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Wichtige Inhalte in diesem Video

Du willst wissen, was eine Steigung ist und wie du sie ganz leicht berechnen kannst? Dann bist du hier genau richtig! Wenn du lieber streamst anstatt lange Texte zu lesen, dann klick doch einfach auf unser Video  hier.

Was ist eine Steigung?

Bevor du dir anschaust, wie du die Steigung berechnen kannst, solltest du dir bewusst machen, was sie überhaupt ist. Steigungen und Gefälle begegnen dir nämlich überall im Alltag.

Bei einer Steigung handelt es sich um einen positiven Anstieg — hier geht es also nach oben. Zum Beispiel wird im Straßenverkehr auf Schildern angegeben, wie groß die Steigung eines Berges in Prozent ist.

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Steigung im Straßenverkehr

Bei einer negativen Neigung sprichst du von einem Gefälle. Das kannst du zum Beispiel bei Rutschen sehen.

Grundsätzlich beschreibst du also Höhenunterschiede zwischen zwei Stellen. Das brauchst du auch in Mathe.

Steigung bei Geraden

In der Mathematik kannst du mithilfe der Steigung die Steilheit von Geraden beschreiben

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Was ist eine Steigung?

Wichtig: in der Mathematik unterscheidest du meistens nicht zwischen Steigung und Gefälle! Ein Gefälle beschreibst du durch eine negative Steigung.

Mathematisch kannst du die Geraden durch eine Geradengleichung darstellen.

Allgemeine Geradengleichung

f(x) = mx+t

  • wobei m die Steigung der Gerade ist
  • und t der y-Achsenabschnitt

Wenn du deine Funktionsgleichung schon in der Form f(x) = mx+t gegeben hast, ist es ganz einfach, die Steigung abzulesen! Sie ist immer gleich m.

Bei der Funktion f(x) = 3x-1 ist sie also gleich 3

Steigung ablesen

Aber was, wenn m nicht gegeben ist, und du die Steigung aus einem Graphen ablesen musst? Dann musst du ein Steigungsdreieck einzeichnen!

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Steigungsdreieck einzeichnen

Dazu suchst du dir zuerst zwei Punkte auf der Gerade aus, die du geschickt ablesen kannst. Hier sind das zum Beispiel P(1|2) und Q(2|5).

Jetzt musst du von deinem ersten Punkt so viele Einheiten waagrecht nach rechts, bis du einen geraden Strich zu deinem zweiten Punkt nach oben zeichnen kannst.

Hier musst du von P(1|2) nur um 1 Kästchen nach rechts. Wenn du dann einen geraden Strich um 3 Einheiten nach oben zeichnest, landest du bei dem Punkt Q(2|5).

Zuletzt musst du die Anzahl an Kästchen, die du nach oben gegangen bist durch die Anzahl der Kästchen, die du nach rechts gegangen bist, teilen. Hier rechnest du also:

    \[m = \frac{\textcolor{orange}{3}}{\textcolor{teal}{1}} = 3\]

 

Manchmal musst du aber auch mehr als 1 Einheit nach rechts gehen, wie hier:

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Steigungsdreieck einzeichnen

Hier musst du für das Steigungsdreieck 3 Einheiten nach rechts und 1 Einheit nach oben gehen, um von dem ersten Punkt auf einem Kästchen zum nächsten zu gelangen. Deshalb rechnest du:

    \[\textcolor{teal}{m} = \frac{\textcolor{orange}{1}}{\textcolor{olive}{3}}\]

Gar nicht so schwer, oder?

Steigung berechnen einfach erklärt

Manchmal sollst du m aber nicht am Graphen ablesen, sondern mit einer Formel berechnen

Du hast die Punkte P(3|3) und Q(6|5) gegeben und sollst m rechnerisch bestimmen.

