Funktionen
Quadratische Funktionen
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Was ist ein Scheitelpunkt?

Der Scheitelpunkt ist der tiefste oder der höchste Punkt einer Parabel . Bei einem Graphen kannst du den Scheitelpunkt ablesen.

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Scheitelpunkt

Beispiel: Der Scheitelpunkt des linken Graphen liegt im Punkt S(-3|2). Er ist der tiefste Punkt der Parabel. Der rechte Graph hat seinen Scheitel im Punkt S(4|5). Dort ist der höchste Punkt der Parabel. 

Was ist der Scheitelpunkt?

Der Scheitelpunkt einer Funktion ist

  • ihr Maximum , wenn die Parabel nach unten geöffnet ist.
  • ihr Minimum , wenn die Parabel nach oben geöffnet ist.

Ziehst du eine Parallele zur y-Achse durch den Scheitelpunkt, so ist die Parabel achsensymmetrisch dazu.

Scheitelpunkt bestimmen 

Du kannst den Scheitelpunkt von quadratischen Funktionen auf verschiedene Weisen bestimmen. Zum Beispiel mithilfe

Schau dir jetzt ein paar Beispiele zu den einzelnen Methoden an!

Bestimmung mithilfe der Scheitelpunktform

Ist deine Funktion schon in der Scheitelpunktform gegeben, kannst du den Scheitel ganz einfach ablesen:

  • allgemeine Scheitelpunktform: f(x) = a · (x – d)2 + e
  • Scheitelpunkt: S (d|e)

Beispiel 1: 

  • f(x) = 5 · (x – 4)2 + 3

Der Scheitel der Funktion liegt bei S (4|3).

Beispiel 2: 

  • g(x) = 2 · (x + 1)2 + 7

Vorsicht: Beachte die Vorzeichen der Zahlen! Statt (x + 1) musst du wie in der allgemeinen Form ein Minus in der Klammer haben, um d zu bestimmen. Du schreibst also: (x – (-1)). Dadurch siehst du, dass d = -1 ist. Der Scheitelpunkt der Funktion liegt also bei S (-1| 7).

Die Funktion ist nicht in der Scheitelpunktform gegeben? Dann kannst du sie durch die quadratische Ergänzung oder mithilfe von Ausmultiplizieren, Ausklammern oder den binomischen Formeln umformen. 

Bestimmung mithilfe der allgemeinen Form

Auch wenn du die allgemeine Form gegeben hast, kannst du den Scheitelpunkt der Funktion bestimmen. Merke dir dazu:

  • allgemeine Form: f(x) = ax2 + bx + c
  • Scheitelpunkt: S(-\frac{\textcolor{orange}{b}}{2 \cdot \textcolor{red}{a}}\phantom{i} |\phantom{i} \textcolor{olive}{c} -\frac{\textcolor{orange}{b}^2}{4 \cdot \textcolor{red}{a}}) 

Beispiel 1:

  • f(x) = 3x2 + 2x + 1

Um den Scheitelpunkt zu bestimmen, gehst du in 3 Schritten vor:

1. Bestimme a, b und c der Funktion:

f(x) = 3x2 + 2x + 1

a = 3, b = 2, c = 1

2. Setze die Werte in die Formel für den Scheitelpunkt ein:

    \[S(-\frac{\textcolor{orange}{b}}{2 \cdot \textcolor{red}{a}} \phantom{i}|\phantom{i} \textcolor{olive}{c} -\frac{\textcolor{orange}{b}^2}{4 \cdot \textcolor{red}{a}})\]

    \[S(-\frac{\textcolor{orange}{2}}{2 \cdot \textcolor{red}{3}} \phantom{i}|\phantom{i} \textcolor{olive}{1} -\frac{\textcolor{orange}{2}^2}{4 \cdot \textcolor{red}{3}})\]

3. Vereinfache die Terme in der Klammer:

    \[S(-\frac{1}{3} \phantom{i}|\phantom{i}\frac{2}{3})\]

Super! So bestimmst du mit der allgemeinen Form den Scheitelpunkt! Schau es dir an noch einem Beispiel an:

Beispiel 2:

  • g(x) = 5x2 + x – 4

Gehe wieder die drei Schritte durch. Achte darauf, dass du die Vorzeichen nicht vergisst!

1. Bestimme a, b und c der Funktion:

f(x) = 5x2 + x 4

a = 5, b = 1, c = – 4

Steht keine Zahl vor dem x, ist das dasselbe wie 1 · x.

