Mathematische Grundlagen

Faktorisieren

Beim Faktorisieren wandelst du eine Summe oder Differenz in ein Produkt um. Hier erfährst du, was du dabei tun musst. %Im Video zeigen wir dir, wie du dabei vorgehen musst.

Inhaltsübersicht

Faktorisieren einfach erklärt

Musst du in Mathe Terme faktorisieren, dann wandelst du eine Summen ( + ) oder eine Differenzen ( – ) in ein Produkt ( ⋅ ) um.  Damit kannst du dann zum Beispiel Nullstellen einfacher finden oder Brüche leichter kürzen.

Du kannst drei Techniken einsetzen, wenn du ein Polynom faktorisieren möchtest: Durch Ausklammern, durch Umformen des Terms in eine binomische Formel und durch eine Linearfaktorzerlegung .

Techniken beim Faktorisieren
  • Ausklammern: x2 + 9x = x( x + 9)
  • Umformen in eine binomische Formel: x2 + 6x + 9 = (x + 3)2
  • Linearfaktorzerlegung: x2 – 2x – 8 = (x + 2)(x – 4)

Wir erklären dir nun alle drei Techniken und geben dir Aufgaben mit Lösungen zum Üben.

Faktorisieren durch Ausklammern

Beim Ausklammern suchst du nach einem Element – also einer Zahl, einem Buchstaben oder einem Term – das in jedem Glied des Terms vorkommt. Das Element kannst du dann wegen des Distributivgesetzes %Verweis vor die Klammer ziehen (oder auch hinter die Klammer).

6a2 + 6b = (6a2 + 6b) = 6 ⋅ (a2 + b)

In beiden Gliedern 6a2 und 6b befindet sich die 6. Du kannst um beide Glieder also eine Klammer machen und die 6 vor die Klammer ziehen. 

Beispiele für Faktorisieren durch Ausklammern

Du kannst viele unterschiedliche Terme faktorisieren. In diesem Abschnitt siehst du, auf welche Terme du dabei treffen kannst und wo du auf spezielle Punkte achten musst.

Beispiel 1 – Ausklammern einer Zahl

13a2 + 1313 ⋅ (a2 + 1)

Achtung: Hier muss in der Klammer eine 1 als Platzhalter stehen, denn nur 13 1 ergibt 13.

Merke

Kannst du ein Summenglied komplett vor die Klammer ziehen, dann muss in der Klammer eine 1 als Platzhalter stehen bleiben.

Beispiel 2  – Ausklammern eines Teiles einer Zahl (Primfaktorzerlegung)

12x2 + 8y = 4 ⋅  3 ⋅  x + 4 ⋅  2 ⋅  y

4 ⋅  3x + 4 ⋅  2y = 4⋅ (3x2 + 2y

Bei diesem Beispiel musst du die Zahlen zuerst in Primfaktoren zerlegen. Nach der Primfaktorzerlegung erkennst du, dass in beiden Gliedern eine 4 steckt.

Beispiel 3 – Faktorisieren eines Buchstaben/einer Variable

13a + 7ab = a ⋅ (13 + 7b)

Eine Variable kannst du genauso vor die Klammer ziehen wie eine Zahl. Wo genau im Summenglied die Variable steht, ist egal.

Beispiel 4 – Faktorisieren von Zahlen und Variablen

13ac+ 13ab13a ⋅ (c + b)

Du kannst auch eine Kombination aus Variablen und Zahlen ausklammern. Wenn du dir unsicher bist, dann klammere einen Teil nach dem anderen aus.

Beispiel 5 – Faktorisieren von Potenzen

13a3 + 7a2 = 13 ⋅ a ⋅ a ⋅ a + 7 ⋅ a ⋅ a = 13 a2 ⋅  a + 7 a2

13 a2 ⋅  a + 7 a2 = a2 ⋅ (13a + 7) 

Bei Potenzen kannst du dein Wissen anwenden, dass an = am + an-m ist (also zum Beispiel a5 = a3 + a2 ).

Beispiel 6 – Teilweises Faktorisieren

2ax + 2ab3by – 3b = (2ax + 2ab) – (3by + 3b)

(2ax + 2ab) – (3by + 3b) = 2a(x + b) – 3b(y+ 1)

Hier teilst du den Term in zwei kleinere Terme auf und faktorisierst die beiden Teile jeweils einzeln.

Beispiel 7 – Mehrfaches Faktorisieren

2ax + 10a3bx – 15 b = 2a(x+5) – 3b(x+5)

In diesem Beispiel kannst du aus den ersten beiden Gliedern 2a ausklammern und aus den beiden anderen Gliedern 3b. Für beide Faktorisierungen musst du wieder die Primfaktorzerlegung anwenden.