Dazu gehst du in 3 Schritten vor:  
  1. Berechne y2y1. Hier sind das 53, also 2.
  2. Berechne x2x1. Hier sind das 63, also 3.
  3. Teile (y2y1) durch (x2x1). Du erhältst also m = \frac{2}{3}

Wenn du die Steigung graphisch über das Steigungsdreieck bestimmst, kommst du übrigens zu dem gleichen Ergebnis! Denn du gehst erst 3 nach rechts und dann 2 nach oben, um vom einen Punkt zum anderen zu kommen.

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Steigung berechnen anhand von 2 Punkten
 Merke

Die Steigung m kannst du mithilfe des Differenzenquotienten aus zwei verschiedenen Punkten P(x1|y1) und Q(x2|y2) auf der Geraden berechnen.

m = Δy/Δx = (y2y1) / (x2x1)

 

Bedeutung der Steigung

Unterschiedliche Steigungen führen zu unterschiedlichen Geraden. Den Einfluss der Größe von m kannst du am besten auf diesem Bild sehen:

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unterschiedlich steile Geraden

Du siehst: Die Gerade mit dem größten m — hier f(x) = 2x — ist am steilsten.

Bedeutung von m

Je größer m, desto steiler die Gerade. Hat m ein negatives Vorzeichen, ist sie dabei nach unten geneigt.

Parallele und senkrechte Geraden

Parallele Geraden haben immer die gleiche Steigung. Das ist auch der Grund dafür, dass sie sich nie schneiden. 

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parallele Geraden

Senkrechte Geraden schneiden sich in einem 90º-Winkel. Für die Geraden gilt dann

    \[f(x) = \textcolor{teal}{m} \cdot x +t_1\]

    \[g(x) = \textcolor{teal}{-\frac{1}{m}} \cdot x + t_2\]

Hat die Funktion f(x) also die Steigung 2, muss die Funktion g(x) ein Gefälle von -\frac{1}{2} = -0.5 haben, um senkrecht zu f(x) zu sein.

Das kannst du auch auf diesem Bild leicht erkennen:

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senkrechte Geraden

Übrigens: Wie du den Schnittpunkt der Geraden berechnen kannst, zeigen wir dir hier.

Steigung in Prozent berechnen

Erinnerst du dich noch an das Verkehrsschild?

Es hat auf einen Anstieg von 10% hingewiesen. Das bedeutet, dass pro 100 m waagrechter Strecke die Höhe um 10 m zunimmt.

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Anstieg in Prozent

Um den Anstieg oder das Gefälle in Prozent zu berechnen, gehst du also vor wie bisher und teilst den Höhenunterschied durch die waagrechte Strecke. Anschließend musst du deinen Bruch nur noch in Prozent umrechnen .

    \[\frac{\text{Höhenunterschied}}{\text{waagrechte Strecke}} = \frac{10}{100} = 10\%\]

Manchmal hast du aber auch in einer Textaufgabe das Gefälle in Prozent gegeben und sollst daraus m bestimmen.

Wenn dabei von Gefälle gesprochen wird, ist die Steigung negativ. Steht auf einem Verkehrsschild also, dass ein Abhang ein Gefälle von 20% aufweist, dann ist m = -0.2.

Übrigens: Warnt dein Verkehrsschild vor einer Steigung mit 100%, so hat die Strecke die Steigung m = 1.  Die Strecke verläuft also nicht senkrecht, sondern in einem 45º-Winkel.

Steigungswinkel

Der Steigungswinkel α  gibt an, in welchem Winkel eine Gerade zur x-Achse steht.

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Steigungswinkel

Bei einer Geradengleichung der Form f(x) = mx+b gilt:

m = tan(α)

α = tan-1(m)

Eine ausführlichere Erklärung mit vielen Beispielen zum Steigungswinkel findest du hier .

Geradengleichung

Super, jetzt weißt du wie du die Steigung einer Gerade mithilfe ihres Steigungsdreiecks ganz leicht berechnen kannst! Außerdem hast du gesehen, dass die Steigung ein Teil ihrer Geradengleichung ist. Du willst wissen, was du sonst noch alles brauchst, um eine Geradengleichung aufzustellen? Dann schau dir doch einfach unser Video dazu an.

Geradengleichung, Steigung berechnen
zum Video: Geradengleichung

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