Sinussatz

In diesem Beitrag beschäftigen wir uns mit dem Sinussatz und zeigen dir unter anderem verschiedene Aufgaben mit Lösungen.

Wenn du das Wichtigste zum Sinussatz in kürzester Zeit erfahren möchtest, dann schau dir unbedingt unser Video dazu an!

Inhaltsübersicht

Sinussatz einfach erklärt
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Sinussatz Formel
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Sinussatz Kosinussatz
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Sinussatz Aufgaben
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Sinussatz Herleitung
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Sinussatz einfach erklärt

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(00:11)

Mit Sicherheit hast du die ein oder andere Länge in einem rechtwinkligen Dreieck mit Hilfe des Satzes von Pythagoras schon einmal ausgerechnet. Wahrscheinlich hast du auch verschiedene Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck durch den Sinus, Kosinus oder Tangens schon einmal ausrechnen sollen.

Erkennst du hier eine Gemeinsamkeit? In beiden Fällen war die Rede von einem rechtwinkligen Dreieck. Du könntest dich jetzt (zu Recht) fragen, wie die Situation in einem allgemeinen Dreieck aussieht. Ein Teil der Antwort lautet Sinussatz. Der Sinussatz ermöglicht dir das Berechnen von fehlenden Seiten und Winkeln auch in einem Dreieck, in welchem es keinen rechten Winkel gibt.

Sinussatz Formel

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(00:53)

In diesem Abschnitt zeigen wir dir, was der Sinussatz aussagt und illustrieren seine Anwendung an einem Beispiel.

Sinussatz

Bezeichnen wir in einem Dreieck $\Delta \text{ABC}$ die Seiten mit den Buchstaben a, b und c und die gegenüberliegenden Winkel mit $\alpha$ , $\beta$ und $\gamma$ , dann gilt

$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$

In Worten: Das Verhältnis zwischen den Seiten (a, b, c) eines Dreiecks und dem Sinus des Winkels, welcher der jeweiligen Seite gegenüberliegt, ist für ein gegebenes Dreieck konstant.

Allgemeines Dreieck mit beschrifteten Seiten und Winkeln für den Sinussatz.

Beispiel

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(01:51)

Die Aussage des Sinussatzes ist etwas abstrakt. Schauen wir uns daher ein konkretes Beispiel an, in welchem wir dir das Umstellen des Sinussatzes illustrieren. Nehmen wir an, dass folgende Information eines Dreiecks gegeben ist.

b = 5, c = 3 und $\gamma = 35$ °

Wir möchten daraus die fehlende Seite , sowie die beiden Winkel $\alpha$ und $\beta$ berechnen. Beachte, dass wir hier zur besseren Übersicht auf Einheiten verzichten. Es spielt für den Ablauf der Berechnung keine Rolle, welche Längeneinheit du nun verwenden möchtest. Entscheidend ist aber, dass jede Seite mit der gleichen Längeneinheit (zum Beispiel Zentimeter) versehen wird.

Wir kennen sowohl die Seite als auch den Winkel, der dieser Seite gegenüberliegt. Damit können wir das Verhältnis berechnen.

$\frac{c}{\sin(\gamma)} = \frac{3}{\sin(35^{\circ})} = 5,23$

Der Sinussatz teilt uns mit, dass diese Zahl 5,23 auch für alle anderen Verhältnisse herauskommen wird. Insbesondere gilt dann für die Seite und dem gegenüberliegenden Winkel $\beta$

$\frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}=5,23$

oder umgestellt nach dem Winkel $\beta$

$\beta = \sin^{-1} \left(b \cdot \frac{\sin(\gamma)}{c} \right) = \sin^{-1} \left(5 \cdot \frac{1}{5,23} \right) = 73^{\circ}$ .

