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Einheitskreis

In diesem Beitrag beschäftigen wir uns mit dem Einheitskreis. Wir zeigen dir, wie er definiert ist und wie du ihn verwenden kannst, um Winkelfunktionen zu veranschaulichen.

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Inhaltsübersicht

Einheitskreis einfach erklärt  

Der Begriff Einheitskreis enthält die zwei Bestandteile „Einheit“ und „Kreis“. Mit „Kreis“ wird seine geometrische Form gemeint, das heißt, es handelt sich um einen Kreis. Die Bezeichnung „Einheit“ bezieht sich auf folgende Beobachtung: Nimmst du irgendeinen Punkt entlang des Kreisrandes, dann wird dieser Punkt einen Abstand zum Mittelpunkt des Kreises von exakt 1 besitzen. Sehr oft ist der Mittelpunkt des Einheitskreises mit dem Ursprung eines Koordinatensystems identisch.

Mit Hilfe des Einheitskreises kannst du die Definition der Winkelfunktionen  Sinus, Cosinus und Tangens auf alle Winkel erweitern. Zusätzlich erlaubt er dir die charakteristischen Kurven dieser Winkelfunktionen zu konstruieren. 

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Einheitskreis in einem Koordinatensystem.

Definition Einheitskreis

Allgemein ist der Rand eines Kreises um den Ursprung mit Radius R definiert als die Sammlung aller Punkte P, die zum Ursprung den Abstand R besitzen. Wie bestimmst du den Abstand eines Punktes P mit den Koordinaten x und y zum Ursprung? Du verwendest dafür den Satz des Pythagoras. Wenn wir den Abstand des Punktes P zum Ursprung mit d(P) bezeichnen, dann gilt

d(P)^2 = x^2 + y^2

und da sich der Punkt auf dem Kreisrand befinden soll, gilt

d(P) = R.

Damit erhalten wir die Gleichung

x^2 + y^2 = R^2.

Jeder Punkt, der sich auf dem Kreisrand befindet, wird diese Gleichung erfüllen. Für den Einheitskreis ist R = 1. Somit können wir den Einheitskreis folgendermaßen definieren

Definition Einheitskreis

Der Einheitskreis um den Ursprung ist die Menge aller Punkte, die zum Ursprung den Abstand 1 besitzen, das heißt

Einheitskreis = \{ P \mid x^2 + y^2 = 1 \},

wobei x und y die Koordinaten des Punktes P sind.

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Einheitskreis: Illustration der Definition.

Einheitskreis Sinus und Cosinus  

In diesem Abschnitt zeigen wir dir, wie du mit Hilfe vom Einheitskreis den Sinus und Cosinus für alle Winkel definieren kannst.

Wir können die x– und y-Koordinate eines Punktes P auf dem Einheitskreis geometrisch folgendermaßen bestimmen: Wir zeichnen ein rechtwinkliges Dreieck, sodass der Punkt eine Ecke des Dreiecks und der Abstand zum Ursprung die Hypotenuse ist. Die Länge der Hypotenuse kennen wir. Sie beträgt genau 1, da alle Punkte auf dem Kreis per Definition den Abstand 1 zum Ursprung haben. Bilden wir das Verhältnis zwischen Gegenkathete und Hypotenuse, so erhalten wir

\sin(\alpha) =\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypothenuse}} =\frac{y}{1} = y

und für das Verhältnis Ankathete zu Hypotenuse

\cos(\alpha)  =\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypothenuse}}=\frac{x}{1} = x.

Das heißt, dass der Sinus gerade die y-Koordinate und der Cosinus die x-Koordinate des Punktes P ist. 

Definition von Sinus und Cosinus am Einheitskreis
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Definition von Sinus und Cosinus am Einheitskreis.

Beispiel

Nehmen wir an, dass der Winkel \alpha gleich 180° ist. Der dazugehörige Punkt P befindet sich dann an der Stelle (-1, 0). Damit erhalten wir 

\sin(180^{\circ}) = 0, da die y-Koordinate 0 ist und

\cos(180^{\circ}) = -1, da die x-Koordinate -1 ist.

Beispiel Sinus und Cosinus am Einheitskreis
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Beispiel Sinus und Cosinus am Einheitskreis.

Einheitskreis Tangens  

Der Tangens lässt sich auf ähnliche Weise auf alle Winkel erweitern. Für den Tangens müssen wir aber das Dreieck im Einheitskreis solange skalieren, bis die Ankathete zum Winkel \alpha gleich 1 ist (die Winkel im Dreieck bleiben unverändert). Der Punkt P mit den Koordinaten (x, y) wird dabei zum Punkt P' mit den Koordinaten (x', y'). Bilden wir für dieses skalierte Dreieck das Verhältnis zwischen Gegenkathete und Ankathete, so erhalten wir

\tan(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}} = \frac{y'}{1} = y'.

