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Tangens

In diesem Beitrag zeigen wir dir die Definition des Tangens am rechtwinkligen Dreieck und am Einheitskreis. Am Ende findest du auch Aufgaben mit Lösungen.

Mit einem Klick auf unser Video%verlinken zum Tangens, kannst du das Wichtigste dazu in kurzer Zeit erfahren.

Inhaltsübersicht

Tangens einfach erklärt

In einem rechtwinkligen Dreieck kann dir der Tangens dabei helfen, fehlende Seiten oder Winkel zu bestimmen. Der Tangens eines Winkels x, geschrieben tan(x), ist eine Zahl: Das Verhältnis zwischen Gegenkathete und Ankathete des Dreiecks. Durch eine Rechnung kannst du nachweisen, dass der Tangens gleich dem Quotienten aus Sinus und Cosinus entspricht, also

\tan(x) =\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}= \frac{\sin(x)}{\cos(x)}.

Mit einem geometrischen Trick kannst du die Definition auf den Einheitskreis erweitern. Dadurch kannst du eine periodische Funktion konstruieren, die Tangensfunktion.

Tangens am rechtwinkligen Dreieck

Wir beginnen mit der Definition des Tangens am rechtwinkligen Dreieck. Dazu bezeichnen wir einen der Winkel, der nicht 90° ist, mit \alpha. Die Seite, die diesem Winkel gegenüberliegt, heißt Gegenkathete und die Seite, die an diesem Winkel angrenzt, Ankathete. Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, wird als Hypotenuse bezeichnet.

Für ein solches Dreieck wird das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete, also

\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}

als Tangens bezeichnet.

Tangens Formel

Bezeichnen wir die Gegenkathete mit a und die Ankathete mit b, dann ist der Tangens des Winkels \alpha definiert als

\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{a}{b}.

Tangens am rechtwinkligen Dreieck
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Tangens am rechtwinkligen Dreieck.

Verwenden wir die Beziehungen 

\cos(\alpha) = \frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{b}{c} und

\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{a}{c},

dann erkennen wir, dass

\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}}{\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}} = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}

gilt. Wir können daher folgendes festhalten:

Merke

Der Tangens eines Winkels ist gerade der Quotient aus Sinus und Cosinus desselben Winkels.

Hinweis: Vielleicht fragst du dich, wie das in einem Dreieck aussieht, wo kein rechter Winkel vorhanden ist. In einem solchen Fall können dir der Sinussatz oder Cosinussatz weiterhelfen.

Tangens am Einheitskreis

Die Definition am rechtwinkligen Dreieck ist auf die Winkel von 0° bis 90° beschränkt. Der Tangens von 90° ist zudem nicht definiert, da Cosinus von 90° gleich Null ist, also \cos(90^{\circ}) = 0. Bei diesem Winkel würdest du daher durch Null teilen. Dennoch macht die Frage Sinn, welche Werte der Tangens für größere Winkel als 90° annimmt, bei welchen der Cosinus nicht gerade Null wird. Um diese Frage zu beantworten, müssen wir die Definition erweitern.

Definition am Einheitskreis

Der Einheitskreis, mit dem Ursprung als Mittelpunkt, ist definiert als all diejenigen Punkte, die zum Ursprung genau den Abstand 1 besitzen. Auf diesem Einheitskreis wählen wir einen beliebigen Punkt und bezeichnen ihn mit P. Dieser besitze die Koordinaten x und y

In diesem Einheitskreis zeichnen wir ein rechtwinkliges Dreieck folgendermaßen ein: Der Punkt P wird zu einer Ecke und der Abstand zum Ursprung die Hypotenuse des Dreiecks. Der Winkel, den die Hypotenuse mit der x-Achse einspannt, soll \alpha heißen. Wir skalieren nun dieses Dreieck solange, bis die Ankathete zu diesem Winkel gleich 1 ist (die Winkel im Dreieck bleiben unverändert). Der Punkt P mit den Koordinaten (x, y) wird dabei zum Punkt P' mit den Koordinaten (x', y'). Bilden wir für dieses skalierte Dreieck das Verhältnis zwischen Gegenkathete und Ankathete, so erhalten wir

\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{y'}{1} = y'.

Das heißt, dass der Tangens gerade die y-Koordinate des Punktes P' ist. Beachte, wie die Gegenkathete beim skalierten Dreieck gerade tangential zum Einheitskreis ist. Daher kommt auch die Bezeichnung Tangens. Das folgende Bild illustriert die beschriebene Konstruktion, wobei das skalierte Dreieck nicht schraffiert dargestellt ist.

Tangens am Einheitskreis
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Tangens am Einheitskreis.

Hinweis: Das Vorzeichen von \tan(\alpha) ist positiv, wenn die Koordinaten x' und y' des Punktes P' entweder beide positiv oder beide negativ sind. Ansonsten ist \tan(\alpha) negativ. Das heißt, im ersten und dritten Quadranten besitzt der Tangens positive Werte, im zweiten und vierten Quadranten hingegen negative Werte.

Darstellung in einem Koordinatensystem

Um den Verlauf der Werte des Tangens in Abhängigkeit des Winkels \alpha zu konstruieren, lassen wir den Punkt P einmal um den Kreis herumwandern. Der Winkel \alpha nimmt dabei die Werte von 0° bis 360° an. Für jeden Punkt skalieren wir das Dreieck wie wir es vorhin beschrieben haben und notieren uns die y-Koordinate des Punktes P' mit dem richtigen Vorzeichen.

