eine Tabelle anzulegen. Der erste Wert zum Zeitpunkt t = 0 ist gerade f(0). Der zweite Wert zum Zeitpunkt t = 1 ist dann

f(1) = f(0) + k \cdot \Delta t \cdot f(0) \cdot (G - f(0))

= 2 + 0,15 \cdot \ 1 \cdot 2 \cdot (4 - 2)) = 2,2.

Der nächste Wert zum Zeitpunkt t = 2 ist

f(2) = f(1) + k \cdot \Delta t \cdot f(1) \cdot (G - f(1))

= 2,2 + 0,15 \cdot \ 1 \cdot 2,2 \cdot (4 - 2,2)) = 2,398.

Der vierte Wert zum Zeitpunkt t = 3 ist

f(3) = f(2) + k \cdot \Delta t \cdot f(2) \cdot (G - f(2))

= 2,398 + 0,15 \cdot \ 1 \cdot 2,398 \cdot (4 - 2,398)) = 2,59.

Wenn wir das jetzt für alle Zeitpunkte aus dem Intervall [-8, 8] machen, erhalten wir folgende Wertetabelle für die positiven Zeitpunkte:

t 0 1 2 3 4 5 6 7 8
f(t) 2 2.6 3.146 3.549 3.789 3.909 3.962 3.985 3.994

Analog erhältst du für die negativen Zeitpunkte:

t -8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1

f(t)

0.006 0.015 0.038 0.091 0.211 0.451 0.854 1.4

Beachte, dass wir hier die Werte für f(t) auf drei Nachkommastellen gerundet haben. Zeichnen wir nun diese Punkte in ein Koordinatensystem gemeinsam mit der logistischen Funktion für die vorgegebenen Parameter, dann sieht das wie im folgenden Bild aus:

Rekursive Darstellung logistisches Wachstum.
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Rekursive Darstellung logistisches Wachstum.

Die Abweichungen zwischen Werte aus der Wertetabelle und Funktionswerte kommen insbesondere durch Rundungsfehler zustande.

Logistisches Wachstum weitere Darstellungen

Je nachdem, wo du über logistisches Wachstum liest, wirst du unterschiedliche Darstellungen finden. Wir zeigen dir in diesem Abschnitt eine weitere Darstellung, um dich bestmöglich darauf vorzubereiten. Wenn wir die allgemeine Formel

f(t) = G \cdot \frac{1}{1 + e^{-k \cdot G \cdot t}\left(\frac{G}{f(0)} - 1\right)}

im Zähler und Nenner mit f(0) multiplizieren, erhalten wir

f(t) = \frac{f(0) \cdot G}{f(0) + e^{-k \cdot G \cdot t}\left(G - f(0) \right)}.

Manchmal findest du auch andere Symbole für die einzelnen Bestandteile:

  • f(0) wird mit a bezeichnet und
  • G mit S.

Mit diesen Umbenennungen sieht die Formel für logistisches Wachstum dann folgendermaßen aus

f(t) = \frac{a \cdot S}{a + e^{-k \cdot S \cdot t}\left(S - a \right)}.

Logistisches Wachstum Aufgaben

In diesem Abschnitt stellen wir dir ein paar typische Aufgaben und deren Lösungen vor. Du findest eine Aufgabe für logistisches Wachstum in der Biologie, eine zur Berechnung wichtiger Charakteristika der logistischen Funktion und zum Abschluss eine Aufgabenstellung zur Bestimmung der Parameter für logistisches Wachstum.

Aufgabe 1: Logistisches Wachstum Biologie

Der Nährboden einer Bakterienkultur hat Platz für insgesamt 500 Bakterien. Die Wachstumsrate der Bakterienkultur entspricht 0,0025. Zu Beginn sind 25 Bakterien vorhanden. Bestimme die logistische Funktion und zeichne sie im Zeitintervall [-10, 10].

Lösung Aufgabe 1

Die Parameter für die logistische Funktion lauten:

G = 500,

k = 0,0025 und

f(0) = 25.

Damit lautet die Funktion

f(t) = 500 \cdot \frac{1}{1 + e^{-0,0025 \cdot 500 \cdot t}(\frac{500}{25} - 1)}

und ihr Funktionsgraph im Zeitintervall [-10, 10] sieht folgendermaßen aus:

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Logistische Funktion für Aufgabe 1.

Aufgabe 2: Charakterisierung der logistischen Funktion

Ein logistisches Wachstum wird durch folgende Funktion modelliert

f(t) = 4 \cdot \frac{1}{1 + e^{-1 \cdot 4 \cdot t}(\frac{4}{2} - 1)}.

