In diesem Beitrag beschäftigen wir uns mit dem Sinussatz und zeigen dir unter anderem verschiedene Aufgaben mit Lösungen.
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Sinussatz einfach erklärt
Mit Sicherheit hast du die ein oder andere Länge in einem rechtwinkligen Dreieck mit Hilfe des Satzes von Pythagoras schon einmal ausgerechnet. Wahrscheinlich hast du auch verschiedene Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck durch den Sinus, Kosinus oder Tangens schon einmal ausrechnen sollen.
Erkennst du hier eine Gemeinsamkeit? In beiden Fällen war die Rede von einem rechtwinkligen Dreieck. Du könntest dich jetzt (zu Recht) fragen, wie die Situation in einem allgemeinen Dreieck aussieht. Ein Teil der Antwort lautet Sinussatz. Der Sinussatz ermöglicht dir das Berechnen von fehlenden Seiten und Winkeln auch in einem Dreieck, in welchem es keinen rechten Winkel gibt.
Sinussatz Formel
In diesem Abschnitt zeigen wir dir, was der Sinussatz aussagt und illustrieren seine Anwendung an einem Beispiel.
Bezeichnen wir in einem Dreieck die Seiten mit den Buchstaben a, b und c und die gegenüberliegenden Winkel mit
,
und
, dann gilt
In Worten: Das Verhältnis zwischen den Seiten (a, b, c) eines Dreiecks und dem Sinus des Winkels, welcher der jeweiligen Seite gegenüberliegt, ist für ein gegebenes Dreieck konstant.
Beispiel
Die Aussage des Sinussatzes ist etwas abstrakt. Schauen wir uns daher ein konkretes Beispiel an, in welchem wir dir das Umstellen des Sinussatzes illustrieren. Nehmen wir an, dass folgende Information eines Dreiecks gegeben ist.
und
°
Wir möchten daraus die fehlende Seite , sowie die beiden Winkel
und
berechnen. Beachte, dass wir hier zur besseren Übersicht auf Einheiten verzichten. Es spielt für den Ablauf der Berechnung keine Rolle, welche Längeneinheit du nun verwenden möchtest. Entscheidend ist aber, dass jede Seite mit der gleichen Längeneinheit (zum Beispiel Zentimeter) versehen wird.
Wir kennen sowohl die Seite als auch den Winkel, der dieser Seite gegenüberliegt. Damit können wir das Verhältnis berechnen.
Der Sinussatz teilt uns mit, dass diese Zahl 5,23 auch für alle anderen Verhältnisse herauskommen wird. Insbesondere gilt dann für die Seite und dem gegenüberliegenden Winkel
oder umgestellt nach dem Winkel
.
Für den letzten Winkel nutzen wir die Tatsache aus, dass die Summe der Winkel in einem Dreieck gleich 180° ist. Es gilt also
oder umgestellt nach dem Winkel
.
Es fehlt nur noch die Seite . Unter Verwendung des Sinussatzes gilt wieder
und damit für die Seite
.
Beachte, dass wir hier auch das Verhältnis verwenden hätten können, um die Seite
zu berechnen. Nach dem Sinussatz sind alle Verhältnisse identisch.
Sinussatz Kosinussatz
Wir hatten am Anfang des Artikels erwähnt, dass der Sinussatz nur ein Teil der Antwort auf die Frage ist: „Wie sieht die Situation in einem allgemeinen Dreiecken aus?“. Der andere Teil der Antwort ist der Kosinussatz . Dieser wird manchmal als eine Erweiterung des Satzes von Pythagoras auf allgemeine Dreiecke angesehen.
Die Situation, in der wir uns also befinden, ist folgende: Es ist das Dreieck gegeben, in welchem es keinen rechten Winkel gibt. Angenommen die Seiten
und
, sowie der Winkel
, den die beiden Seiten einspannen, seien gegeben. Wie können wir daraus die fehlende dritte Seite
bestimmen? In einem rechtwinkligen Dreieck könntest du einfach die Gleichung
verwenden, unter der Annahme, dass die Hypotenuse des Dreiecks ist. Für ein allgemeines Dreieck gilt hingegen der Kosinussatz
.
