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Quadratische Funktionen
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Parabel einfach erklärt

Eine Parabel ist der Graph einer quadratischen Funktion. Sie ist bogenförmig und kann entweder nach oben oder nach unten geöffnet sein. Der höchste beziehungsweiße tiefste Punkt einer Parabel nennst du Scheitelpunkt.

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links: nach oben geöffnete Parabel, rechts: nach unten geöffnete Parabel

%Hi Patricia, kannst du die Grafik nochmal neu machen? Bitte den Scheitelpunkt rot machen (wie bei der Normalparabel unten) und noch in die Grafik schreiben, welche Parabel nach oben und nach unten geöffnet ist. 

Die Normalparabel

Als Normalparabel bezeichnest du den Graphen der quadratischen Funktion f(x) = x².

Sie sieht so aus:

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Die Normalparabel

In der Skizze siehst du schon einige Eigenschaften der Normalparabel:

  • Sie ist nach oben geöffnet
  • Ihr Scheitelpunkt liegt bei (0|0)
  • Sie ist achsensymmetrisch zur y-Achse
  • Wichtige Punkte sind: (1|1), (-1|1), (2|4), (-2|4)

Verschiebung in y-Richtung

Du kannst die Normalparabel entlang der y-Achse nach oben oder unten bewegen.

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Normalparabel wurde um 1 Einheit nach unten verschoben 

Hier wurde die Parabel um 1 Einheit nach unten verschoben! Der Scheitelpunkt ist also nicht mehr (0|0), sondern (0|-1).

Das siehst du auch in der Funktionsgleichung:

    \[f(x) = x^2\textcolor{orange}{-1}\]

Andersherum würdest du bei dieser Funktionsgleichung den Graphen um eine Einheit nach oben verschieben:

    \[f(x) = x^2\textcolor{orange}{+1}\]

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Normalparabel wurde um 1 Einheit nach oben verschoben

 

Verschiebung in y-Richtung

Steht hinter dem x² ein +, verschiebst du den Graph um die genannte Zahl nach oben. Steht dort ein , nach unten.

Verschiebung in x-Richtung

Entlang der x-Achse kannst du die Normalparabel nach rechts oder links bewegen.

Parabel Formel,Verschiebung in x-Richtung
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Normalparabel wurde um 3 Einheiten nach links verschoben

 Die Normalparabel wurde hier um 3 Einheiten nach links verschoben! Der Scheitelpunkt ist also nicht mehr (0|0), sondern (-3|0).

Das kannst du auch in der zugehörigen Funktionsgleichung der Parabel erkennen:

    \[f(x) = (x\textcolor{olive}{+3})^2\]

Bei folgender Funktionsgleichung würdest du den Graph um 3 nach rechts verschieben:

    \[f(x) = (x\textcolor{olive}{-3})^2\]

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Normalparabel wurde um 3 Einheiten nach rechts verschoben

Bei (x3)² schiebst du die Parabel also um 3 Einheiten nach rechts, bei (x+3)² nach links. Das Vorzeichen in der Klammer gibt also die Richtung vor.

Verschiebung in x-Richtung

Bei (x…)², schiebst du die Normalparabel um die genannte Zahl nach rechts. Bei (x+…)², nach links.

Spiegelung an der x-Achse

Außerdem kannst du die Normalparabel an der x-Achse spiegeln.

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Normalparabel ist an der x-Achse gespiegelt

 Das kannst du auch an der Funktionsgleichung erkennen:

    \[f(x)=\textcolor{magenta}{-}x^2\]

Der Unterschied zur Funktionsgleichung der Normalparabel ist also das vor dem x².

Es sorgt dafür, dass die Parabel jetzt nach unten geöffnet ist. Der Scheitelpunkt bleibt gleich.

Spiegelung an der x-Achse

Steht vor dem x^2 ein , ist die Parabel an der x-Achse gespiegelt.

Streckung und Stauchung

Die Breite der Parabel lässt sich ebenfalls verändern.

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Normalparabel ist gestreckt bzw. gestaucht

 Ist die Parabel spitzer und schmaler als davor, sprichst du von einer Streckung. Ist sie breiter und flacher geworden, sprichst du von einer Stauchung.

Das siehst du auch an ihren Funktionsgleichungen:

  • für die gestreckte Parabel: f(x) = 2
  • für die gestauchte Parabel: f(x) = ½

Die Zahl vor dem x² ist also entscheidend.

Streckung und Stauchung

Die Zahl vor dem x² gibt an, ob die Parabel gestreckt oder gestaucht wird.

  • Ist sie größer als 1, ist es eine Streckung (Bsp: f(x) = 2x^2)
  • Ist sie zwischen 0 und 1, ist es eine Stauchung (Bsp: f(x) = \frac{1}{2}x^2)

Was bei einer Streckung mit dem Faktor 2, also f(x) = 2x² genau passiert, siehst du am besten an diesen Punkten:

  • (0|0) \tiny\underrightarrow{y-Wert\cdot\textcolor{blue}{2}} (0|0)
  • (1|1) \tiny\underrightarrow{y-Wert\cdot\textcolor{blue}{2}} (1|2)
  • (-1|1) \tiny\underrightarrow{y-Wert\cdot\textcolor{blue}{2}} (-1|2)
  • (2|4) \tiny\underrightarrow{y-Wert\cdot\textcolor{blue}{2}} (2|8)
  • (-2|4) \tiny\underrightarrow{y-Wert\cdot\textcolor{blue}{2}} (-2|8)

Du multiplizierst also immer alle y-Werte auf der Parabel mit dem entsprechenden Faktor.

Die Scheitelpunktform

Du kannst all dein Wissen jetzt auch gleichzeitig anwenden! Schau dir dazu den folgenden Graph an:

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Hier wurden an der Normalparabel mehrere Dinge verändert.