Bestimme für diese logistische Funktion

(a) den Wendepunkt t_W,

(b) die Sättigungsgrenze G und

(c) die maximale Wachstumsgeschwindigkeit v.

Lösung Aufgabe 2

(a) Zur Bestimmung des Wendepunkts t_W müssen wir die zweite Ableitung der gegebenen logistischen Funktion gleich Null setzen. Am einfachsten nehmen wir hierzu die Differentialgleichung für logistisches Wachstum und leiten diese nach der Zeit ab. Gemäß der Produktregel gilt dann

f''(t) = k \cdot f'(t) \cdot (G - f(t)) + k \cdot f(t) \cdot (-f'(t)) und damit

f''(t) = k \cdot f'(t) \cdot (G - 2f(t)).

Am Wendepunkt t_W soll f''(t_W) = 0 gelten. Wir erhalten also

f''(t_W) = 0 = k \cdot f'(t_W) \cdot (G - 2f(t_W)).

Nun ist am Wendepunkt die Steigung f'(t_W) nicht gleich Null. Somit muss gelten

G - 2f(t_W) = 0

\Leftrightarrow f(t_W) = \frac{G}{2}.

Um aus dieser Information den tatsächlichen Wert von t_W zu erhalten, setzen wir in die logistische Funktion t_W ein und erhalten

f(t_W) = \frac{4}{2} = 4 \cdot \frac{1}{1 + e^{-1 \cdot 4 \cdot t_W}(\frac{4}{2} - 1)}.

Diese Gleichung formen wir nach t_W um und erhalten

t_W = \frac{\mathsf{ln(1)}}{4} = 0.

Setzen wir nun t_W = 0 wieder in die logistische Funktion ein, erhalten wir für den Wert am Wendepunkt gerade f(0) = 2. Der Wendepunkt ist damit W(0| 2).

(b) Die gegebene logistische Funktion ist in einer solchen Form, dass wir die Sättigungsgrenze direkt ablesen könnten. Diese wäre G = 4 und die Aufgabe ist gelöst.

Nun muss aber eine logistische Funktion nicht immer diese Form haben. Um die Sättigungsgrenze auch in einem solchen Fall bestimmen zu können, betrachten wir den Grenzwert t \rightarrow \infty. Für  t \rightarrow \infty ist e^{-t} = 0. Für die gegebene logistische Funktion gilt daher

G:=\lim \limits_{t\to\infty} f(t)=\lim \limits_{t\to\infty} 4 \cdot \frac{1}{1 + e^{-1 \cdot 4 \cdot t}(\frac{4}{2} - 1)}=4 \cdot \frac{1}{1 + 0\cdot(\frac{4}{2} - 1)}=\frac{4}{1} = 4.

Wir erhalten bei diesem Grenzwertprozess die Sättigungsgrenze G=4.

(c) Die maximale Wachstumsgeschwindigkeit können wir berechnen, indem wir in die Ableitung der logistischen Funktion den Wert t_W für t einsetzen. Wir erhalten also

v = f'(t_W) = k \cdot f(t_W) \cdot (G - f(t_W)) = k \cdot \frac{G}{2} \cdot (G - \frac{G}{2}) = k \cdot \frac{G}{2} \cdot \frac{G}{2} = \frac{k \cdot G^2}{4}

und nach Einsetzen der Zahlenwerte für G und k

v = \frac{1 \cdot 4^2}{4} = 4.

Aufgabe 3: Logistische Funktion bestimmen

Die Nährstoffmenge in einem Reagenzglas kann zu einer Hefemenge von maximal 1000 mg führen. Am Anfang befinden sich im Reagenzglas 50 mg Hefe. Nach 5 Stunden sind es bereits 140 mg. 

(a) Kann für diesen Fall von Hefe in einem Reagenzglas ein logistisches Wachstum angenommen werden? Begründe deine Antwort.

(b) Wenn ein logistisches Wachstum angenommen werden kann, bestimme alle Parameter für die logistische Funktion und schreibe sie auf.

Lösung Aufgabe 3

(a) Ja, es kann ein logistisches Wachstum angenommen werden, da der Nährstoff im Reagenzglas die beim Wachstum ausschöpfende Ressource ist. 

(b) Hier ist die Vorgehensweise genau die gleiche wie im Beispiel zum Abschnitt logistisches Wachstum Formel. Wir erhalten die Parameterwerte

G = 1000,

f(0) = 50 und 

k = 2,258 \cdot 10^{-4}.

Damit wurden alle Parameter der Funktion bestimmt. Die Funktion für logistisches Wachstum der Hefe lautet daher

f(t) = 1000 \cdot \frac{1}{1 + e^{-2,258 \cdot 10^{-4} \cdot 1000 \cdot t}\left(\frac{1000}{50} - 1\right)}

 

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