Für den letzten Winkel nutzen wir die Tatsache aus, dass die Summe der Winkel in einem Dreieck gleich 180° ist. Es gilt also

$\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}$

oder umgestellt nach dem Winkel $\alpha$

$\alpha = 180^{\circ} - (\beta + \gamma) = 180^{\circ} - (73^{\circ} + 35^{\circ}) = 72^{\circ}$ .

Es fehlt nur noch die Seite . Unter Verwendung des Sinussatzes gilt wieder

$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}=5,23$

und damit für die Seite

$a = \sin(\alpha) \cdot \frac{c}{\sin(\gamma)} = \sin(72^{\circ}) \cdot 5,23 = 4,97$ .

Beachte, dass wir hier auch das Verhältnis $\frac{b}{\sin(\beta)}=5,23$ verwenden hätten können, um die Seite zu berechnen. Nach dem Sinussatz sind alle Verhältnisse identisch.

Sinussatz Kosinussatz

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(03:40)

Wir hatten am Anfang des Artikels erwähnt, dass der Sinussatz nur ein Teil der Antwort auf die Frage ist: „Wie sieht die Situation in einem allgemeinen Dreiecken aus?“. Der andere Teil der Antwort ist der Kosinussatz . Dieser wird manchmal als eine Erweiterung des Satzes von Pythagoras auf allgemeine Dreiecke angesehen.

Die Situation, in der wir uns also befinden, ist folgende: Es ist das Dreieck $\Delta \text{ABC}$ gegeben, in welchem es keinen rechten Winkel gibt. Angenommen die Seiten und , sowie der Winkel $\gamma$ , den die beiden Seiten einspannen, seien gegeben. Wie können wir daraus die fehlende dritte Seite bestimmen? In einem rechtwinkligen Dreieck könntest du einfach die Gleichung

c^2 = a^2 + b^2

verwenden, unter der Annahme, dass die Hypotenuse des Dreiecks ist. Für ein allgemeines Dreieck gilt hingegen der Kosinussatz

$c^2 = a^2 + b^2 - 2 ab \cos(\gamma)$ .

Beachte die Ähnlichkeit zum Satz des Pythagoras. In der Tat erhältst du den Satz des Pythagoras, wenn $\gamma = 90^{\circ}$ ist, denn dann wird $\cos(\gamma) = 0$ . Weiterhin solltest du berücksichtigen, dass dir in dieser Situation der Sinussatz keine weiteren Informationen geben könnte, denn mit den vorhandenen Informationen hättest du keines der drei Verhältnisse ausrechnen können.

Sinussatz Aufgaben

Im Folgenden rechnen wir gemeinsam zwei Aufgaben. Beide beinhalten das Umstellen des Sinussatzes und die Berechnung unbekannter Winkel und Seiten.

Aufgabe 1: Sinussatz umstellen

In einem allgemeinen Dreieck sind folgende Größen bekannt

$c = 6, \gamma = 25^{\circ}, \beta = 100^{\circ}$ .

(a) Bestimme den fehlenden Winkel $\alpha$ .

(b) Berechne die fehlenden Seiten und .

Lösung Aufgabe 1

(a) In einem Dreieck gilt für die Summe der Winkel

$\alpha + \beta + \gamma = 180$ °.

Damit ergibt sich der fehlende Winkel zu

$\alpha = 180^{\circ} - (\beta + \gamma) = 180^{\circ} - (100^{\circ} + 25^{\circ}) = 55$ °.

(b) Nach dem Sinussatz gilt

$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$ .

Demnach ergibt sich die Seite zu

$b = \sin(\beta) \cdot \frac{c}{\sin(\gamma)} = \sin(100^{\circ}) \cdot \frac{6}{\sin(25^{\circ})} = 14$ .

Auf ähnliche Weise gilt für die Seite

$a = \sin(\alpha) \cdot \frac{c}{\sin(\gamma)} = \sin(55^{\circ}) \cdot \frac{6}{\sin(25^{\circ})} = 12$ .

