Analysis

Funktionen

In diesem Artikel fassen wir dir alles Wichtige zum Thema Funktionen zusammen und erklären es dir mit vielen Beispielen, Bildern und Merke-Kästchen

Du möchtest das Thema schnell verstehen und einfach erklärt bekommen? Dann schau unser Video%Verweis dazu an!

Inhaltsübersicht

Funktion einfach erklärt

In der Mathematik wird eine Abbildung zwischen zwei Mengen als Funktion bezeichnet. Klassischerweise ordnet die Funktion dabei bestimmten Elementen aus einer sogenannten Definitionsmenge X andere Elemente aus dem Wertebereich Y zu.

Abbildung Mengen, Funktion
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Abbildung zwischen zwei Mengen
Definition Funktion

Eine Funktion f ordnet jedem x aus dem Definitionsbereich genau ein y aus dem Wertebereich zu. 

f: x \mapsto y

Funktion, keine Funktion, Funktionen
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Unterschied zwischen Funktionen und Nicht-Funktionen

Wichtig dabei ist, dass jedes Element im Definitionsbereich nur ein zugehöriges Element im Wertebereich haben darf. Das bedeutet, dass das Ergebnis einer Funktionsgleichung stets eindeutig sein muss.

Funktionen Grundlagen

Um Funktionen zu untersuchen und ihre Eigenschaften zu verstehen, gibt es verschiedene Möglichkeiten und Grundlagen, die du kennen solltest. Dabei wird in die Begriffe Funktion, Funktionsgleichung und Funktionsgraph unterschieden.

Funktionsgleichung

Die Funktionsgleichung einer Funktion f  bezeichnet die Abbildungsvorschrift. Sie gibt dir an, was genau du berechnen musst. Ein Beispiel dafür ist 

f: x\mapsto \frac{1}{2}x^2-2x+3 ,

wobei die Funktionsgleichung f(x)=\frac{1}{2}x^2-2x+3 lautet.

Oft musst du die Funktionsgleichung aufstellen, wenn du konkrete Punkte gegeben hast. Hierzu gibt es einfache Beispiele, wie die Bestimmung der Funktionsgleichung einer Geraden durch zwei Punkte, es kann aber auch deutlich komplizierter werden, wenn du beispielsweise in der induktiven Statistik eine Regressionsgleichung aufstellen sollst. 

Merke: Streng formal besteht ein Unterschied zwischen der Funktion f und ihrer Funktionsgleichung f(x)=2x+3.

Wertetabelle

Um konkrete Aussagen über eine Funktion treffen zu können, bietet sich oftmals eine Wertetabelle an. Hier setzt du verschiedene Funktionswerte x in die Funktionsgleichung ein und hältst das Ergebnis tabellarisch fest. Am besten zeigen wir dir das am Beispiel einer linearen Funktion f mit Funktionsgleichung  f(x)=1,2x mit der du beispielsweise den Zusammenhang zwischen den Kosten und der Anzahl an Schokoladentafeln zum Preis 1,20€ darstellen kannst. 

Anzahl 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Preis 0 1,20€ 2,40 € 3,60 € 4,80 € 6,00 € 7,20 € 8,40€ 9,60 € 10,80 € 12,00€

Funktionsgraph im Koordinatensystem

Um dir den Verlauf einer Funktion vorzustellen, bietet es sich an, die einzelnen Punkte der Wertetabelle in einem Koordinatensystem zu veranschaulichen. Verbindest du die Punkte, hast du den Funktionsgraphen der Funktion gezeichnet. 

lineare Funktion, Gerade, Wertetabelle, Funktion
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Funktionsgraph

Lineare Funktionen

Die einfachsten Funktionstypen sind die linearen Funktionen. 

Funktionsgleichung für lineare Funktionen 

f(x)=m · x + b

Lineare Funktionen bezeichnen die Geraden im Koordinatensystem, wobei m ihre Steigung angibt und b den y-Achsenabschnitt. Oft musst du in diesem Zusammenhang die Steigung berechnen und verwendest dazu ein Steigungsdreieck oder den Steigungswinkel. Manchmal ist auch nach dem Schnittpunkt zweier Geraden gefragt, dann musst du die beiden Funktionsterme gleichsetzen. 

lineare Funktionen, Gerade, Steigungsdreieck, Steigung, y-Achsenabschnitt, mx+b
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Lineare Funktionen zeichnen

Quadratische Funktionen

Bei den quadratischen Funktionen gibt es drei mögliche Arten, einen Funktionsterm aufzustellen. 