2a(x+5) – 3b(x+5) = (2a – 3b)⋅ (x+ 5)

Im zweiten Schritt kannst du jetzt das Element (x + 5) in den beiden Termen 2a(x+5) und 3b(x+5) finden und ebenfalls ausklammern.

Faktorisieren und binomische Formeln

Binomische Formeln benutzt du oft, um Klammern aufzulösen. Du kannst sie aber auch rückwärts anwenden und damit Klammern erzeugen, also binomische Formeln faktorisieren. Dabei gehst du immer auf dieselbe Weise vor:

Faktorisieren durch binomische Formeln
  1. Basis für a2 und b2 berechnen
  2. Prüfen, ob 2ab vorhanden ist
  3. Binomische Formel aufstellen

Beispiel 1 – Erste binomische Formel

x2 + 8 x + 16

Schritt 0: Die erste binomische Formel lautet (a + b)2 =  a2 + 2ab + b2

Schritt 1: Basis berechnen:

  • a2 = x ⇒ Die Basis von a ist bereits vorhanden: x (denn x⋅x = x2 )
  • b2 = 16 ⇒ Die Basis von b ist ebenfalls vorhanden: 4 (denn 16 = 4⋅4 = 42

Schritt 2: Mit den Basen a = x und b = 4 muss als 2ab der Term 2 ⋅ x ⋅ 4 = 8x vorhanden sein. Das ist der Fall. 

Schritt 3: Mit a = x und b = 4 erhältst du

x2 + 8 x + 16 = (x + 4)2

Beispiel 2 – Zweite Binomische Formel

x2 6 x + 9

Schritt 0: Die zweite binomische Formel lautet (a b)2 =  a2 2ab + b2

Schritt 1: Die Basis von a ist gleich x (denn x⋅x = x2 ) und die Basis von b ist gleich 3 ( denn 9 = 3⋅3)

Schritt 2: 2ab ist vorhanden mit 6x (=2⋅3⋅x)

Schritt 3: Binomische Formel aufstellen

x2 6 x + 9 = (x 3)2

Beispiel 3 – Dritte binomische Formel

x2   25

Schritt 0: Die zweite binomische Formel lautet (a + b)(a-b) =  a2 – b2

Schritt 1: Die Basis von a ist gleich x und die Basis von b ist gleich 5 (denn 25=5⋅5)

Schritt 2: Entfällt bei der dritten binomischen Formel, weil es hier kein 2ab gibt.

Schritt 3: Binomische Formel aufstellen

⇒  x2   25= (x + 5)(x 5)

Faktorisieren mit der Linearfaktorzerlegung

Auch mit der Linearfaktorzerlegung kannst du ein Polynom faktorisieren. Da das Verfahren jedoch etwas aufwendiger ist, haben wir ein eigenes Video für dich dazu erstellt.

Besonders nützlich ist das Verfahren, wenn du Brüche aus Polynomen vereinfachen möchtest. Dabei kannst du nämlich zuerst den Nenner faktorisieren, dann den Zähler und anschließend überprüfen, ob sich gleiche Faktoren im Zähler und Nenner finden.

In unserem eigenen Beitrag zeigen wir dir ausführlich wie du dabei vorgehen musst.

Faktorisieren Übungen

Hier siehst du einige Übungen mit denen du das Faktorisieren selbst üben kannst. Die Lösungen zu den Aufgaben findest du weiter unten. Du sollst bei jeder Übung das Polynom faktorisieren:

Übung 1   12x + 2y +10 = …

Übung 2   24x + 12xy + 6x = …

Übung 3   4x2 – 20xy + 25y2 = …

Übung 4   3x4 y3 + 13x6 y4 + 11x5 y2 z2 = …

Übung 5   9x2 – 25y2 = …

Ob du zu jeder Übung die richtige Faktorisierung gefunden hast, kannst du jetzt überprüfen.

Lösung 1

12x + 2y +10 = (2 · 6 · x + 2 · y + 2 · 5) =2(6x + y + 5)

(Zahl ausklammern)

Lösung 2

24x + 12xy + 6x = 4 · 6x + 2 · 6xy + 6x  = 6x(4+2y+1)

(Zahl und Variable faktorisieren)

Lösung 3

4x2 – 20xy + 25y2 = (2x)2 + 2 · 2x · 5y + (5y)2 = ( 2x5y)  

(Anwendung der zweiten binomischen Formel) 

Lösung 4

3x4 y3 + 13x6 y4 + 11x5 y2 z2 = 3x4 yy2 + 13x2 x4 y2 y2+ 11xx4 y2 z2 

3x4 yy2 + 13x2 x4 y2 y2+ 11xx4 y2 z2 = x4 y2 (3y +  13x2 y2 + 11xz2 )

(Exponenten faktorisieren)

Lösung 5

9x2 – 25y2 = (3x)2  (5y)2 = (3x + 5y)(3x 5y)

(Polynom faktorisieren durch Anwendung der dritten binomischen Formel)

 

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