(c) Das Dreieck mit den korrekten Zahlenwerten kann folgendermaßen aussehen. Beachte, dass die Form deines Dreiecks sich von dem hier gezeigten unterscheiden kann. Es kommt nicht auf die Form an, sondern auf die Angabe der Zahlenwerte an den richtigen Positionen.

Aufgabe 2: Sinussatz umstellen

In einem allgemeinen Dreieck sind folgende Größen bekannt

$a = 11, b = 15, \alpha = 45^{\circ}$ .

(a) Bestimme die fehlenden Winkel $\beta$ und $\gamma$ .

(b) Berechne die fehlende Seite .

Lösung Aufgabe 2

(a) Nach dem Sinussatz gilt

$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$ .

Demnach ergibt sich für den Winkel $\beta$

$\beta = \sin^{-1} \left(b \cdot \frac{\sin(\alpha)}{a} \right) = \sin^{-1} \left(15 \cdot \frac{\sin(45^{\circ})}{11} \right) = 75^{\circ}$ .

Für den Winkel $\gamma$ erhalten wir somit

$\gamma = 180^{\circ} - (\alpha + \beta) = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 75^{\circ}) = 60$ °.

(b) Nach dem Sinussatz gilt

$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$ .

Die Seite ergibt sich somit zu

$c = \sin(\gamma) \cdot \frac{a}{\sin(\alpha)} = \sin(60^{\circ}) \cdot \frac{11}{\sin(45^{\circ})} = 13,5$ .

Sinussatz Herleitung

Du kennst jetzt den Sinussatz und kannst diesen auf gesuchte Größen umstellen. In diesem Abschnitt zeigen wir dir, wie du den Sinussatz herleiten kannst.

Hierzu betrachten wir folgendes Dreieck. Wir haben eine zur Seite senkrechte Linie eingezeichnet, die durch den Punkt verläuft. Diese gestrichelt dargestellte Linie wird mit h_b bezeichnet und teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke $\Delta \text{ADB}$ und $\Delta \text{DCB}$ auf.

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Im Teildreieck $\Delta$ ADB gilt

$\sin(\alpha) = \frac{h_b}{c}$

und im Teildreieck $\Delta$ DCB

$\sin(\gamma) = \frac{h_b}{a}$ .

Entscheidend für die Herleitung ist die Beobachtung, dass sowohl für $\sin(\alpha)$ als auch für $\sin(\gamma)$ die gestrichelte Linie h_b die Gegenkathete ist. Dividieren wir nun die erste Gleichung durch die zweite Gleichung, erhalten wir

$\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\gamma)} = \frac{\frac{h_b}{c}}{\frac{h_b}{a}}$

und nach Kürzen des gemeinsamen Faktors h_b

$\frac{\sin(\alpha)}{\sin(\gamma)} = \frac{a}{c}$ .

Stellen wir diese letzte Gleichung noch etwas um, so bekommen wir

$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$ .

Das ist gerade ein Teil des Sinussatzes. Auf ähnliche Weise kannst du die Höhen h_a (die zur Seite senkrechte Linie durch den Punkt ) und h_c (die zur Seite senkrechte Linie durch den Punkt ) einzeichnen. Auch diese beiden konstruierten Linien werden jeweils das Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke unterteilen. Analog zur vorhin gezeigten Berechnung erhalten wir die Gleichungen

$\frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$ für die Höhe h_a und

$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)}$ für die Höhe h_c .

Insgesamt erhalten wir also folgendes Resultat

$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)}$ ,

was gerade der Sinussatz ist.

Hinweis: Wir haben hier den Sinussatz unter der Annahme hergeleitet, dass keiner der drei Winkel ein stumpfer Winkel ist. Der Sinussatz gilt aber auch, wenn ein Winkel größer als 90° ist. Die Herleitung dafür ist zwar ein wenig komplizierter, verläuft aber sehr ähnlich.

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