Funktionsgleichung für quadratische Funktionen

f(x)=ax2+bx+c    allgemeine Form

f(x)=a(x-d)2+e    Scheitelpunktform mit Scheitelpunkt S(d|e)

f(x)=a(x-x1)(x-x2)    faktorisierte Form mit Nullstellen x1 und x2

Parabeln, Scheitelpunktform, quadratische Gleichungen
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Quadratische Gleichungen und Parabeln
  • f(x)=0,5(x-2)2+1   (blau) liegt in Scheitelpunktform vor
  • f(x)=-x2+2x-1   (lila) ist eine Parabel in Normalform
  • f(x)=(x-6)(x-10)   (grün) liegt in faktorisierter Form vor

Die Funktionsgraphen werden hier Parabeln genannt, sie können zwei, eine oder keine Nullstellen haben. Um die Nullstellen zu berechnen%verlinken , verwendest du die Mitternachtsformel%verlinken oder die pq Formel%verlinken . Manchmal interessiert man sich zudem für den Scheitelpunkt. Diesen kannst du bestimmen, indem du eine Parabel in Normalform mittels quadratischer Ergänzung auf die Scheitelpunktform bringst. 

Potenzfunktionen

Betrachtet man statt Normalparabeln und Ursprungsgeraden auch die höheren Potenzen einer Funktion, so spricht man von Potenzfunktionen

Funktionsgleichung der Potenzfunktionen

f(x)=a · x n

Dabei wird unterschieden, je nachdem, ob die Potenzfunktionen einen positiven oder negativen, geraden oder ungeraden Exponenten haben. 

Potenzfunktionen, Parabeln, kubische Funktion
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Funktionsgraphen von Potenzfunktionen
  • f(x)=x2 (blau)    ist die Normalparabel
  • f(x)=0,1x3 (lila)    ist eine Potenzfunktion 3. Grades
  • f(x)=2x-1 (grün)   ist eine Potenzfunktion mit negativem Exponenten

Wurzelfunktion

Wurzelfunktionen können als Potenzfunktionen mit rationalem Exponenten interpretiert werden. Sie haben die folgende allgemeine Funktionsgleichung:

Funktionsgleichung von Wurzelfunktionen:

(Quadrat-)Wurzel: \sqrt{x} = x^\frac{1}{2}

n-te Wurzel: \sqrt[n]{x} = x^\frac{1}{n}

Wurzelfunktionen
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Funktionsgraph verschiedener Wurzelfunktionen

Aufpassen musst du hier beim Definitionsbereich ! Wurzelfunktionen mit geradem Wurzelexponent sind nur für Zahlen x \ge 0 wohldefiniert.

Ganzrationale Funktionen und Polynome

Die Funktionsgleichung einer ganzrationalen Funktion enthält stets ein Polynom , weswegen sie manchmal auch als Polynomfunktion bezeichnet wird. 

Funktionsgleichung für ganzrationale Funktionen

f(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_2x^2+a_1x+a_0

Je nach Grad der Funktion, erhältst du hier Funktionsgraphen, die einer Parabel oder einer Funktion 3. Grades ähneln. 

ganzrationale Funktionen, Polynomfunktion, Funktion 3. Grades
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Ganzrationale Funktionen 3. und 4. Grades
  • f(x)=0,5x3+x2-1,5x-2 (blau) ist eine ganzrationale Funktion 3. Grades
  • g(x)=0,5x4-3x3+5x2-2x+0,5 (lila) ist eine ganzrationale Funktion 4. Grades 

Merke:  Potenzfunktionen, Polynomfunktionen und Wurzelfunktionen aller Art werden unter dem Überbegriff Rationale Funktionen zusammengefasst!