Beachte die Ähnlichkeit zum Satz des Pythagoras. In der Tat erhältst du den Satz des Pythagoras, wenn ist, denn dann wird
. Weiterhin solltest du berücksichtigen, dass dir in dieser Situation der Sinussatz keine weiteren Informationen geben könnte, denn mit den vorhandenen Informationen hättest du keines der drei Verhältnisse ausrechnen können.
Sinussatz Aufgaben
Im Folgenden rechnen wir gemeinsam zwei Aufgaben. Beide beinhalten das Umstellen des Sinussatzes und die Berechnung unbekannter Winkel und Seiten.
Aufgabe 1: Sinussatz umstellen
In einem allgemeinen Dreieck sind folgende Größen bekannt
.
(a) Bestimme den fehlenden Winkel .
(b) Berechne die fehlenden Seiten und
.
(c) Zeichne das Dreieck mit den korrekten Zahlenwerten (Zeichnung muss nicht maßstabsgetreu sein).
Lösung Aufgabe 1
(a) In einem Dreieck gilt für die Summe der Winkel
°.
Damit ergibt sich der fehlende Winkel zu
°.
(b) Nach dem Sinussatz gilt
.
Demnach ergibt sich die Seite zu
.
Auf ähnliche Weise gilt für die Seite
.
(c) Das Dreieck mit den korrekten Zahlenwerten kann folgendermaßen aussehen. Beachte, dass die Form deines Dreiecks sich von dem hier gezeigten unterscheiden kann. Es kommt nicht auf die Form an, sondern auf die Angabe der Zahlenwerte an den richtigen Positionen.
Aufgabe 2: Sinussatz umstellen
In einem allgemeinen Dreieck sind folgende Größen bekannt
.
(a) Bestimme die fehlenden Winkel und
.
(b) Berechne die fehlende Seite .
(c) Zeichne das Dreieck mit den korrekten Zahlenwerten (Zeichnung muss nicht maßstabsgetreu sein).
Lösung Aufgabe 2
(a) Nach dem Sinussatz gilt
.
Demnach ergibt sich für den Winkel
.
Für den Winkel erhalten wir somit
°.
(b) Nach dem Sinussatz gilt
.
Die Seite ergibt sich somit zu
.
(c) Das Dreieck mit den korrekten Zahlenwerten kann folgendermaßen aussehen. Beachte, dass die Form deines Dreiecks sich von dem hier gezeigten unterscheiden kann. Es kommt nicht auf die Form an, sondern auf die Angabe der Zahlenwerte an den richtigen Positionen.
Sinussatz Herleitung
Du kennst jetzt den Sinussatz und kannst diesen auf gesuchte Größen umstellen. In diesem Abschnitt zeigen wir dir, wie du den Sinussatz herleiten kannst.
Hierzu betrachten wir folgendes Dreieck. Wir haben eine zur Seite senkrechte Linie eingezeichnet, die durch den Punkt
verläuft. Diese gestrichelt dargestellte Linie wird mit
bezeichnet und teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke
und
auf.
Im Teildreieck ADB gilt
und im Teildreieck DCB
.
Entscheidend für die Herleitung ist die Beobachtung, dass sowohl für als auch für
die gestrichelte Linie
die Gegenkathete ist. Dividieren wir nun die erste Gleichung durch die zweite Gleichung, erhalten wir
und nach Kürzen des gemeinsamen Faktors
.
Stellen wir diese letzte Gleichung noch etwas um, so bekommen wir
.
Das ist gerade ein Teil des Sinussatzes. Auf ähnliche Weise kannst du die Höhen (die zur Seite
senkrechte Linie durch den Punkt
) und
(die zur Seite
senkrechte Linie durch den Punkt
) einzeichnen. Auch diese beiden konstruierten Linien werden jeweils das Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke unterteilen. Analog zur vorhin gezeigten Berechnung erhalten wir die Gleichungen
für die Höhe
und
für die Höhe
.
Insgesamt erhalten wir also folgendes Resultat
,
was gerade der Sinussatz ist.
Hinweis: Wir haben hier den Sinussatz unter der Annahme hergeleitet, dass keiner der drei Winkel ein stumpfer Winkel ist. Der Sinussatz gilt aber auch, wenn ein Winkel größer als 90° ist. Die Herleitung dafür ist zwar ein wenig komplizierter, verläuft aber sehr ähnlich.