 Welche Veränderungen wurden hier durchgeführt?

  • Die Normalparabel wurde mit dem Faktor 2 gestreckt.
  • Sie wurde nicht an der x-Achse gespiegelt.
  • Sie wurde um 3 nach links verschoben.
  • Zuletzt wurde sie 1 nach unten verschoben.

All das siehst du auch in der dazugehörigen Funktionsgleichung: f(x)= 2(x+3-1

Hier sind die Veränderungen der Parabeln nochmal Schritt-für-Schritt zu sehen:

%Liebe Animation, könntet ihr hier eine Graphik machen, wo Schritt für Schritt die Parabel geändert wird? Bilder dazu in Asana.  Also damit der Übergang zwischen folgende Funktionen klar wird: 1 f(x) = x^2, 2. f(x) = 2x^2, 3. f(x) = 2(x+3)^2. 4.f(x) = 2(x+3)^2-1. Beschriftung: Scheitelpunktform Schritt für Schritt; Alttext: Parabel, Scheitelpunktform, Verschiebung in x-Richtung, Verschiebung in y-Richtung, Koordinatensystem, Streckung, Stauchung, Parabeln, Parabel Mathe, Parabel formel, Funktionsgleichung Parabel, Funktionsgleichung bestimmen parabel

Die Funktionsgleichung befindet sich in der sogenannten Scheitelpunktform :

f(x) = a(x-d)+e

Hier kannst du ganz einfach an den Parametern ablesen, wie deine Parabel aussieht. Das hilft dir auch beim Zeichnen.

  1. a gibt an, ob du die Normalparabel strecken (bei a > 1) oder stauchen (bei 0<a<1) musst.
  2. Ist a negativ, ist die Parabel nach unten geöffnet.  Dann musst du deine Parabel  an der x-Achse spiegeln.
  3. d gibt die Verschiebung in x-Richtung an. Steht in der Klammer ein +, schiebe die Parabel nach links. Bei einem -, nach rechts.
  4. e gibt an, um wieviel die Parabel in y-Richtung verschoben wurde. Schiebe den Graph bei + nach oben, bei – nach unten.

Du nennst diese Form Scheitelpunktform, weil du dort ganz einfach den Scheitelpunkt S ablesen kannst. Er lautet S(d|e).

Bei der Funktion f(x) = 2(x+3)^2-1 ist der Scheitelpunkt S(-3|-1).

Achte darauf, dass du beim x-Wert von deinem Scheitelpunkt das richtige Vorzeichen verwendest: Bei (x+3) steht im Scheitelpunkt -3 und bei (x-3) steht im Scheitelpunkt +3!

Allgemeine Form in Scheitelpunktform umwandeln

Aber was, wenn deine Funktion noch nicht in Scheitelpunktform ist, sondern so aussieht?

    \[2x^2+12x+17\]

Diese Form nennst du allgemeine Form.

Das ist kein Problem, wir können sie einfach in die Scheitelpunktform bringen! Dazu nutzen wir die quadratische Ergänzung .

  1. Klammere die Zahl vor dem x^2 aus: 

        \[2(x^2 +6x+8,5)\]

  2. Nun hast du innerhalb der Klammer die Form x^2+bx+c. Dein b ist hier die 6.
  3. Ergänze quadratisch mit (\frac{b}{2})^2, also (\frac{6}{2})^2 = 3^2. Das machst du, indem du 3^2 addierst und gleich wieder subtrahierst.

        \[2(x^2+6x+3^2-3^2+8,5)\]

  4. Wende die 1. binomische Formel (\textcolor{orange}{(a+b)^2 = a^2+2ab+b^2}) an:

        \[2((x+3)^2-3^2+8,5)\]

  5. Vereinfache

        \[2((x+3)^2-3^2+8,5) = 2((x+3)^2-0,5) = 2(x+3)^2-1\]

Super, nun hast du sie wieder in Scheitelpunktform!

Nullstellen bestimmen

Du willst die Nullstellen von Parabeln bestimmen?

Nullstellen, Parabel Funktion
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Nullstellen einer Parabel

 

Dazu gehst du folgendermaßen vor:

  1. Wenn deine Funktion in Scheitelpunktform vorliegt, musst du sie erst einmal in ihre allgemeine Form bringen. Das machst du, indem du ausmultiplizierst.

        \[2(x+3)^2-1 = 2(x^2+6x+9)-1 = 2x^2+12x+18-1 = 2x^2+12x+17\]

  2. Setze deine Funktion gleich 0:

        \[\textcolor{red}{2}x^2+\textcolor{blue}{12}x+\textcolor{teal}{17} = 0\]

  3. Nun kannst du die Parameter ganz einfach in die Mitternachtsformel einsetzen. 

        \[x_{1,2} = \frac{-\textcolor{blue}{b}\pm\sqrt{\textcolor{blue}{b}^2-4 \textcolor{red}{a} \textcolor{teal}{c}}}{2 \textcolor{red}{a}} = \frac{- \textcolor{blue}{12}\pm\sqrt{\textcolor{blue}{12}^2-4\cdot \textcolor{red}{2} \cdot \textcolor{teal}{17}}}{2\cdot \textcolor{red}{2}} =\frac{-12\pm2,83}{4} \]

        \[\rightarrow x_1 = -2,29,\qquad x_2 = -3,71\]

Das entspricht auch den Nullstellen auf dem Bild.

Quadratische Funktionen

Super! Nun weißt du alles über Parabeln, die Graphen von quadratischen Funktionen. Du willst mehr über quadratische Funktionen wissen? Dann klick doch einfach auf unser Video zu dem Thema!

%Thumbnail-Verweis quadratische Funktionen

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