Gebrochen rationale Funktionen

Im Gegensatz zu den ganzrationalen Funktionen bestehen gebrochen rationale Funktionen stets aus einem Bruch mit Polynomen im Zähler und im Nenner. Die allgemeine Funktionsgleichung lautet hier:

Allgemeine Funktionsgleichung einer gebrochen rationalen Funktion

f(x)=\cfrac{p(x)}{q(x)}=\cfrac{a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\ldots+a_2x^2+a_1x+a_0}{b_mx^m+b_{m-1}x^{m-1}+\ldots+b_2x^2+b_1x+b_0}

Der Funktionsgraph einer gebrochen rationalen Funktion sieht ja nach Zählergrad und Nennergrad verschieden aus. Kennzeichnend ist dabei jedoch stets die senkrechte Asymptote an den Polstellen%verlinken , die du als Nullstelle des Nenners berechnest. Die anderen Asymptoten der Funktion kannst du mithilfe von Grenzwertberechnungen bestimmen. 

gebrochen rationale Funktionen, gebrochenrationale Funktionen, Asymptote
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Funktionsgraph gebrochen rationaler Funktionen

Exponentialfunktion und e Funktion

Sehr wichtig sind in der Mathematik auch die Exponentialfunktionen . Sie werden verwendet, um exponentielles Wachstum darzustellen, wie es in der Natur beispielsweise bei der Entwicklung einer Bakterienkultur oder beim Zerfall eines radioaktiven Elements vorkommt. Eine besondere Rolle spielt dabei die e Funktion zur Basis e = 2,7182…, weswegen sie oft als natürliche Exponentialfunktion bezeichnet wird. Ihre Funktionsgleichungen lauten in diesem Fall

Funktionsgleichung der Expoentialfunktion und der e Funktion

Exponentialfunktion:   f(x)=a · bx mit Basis b und Anfangswert a

e Funktion:   f(x)=ex mit Basis e = 2,7182…

e Funktion, Exponentialfunktion, exponentielles Wachstum
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Exponentialfunktion und e Funktion
  • f(x)=ex (blau)   ist der Funktionsgraph der e Funktion
  • f(x)=0,5 · 2x (grün)   ist eine steigende Exponentialfunktion
  • f(x) 3 · 0,25x (lila) ist eine fallende Exponentialfunktion

Merke: Die Basis b muss hier immer ungleich Null sein! 

Logarithmusfunktion und ln Funktion

Wenn du eine Exponentialfunktion nach x auflösen möchtest, benötigst du ihre Umkehrfunktion, die Logarithmusfunktion . Auch hier gibt es den Sonderfall der ln Funktion , was der Umkehrung der e Funktion entspricht. 

Logarithmusfunktion und ln Funktion

f(x)=\log _b(x)

f(x)=\ln (x)

Logarithmus, log, ln, log(x), ln(x)
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Logarithmusfunktion und ln Funktion
  • f(x)=\ln (x) (blau) ist die normale ln Funktion
  • f(x)=\log(x)    (grün) ist der Zehnerlogarithmus, d.h. der Logarithmus zur Basis 10
  • f(x)=\log _2(x)   (lila) ist der Logarithmus zur Basis 2

Merke: Klassischerweise bezeichnet \log(x) den Zehnerlogarithmus oder dekadischen Logarithmus, das heißt den Logarithmus zur Basis 10. \ln(x) nennt man hingegen den natürlichen Logarithmus, also den Logarithmus zur Basis e: \log _e(x)=\ln (x) .

Für die Logarithmus-Funktion gibt es veschiedene Rechenregeln, die du kennen solltest. Ausführlich erklären wir sie dir im Artikel Logarithmus Regeln%verlinken . Es gilt:

Logarithmus Regeln

\log _a(x) + \log _a(y) = \log _a(x \cdot y)

\log _a(x) – \log _a(y)= \log _a(\cfrac{x}{y})

\log _a(x^y)=y \cdot log_a(x)

\log_a(x)=\cfrac{\log_a(x)}{\log_a(b)}

Trigonometrische Funktionen

Die drei wichtigsten trigonometrischen Funktionen sind die Sinusfunktion, die Cosinusfunktion und der Tangens%verlinken</span> . Sie alle zeichnen sich durch ihre Periodizität aus, weil sie sich überall auf dem Zahlenstrahl gleich verhalten wie im Intervall [0, \pi ].

Funktionsgleichung der trigonometrischen Funktionen

f(x)=sin(x)

f(x)=cos(x)

f(x)=tan(x)

Sinus, Cosinus, sin(x), cos(x)
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Sinus und Cosinus

Verschiebung, Streckung, Stauchung und Spiegelung

Bisher haben wir dir nur die Grundfunktionen mit verschiedenen Koeffizienten vorgestellt. Nun wollen wir dir erklären, welchen Einfluss die einzelnen Koeffizienten auf die verschiedenen Funktionstypen haben. Dazu betrachten wir einzelne Beispiele, indem wir quadratische Funktionen im Koordinatensystem verschieben. Analog funktioniert das auch für alle anderen hier vorgestellten Funktionstypen. 

