Analysis

Cosinus

In diesem Beitrag erklären wir dir das Wichtigste zum Cosinus (auch Kosinus). Du erfährst unter anderem, wie er am rechtwinkligen Dreieck und am Einheitskreis definiert ist.

Du möchtest den Cosinus in kürzester Zeit verstehen? Dann schau dir direkt unser Video %verlinken dazu an!

Inhaltsübersicht

Cosinus einfach erklärt

Mit dem Cosinus kannst du fehlende Winkel oder Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck bestimmen. Dabei ist der Cosinus das Verhältnis zweier Seiten: der Ankathete und Hypotenuse des Dreiecks. 

Mit einem geometrischen Trick kannst du die Definition auf den Einheitskreis erweitern. Hier gibt der Cosinus die x-Koordinate eines Punktes auf dem Einheitskreis an. Dadurch kannst du eine periodische Funktion konstruieren, die Cosinusfunktion.

Cosinus am rechtwinkligen Dreieck

Wir beginnen mit einem rechtwinkligen Dreieck. In diesem soll ein Winkel, der nicht 90° ist, mit \alpha bezeichnet werden. Die Seite, die an den Winkel \alpha angrenzt, heißt Ankathete. Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, heißt Hypotenuse und die letzte Seite, die dem Winkel \alpha gegenüberliegt, wird als Gegenkathete bezeichnet.

Für ein solches Dreieck wird das Verhältnis von Ankathete zu Hypotenuse, also

\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}

als Cosinus bezeichnet.

Cosinus Formel

Bezeichnen wir die Ankathete mit b und die Hypotenuse mit c, dann ist der Cosinus des Winkels \alpha definiert als

\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{b}{c}.

Cosinus am rechtwinkligen Dreieck
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Cosinus am rechtwinkligen Dreieck.

Hinweis: Vielleicht fragst du dich, wie das in einem Dreieck aussieht, wo kein rechter Winkel vorhanden ist. In einem solchen Fall kann der sogenannte Cosinussatz weiterhelfen. Mehr dazu erfährst du in unserem extra Video!

Cosinus am Einheitskreis

Solange der Winkel \alpha zwischen 0° und  90° liegt, macht die Definition des Cosinus am rechtwinkligen Dreieck Sinn. Was aber ist zum Beispiel der Cosinus von 180°, also \cos(180^{\circ})? Um das beantworten zu können, müssen wir die Definition erweitern.

Definition am Einheitskreis

Betrachten wir einen Einheitskreis, dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt. Per Definition liegen diejenigen Punkte auf dem Einheitskreis, die zum Ursprung genau den Abstand 1 besitzen. Auf diesem Einheitskreis wählen wir einen beliebigen Punkt und bezeichnen ihn mit P. Dieser besitze die Koordinaten x und y

Von diesem Punkt können wir die x-Koordinate folgendermaßen bestimmen: Wir zeichnen ein rechtwinkliges Dreieck, sodass der Punkt P eine Ecke des Dreiecks und der Abstand zum Ursprung die Hypotenuse wird. Die Länge der Hypotenuse kennen wir. Sie beträgt genau 1, da alle Punkte auf dem Kreis per Definition den Abstand 1 zum Ursprung haben. Bilden wir das Verhältnis zwischen Ankathete und Hypotenuse, so erhalten wir

\cos(\alpha) = \frac{x}{1} = x.

Das heißt, dass der Cosinus gerade die x-Koordinate des Punktes ist. Und dies gilt für alle Werte von \alpha. Zum Beispiel ist der Cosinus des Winkels 180° gerade -1, da der Punkt P dann bei (-1,0) liegt und somit die x-Koordinate -1 besitzt.

Cosinus am Einheitskreis
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Cosinus am Einheitskreis.

Darstellung in einem Koordinatensystem

Die Definition am Einheitskreis ist nicht nur eine Erweiterung der Definition am rechtwinkligen Dreieck für alle Winkel, sondern erlaubt auch die Konstruktion einer Kurve, die dir den Verlauf des Cosinus in Abhängigkeit des Winkels \alpha angibt. Diese Kurve heißt Cosinuskurve und ist das Bild der sogenannten Cosinusfunktion .

Für diese Konstruktion lassen wir den Winkel \alpha einmal alle Werte von 0° bis 360° annehmen und notieren uns für jeden Wert des Winkels die dazugehörige x-Koordinate des Punktes P. Bildlich lassen wir den Punkt P einmal um den Kreis laufen. Gleichzeitig schreiben wir uns alle x-Koordinaten auf, die der Punkt während dieses Durchlaufs annimmt.

Die x-Koordinaten wiederholen sich nach einer ganzen Umdrehung. Wir können also erwarten, dass die Kurve des Kosinus im Koordinatensystem das wiederspiegeln wird. Weiterhin kann die x-Koordinate nie größer als 1 beziehungsweise kleiner als -1 werden, da der Punkt auf dem Einheitskreis „gefangen“ ist. Entsprechend erwarten wir, dass auch die Kurve des Kosinus keine größeren Werte als 1 annimmt (beziehungsweise keine kleineren Werte als -1 für die Punkte links von der y-Achse). Das folgende Bild soll die geometrische Konstruktion der Kurve zeigen.