2. Setze die Werte in die Formel für den Scheitelpunkt ein:

    \[S(-\frac{\textcolor{orange}{b}}{2 \cdot \textcolor{red}{a}} \phantom{i}|\phantom{i} \textcolor{olive}{c} -\frac{\textcolor{orange}{b}^2}{4 \cdot \textcolor{red}{a}})\]

    \[S(-\frac{\textcolor{orange}{1}}{2 \cdot \textcolor{red}{5}} \phantom{i}|\phantom{i} (\textcolor{olive}{-4}) -\frac{\textcolor{orange}{1}^2}{4 \cdot \textcolor{red}{5}})\]

3. Vereinfache die Terme in der Klammer:

    \[S(-\frac{1}{10} \phantom{i}|\phantom{i}-\frac{81}{20})\]

Wenn die Funktion nicht in der Scheitelpunktform gegeben ist, kannst du sie durch die quadratische Ergänzung oder mithilfe von Ausmultiplizieren, Ausklammern oder den binomischen Formeln umformen.

Für Fortgeschrittene bietet sich auch die Bestimmung des Scheitelpunkts durch die Ableitung an. Wie das geht, siehst du jetzt!

Bestimmung mithilfe der Ableitung (Expertenwissen)

Die Ableitung beschreibt die Steigung einer Funktion. Da die Steigung am Scheitel einer Funktion immer 0 ist, musst du nur die Nullstellen der Ableitung berechnen, um den Scheitelpunkt zu bestimmen.

Merke!

Die Nullstellen der Ableitung beschreiben die Extrempunkte (Maxima und Minima) der normalen Funktion, also die Scheitelpunkte.

Beispiel:

  • f(x) = x2 + 3x + 5

Um den Scheitelpunkt der Funktion zu bestimmen, kannst du einfach drei Schritten folgen:

1. Leite die Funktion f(x) ab. Wie das geht, kannst du dir in diesem Video nochmal anschauen.

f(x) = x2 + 3x + 5

f'(x) = 2x + 3

2. Bestimme die Nullstelle der Ableitung f'(x). Sie ist gleichzeitig die Extremstelle der Funktion f(x). Setze f'(x) also gleich 0.

f'(x) = 0

2x + 3 = 0

2x + 3 = 0        | -3

2x = -3        | : 2

x = –\frac{3}{2}

3. Du hast nun die x-Koordinate des Scheitelpunkts. Um die y-Koordinate zu bestimmen, setzt du x in die normale Funktion f(x) ein.

f(-\frac{3}{2}) = (-\frac{3}{2})2 + 3 · (-\frac{3}{2}) + 5

f(-\frac{3}{2}) = \frac{9}{4} \frac{9}{2} + 5

f(-\frac{3}{2}) = 2,75

Die y-Koordinate ist y = 2,75. Somit erhältst du für den Scheitelpunkt S (-\frac{3}{2} | 2,75). An der Funktionsgleichung erkennst du sogar noch mehr über den Scheitelpunkt: x2 ist positiv, also ist die Parabel nach oben geöffnet. Bei dem Scheitel handelt es sich deshalb um ein Minimum

Bestimmung mithilfe der Nullstellen

Die nächste Methode funktioniert nur, wenn die Parabel Nullstellen hat! Wenn das so ist, dann liegt die x-Koordinate des Scheitels genau in der Mitte der beiden Nullstellen. Das liegt daran, dass alle Parabeln achsensymmetrisch sind.

Hat die Parabel nur eine Nullstelle, liegt diese auf der x-Achse. Das ist gleichzeitig der Scheitel der quadratischen Funktion. y ist dabei immer gleich 0

Beispiel:

  • f(x) = 0,5 · x2 – 2

1. Berechne die Nullstellen der quadratischen Funktion f(x). Setze f(x) dafür gleich 0.

f(x) = 0

0,5 · x2 – 2 = 0

0,5 · x2 – 2 = 0     | + 2

0,5 · x2 = 2      | · 2

x2 = 4      | √

x = ± 2

Die Nullstellen von f(x) sind -2 und 2. Da eine Parabel achsensymmetrisch ist, liegt der Scheitel genau in der Mitte der beiden Nullstellen.

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Scheitelpunkt mithilfe von Nullstellen

Also muss die x-Koordinate von S gleich xS = 0 sein.

2. Bestimme die y-Koordinate von S, indem du xS in die normale Funktion einsetzt.

f(0) = 0,5 · 02 – 2 = -2

Der Scheitelpunkt hat also die Koordinaten S(0|-2).

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Quadratische Ergänzung

Jetzt kannst du die Scheitelpunkte von quadratischen Funktionen bestimmen! Die quadratische Ergänzung hilft dir, sie auch bei komplizierten Funktionen zu finden. Alles, was du dazu wissen musst, zeigen wir dir hier !%Thumbnailverweis

Zum Video: Quadratische Ergänzung
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