Verschiebung in y-Richtung

Am einfachsten ist es, wenn du den Graphen einer beliebigen Funktion in Koordinatensystem in y-Richtung nach oben oder nach unten verschiebst. Dazu addierst du den Parameter e zur Funktion f(x).

Verschiebung einer Funktion in y-Richtung

f(x)+e

Verschiebung in y-Richtung, Parabel nach oben/unten verschoben
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Verschiebung einer Parabel in y-Richtung
  • f(x)=x2   (blau) ist die Normalparabel
  • f(x)=x2 +2   (lila) ist um 2 nach oben verschoben
  • f(x)=x2 -1   (grün) ist um 1 nach unten verschoben

Verschiebung in x-Richtung

Wenn du eine Funktion in x-Richtung, das heißt nach links oder nach rechts verschieben willst, musst du den Parameter d direkt in die Funktionsgleichung einfügen. Hier berechnest du somit

Verschiebung einer Funktion in x-Richtung

f(x+d)

Verschiebung nach rechts/links, Verschiebung in x-Richtung, Verschiebung Parabel
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Verschiebung einer Parabel in x Richtung
  • f(x)=x2   (blau) ist eine Normalparabel
  • f(x)=(x+2)2   (grün) ist um 2 nach links verschoben
  • f(x)=(x-3)2   (lila) ist um 3 nach rechts verschoben

Streckung und Stauchung

Zusätzlich zur Verschiebung in beide Richtungen kannst du auch beeinflussen, wie steil die Funktion verläuft. Mithilfe eines Parameters a kann sie gestreckt beziehungsweise gestaucht werden, je nachdem ob a>1 oder a<1 ist. Je größer der betragsmäßige Wert von a ist, desto steiler wird der Funktionsgraph, je näher der Wert bei Null liegt, desto langsamer steigt die Funktion. 

Merke: Der Vorfaktor a muss immer ungleich Null sein, da du sonst das konstante Nullpolynom erhältst! 

 

Streckung oder Stauchung einer Funktion

a · f(x)

Streckung Parabel, Parabel, gestauchte Parabel
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Streckung und Stauchung einer Parabel
  • f(x)=x2 (blau) ist eine Normalparabel
  • f(x)=2x2 (lila)
  • f(x)=0,25x2 (grün)
  • f(x)=-0,5x2 (hellblau)

Spiegelung

Im Allgemeinen ist das Thema Spiegelung eng mit der Symmetrie von Funktionsgraphen verwandt. Wenn eine Funktion achsensymmetrisch ist, kannst du ihren Funktionsgraphen an der y-Achse spiegeln. Dann gilt für alle x-Werte aus dem Definitionsbereich 

f(x)=f(-x).

Ein typisches Beispiel dafür sind die Parabeln, die – sofern sie nicht in x-Richtung verschoben sind- immer achsensymmetrisch zum Ursprung sind. Eine Funktion dritten Grades ist im Gegensatz dazu punktsymmetrisch zum Ursprung, das heißt

-f(x)=f(-x).

Wenn du einen ganzen Funktionsgraphen dahingegen an der x-Achse spiegeln möchtest, musst du das Vorzeichen des Vorfaktors a anpassen. Dann erhältst du eine ganz neue Funktion, was du auch an der hellblauen Parabel im obigen Bild sehen kannst.

Spiegelung einer Funktion an der x-Achse

– f(x)

Alternativ kannst du die verschiedenen Einflüsse der einzelnen Parameter auch an den Wurzelfunktionen sehen. Im Bild sind die einzelnen Verschiebungen/Streckungen/Stauchungen nochmals zusammengefasst. 

Verschiebung, Streckung, Stauchung, Wurzelfunktion
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Zusammenfassung: Verschiebung, Streckung, Stauchung

Betragsfunktion

Die Betragsfunktion f(x)=|x| ist eine wichtige Funktion in der Mathematik. Sie gibt an, wie weit eine Zahl auf dem Zahlenstrahl von der Null entfernt ist und wird deswegen zur Abstandsberechnung verwendet. Die Betragsfunktion besteht aus zwei Halbgeraden, die sich am Ursprung treffen und ist achsensymmetrisch zur y-Achse. Sie ist die Stammfunktion der Signumfunktion und hat die folgende Funktionsgleichung: 

Funktionsgleichung der Betragsfunktion

|x|=\begin{cases} x \quad \quad \quad \mbox{f\"ur} \quad x>0\\ -x \quad \quad \mbox{f\"ur} \quad x<0 \end{cases}

Wie du an ihrem Funktionsgraph sehen kannst, hat sie einen Knick im Ursprung, was bedeutet, dass sie dort nicht differenzierbar ist. 