Konstruktion der Kurve des Cosinus, Cosinuskurve
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Konstruktion der Kurve des Cosinus als Funktion des Winkels.

Es ist insbesondere dieses periodische Verhalten der Funktion, die diese zu einem wichtigen Werkzeug bei der Beschreibung von Wellenphänomenen in der Physik macht. So werden beispielsweise der Cosinus und Sinus gemeinsam zur Beschreibung von Licht verwendet.

Cosinus berechnen

Mit der Definition am Einheitskreis kannst du bestimmte Werte direkt ablesen. Zum Beispiel ist der Cosinus von 90°, also \cos(90^{\circ}), genau 0, da  der Punkt P dann bei (0|1) liegt und damit die x-Koordinate gerade 0 ist. Die folgende Tabelle fasst die wichtigen Werte des Cosinus zusammen.

\alpha 30° 45° 60° 90° 120° 150° 180°
\cos(\alpha) 1 \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2} 0 \frac{-1}{2} \frac{-\sqrt{3}}{2} -1
\alpha 210° 240° 270° 300° 330° 360°
\cos(\alpha) \frac{-\sqrt{3}}{2} \frac{-1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} 1

Eine andere Möglichkeit Winkel anzugeben, ist das Bogenmaß. Die Umrechnung basiert auf folgender Beziehung

1 \pi = 180°.

Wenn du beispielsweise wissen möchtest, wie ein Winkel von x° in Bogenmaß lautet, dann rechnest du

x=\frac{x^{\circ}}{180^{\circ}} \cdot \pi.

Auf deinem Taschenrechner findest du das Winkelmaß unter der Abkürzung „rad“ für englisch „radian“. 

Die Cosinus Tabelle von vorhin sieht dann im Bogenmaß folgendermaßen aus.

\alpha 0 \frac{\pi}{6} \frac{\pi}{4} \frac{\pi}{3} \frac{\pi}{2} \frac{2\pi}{3} \frac{5\pi}{6} \pi
\cos(\alpha) 1 \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2} 0 \frac{-1}{2} \frac{-\sqrt{3}}{2} -1
\alpha  \frac{7\pi}{6} \frac{4\pi}{3} \frac{3\pi}{2} \frac{5\pi}{3} \frac{11\pi}{6} 2\pi
\cos(\alpha) \frac{-\sqrt{3}}{2} \frac{-1}{2} 0 \frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} 1

Wichtige Begriffe der Trigonometrie

Neben dem Cosinus gibt es noch weitere Funktionen und wichtige Begriffe in der Trigonometrie, welche du kennen solltest

In den extra Beiträgen erfährst du mehr dazu!

Cosinus Aufgaben

In diesem Abschnitt rechnen wir gemeinsam zwei Aufgaben zum Cosinus.

Aufgabe 1: Zwei Seiten gegeben

Das folgende rechtwinklige Dreieck ist gegeben.

Cosinus Aufgabe
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Rechtwinkliges Dreieck für Aufgabe 1.

(a) Bestimme die fehlende Seite c.

(b) Bestimme die fehlenden Winkel \alpha und \beta.

Lösung Aufgabe 1

(a) Nach dem Satz des Pythagoras gilt

a^2 + b^2 = c^2.

Setzen wir in diese Gleichung die gegebenen Werte für die Seiten a und b ein, so erhalten wir

c^2 = (5)^2 +(7)^2 = 74

und nach ziehen der Wurzel

c = 8,6.

(b) Es gilt

\cos(\alpha) = \frac{b}{c} = \frac{7}{8,6}.

Wenden wir auf beiden Seiten die Umkehrfunktion an, so erhalten wir

\alpha = \cos^{-1}(\frac{7}{8,6}) = 35,52°.

In einem Dreieck ist die Summe aller Winkel gleich 180°. Demnach ergibt sich der fehlende Winkel \beta zu

\beta = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 35,52^{\circ}) = 54,48^{\circ}.

Aufgabe 2: Ein Winkel und die anliegende Seite gegeben

Das folgende rechtwinklige Dreieck ist gegeben.

Cosinus Aufgabe
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Rechtwinkliges Dreieck für Aufgabe 2.

(a) Bestimme den fehlenden Winkel \beta.

(b) Bestimme die fehlenden Seiten a und c.

Lösung Aufgabe 2

(a) In einem Dreieck ist die Summe aller Winkel gleich 180°. Demnach berechnet sich der fehlende Winkel \beta zu

\beta = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 60^{\circ}) = 30^{\circ}.

(b) Es gilt

\cos(\alpha) = \frac{b}{c}.

Stellen wir diese Gleichung auf c um, so erhalten wir

c = \frac{b}{\cos(\alpha)} = \frac{9}{\cos(60^{\circ}} )= 18.

Nach dem Satz des Pythagoras gilt

a^2 + b^2 = c^2.

Umgestellt auf a^2 erhalten wir

a^2 = c^2 - b^2

und nach Einsetzen der Werte für b und c

a^2 = (18)^2 - (9)^2 = 243.

Durch Wurzelziehen erhalten wir schließlich

a = 15,59.


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