Das heißt, dass der Tangens gerade die y-Koordinate des Punktes P' ist. Beachte, wie die Gegenkathete beim skalierten Dreieck gerade tangential zum Einheitskreis ist. Daher kommt auch die Bezeichnung Tangens. Das folgende Bild illustriert die beschriebene Konstruktion, wobei das skalierte Dreieck nicht schraffiert dargestellt ist.

Tangens am Einheitskreis
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Definition vom Tangens am Einheitskreis.

Beispiel

Nehmen wir an, dass der Winkel \alpha gleich 45° ist. Der dazugehörige Punkt P' befindet sich dann an der Stelle (1, 1). Damit erhalten wir 

\tan(45^{\circ}) = 1, da die y-Koordinate 1 ist.

Beispiel Tangens am Einheitskreis
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Beispiel Tangens am Einheitskreis.

Einheitskreis und Trigonometrische Funktionen  

Mit dem Einheitskreis kannst du auch die charakteristischen Kurven der Winkelfunktion konstruieren. Diese Kurven sind die Bilder der sogenannten trigonometrischen Funktionen .

Um zu sehen, wie sich der Wert des Sinus und Cosinus als Funktion des Winkels \alpha verhält, lassen wir den Winkel \alpha einmal um den Einheitskreis laufen und notieren uns für jeden \alpha-Wert die x– und y-Koordinate des Punktes. Für den Sinus sieht die Konstruktion folgendermaßen aus.

Konstruktion der Sinuskurve am Einheitskreis
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Konstruktion der Sinuskurve.

Der Cosinus verhält sich ähnlich. Er beginnt aber nicht bei 0 wie der Sinus, sondern bei 1. Das veranschaulicht das folgende Bild.

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Konstruktion der Cosinuskurve

Tabelle wichtiger Werte

Für bestimmte Winkel sind die Werte des Sinus, Cosinus und Tangens einfache Ausdrücke. Die folgende Tabelle enthält ein paar dieser Winkel und die dazugehörigen Werte.

Winkel \alpha \sin(\alpha) \cos(\alpha) \tan(\alpha)
0 1 0
30° \frac{1}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{3}}{3}
45° \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} 1
60° \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{1}{2} \sqrt{3}
90° 1 0 n. d. 
180° 0 -1 0
270° -1 0 n. d. 

Die Bezeichnung „n. d.“ ist die Abkürzung für „nicht definiert“, da sich für diese Winkel die Tangenskurve einer senkrechten Asymptote nähert.

Gradmaß und Bogenmaß

Bei der Berechnung der Werte für die Winkelfunktionen musst du unbedingt darauf achten, ob die Winkel im Gradmaß oder im Bogenmaß angegeben sind. Im Fall der Tabelle von vorhin waren die Winkel alle im Gradmaß angegeben. Entsprechend musst du auch deinen Taschenrechner auf „DEG“ einstellen, wenn du die Werte nachrechnen möchtest.

Die Umrechnung zwischen Gradmaß und Bogenmaß basiert auf folgender Beziehung

1 \pi = 180°.

Wenn du beispielsweise wissen möchtest, wie ein Winkel von x° in Bogenmaß lautet, dann rechnest du

x_{\mathsf{RAD}} =\frac{x_{\mathsf{DEG}}}{180^{\circ}} \cdot \pi.

Auf deinem Taschenrechner findest du das Bogenmaß unter der Abkürzung „RAD“.

Beispiel: Gradmaß und Bogenmaß umrechnen

Nehmen wir an, dass du einen Winkel von 60° gegeben. Wie lautet dieser Winkel im Bogenmaß? Dazu rechnest du 

x_{\mathsf{RAD}} =\frac{x_{\mathsf{DEG}}}{180^{\circ}} \cdot \pi = \frac{60^{\circ}}{180^{\circ}} \cdot \pi = \frac{\pi}{3}.

Umgekehrt, wenn du einen Winkel von \frac{\pi}{4} im Bogenmaß gegeben hast und du den dazugehörigen Winkel in Gradmaß bestimmen möchtest, dann rechnest du

x_{\mathsf{DEG}} = \frac{180^{\circ}}{\pi} \cdot x_{\mathsf{RAD}} = \frac{180^{\circ}}{\pi} \cdot \frac{\pi}{4} = 45^{\circ}.

 

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