Betrag, Betragfunktion, Betragsfunktion
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Betragsfuntkion

Signumfunktion

Die Ableitung der Betragsfunktion ist die Signumfunktion. Sie gibt dir das Vorzeichen einer Zahl an, weswegen sie manchmal auch als Vorzeichenfunktion bezeichnet wird. Ihr Wertebereich enthält nur die  Zahlen 0, 1 und -1, das heißt \mathbb{W}=\{-1,0,1\} . Im Ursprung ist diese Funktion nicht stetig, sondern hat einen Sprung, weswegen man hier auch von abschnittsweise definierten Funktionen spricht. 

Funktionsgleichung der Signumsfunktion

\text{sgn}(x)= \begin{cases} 1 \quad \quad \quad \mbox{f\"ur} \quad x>0\\ 0 \quad \quad \quad \mbox{f\"ur} \quad x=0\\ -1 \quad \quad \mbox{f\"ur} \quad x<0\end

Signumfunktion, Vorzeichenfunktion, sign(x), sgn(x)
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Signumfunktion sgn(x)

Umkehrfunktionen

Viele Funktionen besitzen eine Umkehrfunktion , mit der man sie sozusagen rückgängig machen kann. Ob eine Umkehrfunktion existiert, hängt davon ab, ob die ursprüngliche Funktion stetig und streng monoton steigend oder fallend ist. Solche Funktionen heißen auch bijektiv und werden beispielsweise bei der Berechnung von Rotationskörpern regelmäßig gebraucht. 

Schreibweise für Umkehrfunktionen

f^{-1}(x)

Merke: f^{-1}(x) \neq \cfrac{1}{f(x)} !

Für viele Funktionen gibt es eine Umkehrfunktion nur dann, wenn du den Definitionsbereich einschränkst, sodass die Funktionen in diesem Intervall streng monoton sind. Das typische Beispiel hierfür sind die quadratischen Funktionen auf \mathbb{R}^+ , die mithilfe der Wurzelfunktion umkehrbar werden.

f: \mathbb{R}_0^+ \rightarrow \mathbb{R}_0^+  mit f(x)=x^2

f^{-1}: \mathbb{R}_0^+ \rightarrow \mathbb{R}_0^+ mit f^{-1}(x)=\sqrt{x}

Um die Umkehrfunktion zu berechnen, gehst du folgendermaßen vor:

  • Schritt 1: Löse die Funktion f(x)=y nach x auf
  • Schritt 2: Vertausche die beiden Variablen x und y

Wenn du beispielsweise die Umkehrfunktion von f(x)=2\sqrt{x+8} berechnen willst, dann löst du diese Gleichung nach x auf:

y=2\sqrt{x+8}                 \bigg| \div 2

\frac{y}{2} = \sqrt{x+8}                  \bigg| ^2

\left(\frac{y}{2}\right)^2 = x+8                        \bigg| -8

\left(\frac{y}{2}\right)^2-8= x

Jetzt vertauschen wir x und y und erhalten f^{-1}(x)=\frac{1}{4}x^2-8 .

Graphisch kannst du eine Umkehrfunktion stets als Spiegelung an der Winkelhalbierenden interpretieren. 

Funktion, Umkehrfunktion,
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Funktionen und ihre Umkehrfunktionen

Verkettete Funktionen

Zuletzt noch ein paar Informationen zu den verketteten Funktionen. Hier handelt es sich um Verknüpfungen einzelner Funktionen, die du sozusagen nacheinander anwenden musst. Hat eine verkettete Funktion die Form f(g(x)), so berechnest du zuerst g(x) und setzt das Ergebnis davon in f(x) ein. In den meisten Fällen wird dir bei der Berechnung gar nicht auffallen, dass du es mit verketteten Funktionen zu tun hast, lediglich beim Ableiten von verketteten Funktionen und bei der Integralrechnung gelten hier besondere Regeln. 

 


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