Dadurch erhalten wir eine Kurve, die sich Tangenskurve nennt. Die Tangenskurve ist das Bild der sogenannten Tangensfunktion . Das Vorzeichen des Tangens ist folgendermaßen gegeben

  • \alpha liegt im Intervall [0°, 90°) (erster Quadrant): \tan(\alpha) positiv,
  • \alpha liegt im Intervall (90°, 180°) (zweiter Quadrant): \tan(\alpha) negativ,
  • \alpha liegt im Intervall [180°, 270°) (dritter Quadrant): \tan(\alpha) positiv und
  • \alpha liegt im Intervall (270°, 360°] (vierter Quadrant): \tan(\alpha) negativ.

Wir erwarten daher, dass auch die Werte der Tangensfunktion diese Vorzeichen besitzen. Weiterhin beginnt der Tangens bei \alpha = 0^{\circ} mit Null und wird beliebig groß, je weiter sich \alpha dem Winkel 90° nähert. Im zweiten Quadranten beginnt der Tangens mit beliebig negativen Werten und wird schließlich Null, wenn \alpha = 180^{\circ}. Im dritten und vierten Quadranten wiederholt sich diese Beobachtung. Auch dieses Verhalten soll die Tangenskurve wiederspiegeln. Das folgende Bild zeigt die besprochene Konstruktion der Kurve.

Konstruktion Tangenskurve, Tangenskurve, Kurve des Tangens
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Konstruktion der Kurve des Tangens als Funktion des Winkels.

Tangens berechnen

Es ist nicht leicht die Werte des Tangens am Einheitskreis abzulesen. Daher fasst die folgende Tangens Tabelle ein paar wichtige Werte zusammen.

\alpha 30° 45° 60° 90° 120° 150° 180°
\tan(\alpha) 0 \frac{\sqrt{3}}{3} 1 \sqrt{3} n. d. -\sqrt{3} \frac{-\sqrt{3}}{3} 0

Die Tabelle stellt nur die Werte bis 180° dar. Das liegt daran, dass sich die Werte für die Winkel von 180-360° wiederholen. Die Bezeichnung „n. d.“ ist die Abkürzung für „nicht definiert“, da sich für diesen Winkel die Tangenskurve einer senkrechten Asymptote nähert. Weiterhin solltest du darauf achten, dass dein Taschenrechner auf „deg“ für „Degree“ eingestellt ist, wenn du die Werte nachrechnen möchtest.

Eine andere Möglichkeit Winkel anzugeben, ist das Bogenmaß. Die Umrechnung basiert auf folgender Beziehung

1 \pi = 180°.

Wenn du beispielsweise wissen möchtest, wie ein Winkel von x° in Bogenmaß lautet, dann rechnest

x= \frac{x^{\circ}}{180^{\circ}} \cdot \pi.

Auf deinem Taschenrechner findest du das Winkelmaß unter der Abkürzung „rad“ für englisch „radian“. 

Die Tangens Tabelle von vorhin sieht dann im Bogenmaß folgendermaßen aus.

\alpha 0 \frac{\pi}{6} \frac{\pi}{4} \frac{\pi}{3} \frac{\pi}{2} \frac{2\pi}{3} \frac{5\pi}{6} \pi
\tan(\alpha) 0 \frac{\sqrt{3}}{3} 1 \sqrt{3} n. d. -\sqrt{3} \frac{-\sqrt{3}}{3} 0

Wichtige Begriffe der Trigonometrie

Neben dem Sinus gibt es noch weitere Funktionen und wichtige Begriffe in der Trigonometrie, welche du kennen solltest

In den extra Beiträgen erfährst du mehr dazu!

Tangens Aufgaben

In diesem Abschnitt rechnen wir gemeinsam zwei Aufgaben zum Tangens aus.

Aufgabe 1: Zwei Seiten gegeben

Das folgende rechtwinklige Dreieck ist gegeben.

Tangens Aufgabe
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Rechtwinkliges Dreieck für Aufgabe 1.

(a) Bestimme die fehlende Seite c.

(b) Bestimme die fehlenden Winkel \alpha und \beta.

Lösung Aufgabe 1

(a) Nach dem Satz des Pythagoras gilt

a^2 + b^2 = c^2.

Setzen wir in diese Gleichung die gegebenen Werte für die Seiten a und b ein, so erhalten wir

c^2 = (8)^2 +(4)^2 = 80

und nach ziehen der Wurzel

c = 8,94.

(b) Es gilt

\tan(\alpha) = \frac{a}{b} = \frac{8}{4}.

Wenden wir auf beiden Seiten die Umkehrfunktion an, so erhalten wir

\alpha = \tan^{-1}(\frac{8}{4}) = 63,43°.

In einem Dreieck ist die Summe aller Winkel gleich 180°. Demnach ergibt sich der fehlende Winkel \beta zu

\beta = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 63,43^{\circ}) = 26,57^{\circ}.

Aufgabe 2: Ein Winkel und die gegenüberliegende Seite gegeben

Das folgende rechtwinklige Dreieck ist gegeben.

Tangens Aufgabe
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Rechtwinkliges Dreieck für Aufgabe 2.

(a) Bestimme den fehlenden Winkel \beta.

(b) Bestimme die fehlenden Seiten b und c.

Lösung Aufgabe 2

(a) In einem Dreieck ist die Summe aller Winkel gleich 180°. Demnach berechnet sich der fehlende Winkel \beta zu

\beta = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 30^{\circ}) = 60^{\circ}.

(b) Es gilt

\tan(\alpha) = \frac{a}{b}.

Stellen wir diese Gleichung auf b um, so erhalten wir

b = \frac{a}{\tan(\alpha)} = \frac{3}{\cos(30^{\circ})} = 3 \sqrt{3}.

Nach dem Satz des Pythagoras gilt

a^2 + b^2 = c^2.

Einsetzen der Werte für a und b ergibt

c^2 = (3)^2 + (3 \sqrt{3})^2 =36

und nach ziehen der Wurzel

c = 6.

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