In diesem Artikel erklären wir dir die Eigenschaften der Wurzelfunktion und gehen auch auf Wurzeln mit höherem Wurzelexponenten ein. Am Ende des Textes findest du eine knappe Zusammenfassung der wichtigsten Inhalte.
Wenn du willst, dass dir jemand die Wurzelfunktion direkt am Beispiel erklärt, dann schau dir dieses kurze Video an.
Am einfachsten ist es, wenn du dir eine Wurzelfunktion als Umkehrfunktion
einer Potenzfunktion
vorstellst. Das bedeutet, du kannst damit berechnen, welche Zahl hoch ein bestimmtes Ergebnis liefert. Je nach Exponenten erhältst du Wurzeln von verschiedenem Grad, die meistverwendete Wurzelfunktion heißt auch (Quadrat-)Wurzel
.
Aufgrund der Potenzgesetze kannst du Wurzeln auf zwei verschiedene Arten darstellen:
Die Wurzelfunktion ist nur definiert, solange der Ausdruck unter der Wurzel größer oder gleich Null ist, also für
. Sie hat somit den Definitionsbereich
. Das siehst du direkt am Funktionsgraphen, ebenso wie du daran die Wertemenge
ablesen kannst.
Je nachdem, welche Parameter in der Wurzelfunktion enthalten sind, ist ihr Funktionsgraph gestreckt, gestaucht, oder im Koordinatensystem verschoben. Hier gibt es verschiedene Möglichkeiten, wie du im Bild sehen kannst.
Die allgemeine Funktionsgleichung, die gestreckt/gestaucht und in jede Richtung verschoben werden kann, lautet daher:
Das verschiebt den Graphen in y-Richtung nach oben oder unten, das
in x-Richtung nach rechts oder links. Der Vorfaktor
streckt oder staucht den Graphen der Wurzelfunktion. Hat
ein negatives Vorzeichen, so ist der Funktionsgraph zusätzlich an der x-Achse gespiegelt.
Merke: Abhängig von den Parametern musst du den Definitionsbereich und den Wertebereich anpassen!
Jede Wurzelfunktion von beliebigem Grad ist die Umkehrfunktion der entsprechenden Potenzfunktion.
und
Insbesondere hat jede quadratische Funktion mit der Wurzelfunktion eine Umkehrfunktion. Wichtig ist dabei nur, dass der Definitionsbereich der quadratischen Funktion eingeschränkt werden muss. Du darfst nur einen Ast der Parabel betrachten, da die quadratische Funktion sonst nicht injektiv beziehungsweise umkehrbar ist. Ausführlich erklären wir dir diesen Zusammenhang in einem separaten Video, hier betrachten wir das Beispiel
Davon können wir die Umkehrfunktion berechnen, indem wir nach auflösen und anschließend
und
vertauschen. Die Umkehrfunktion lautet dann
.
Analog kannst du die Umkehrfunktion von jeder Potenzfunktion als Wurzelfunktion schreiben, beispielsweise bei
und
.
Merke: Bildest du die Umkehrfunktion einer Potenzfunktion mit geradem Exponenten, musst du den Definitionsbereich einschränken. Bei Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten ist dies nicht erforderlich!
Die Wurzelfunktion ist auf ihrem gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend. Ihr Minimum ist gleichzeitig die einzige Nullstelle und der linksseitige Grenzwert mit . Der rechtsseitige Grenzwert ist
Wurzeln lassen sich ableiten, indem du sie als Potenzfunktion mit rationalem Exponenten schreibst. In diesem Falle verwendest du einfach die Potenzregel der Ableitung . Damit gilt
Ausführlich und mit vielen Beispielen erklären wir dir das im Artikel „Wurzel ableiten“ .
Beim Berechnen der Stammfunktion einer Wurzel, gehst du analog vor, wie beim Ableiten. Hier gilt:
.
Etwas komplizierter ist die Sache bei einer Wurzel mit ungeradem Exponenten. Diese Wurzeln sind auch für negative Zahlen definiert! Sie haben sowohl den Definitionsbereich als auch den Wertebereich
. Warum das gilt, verstehst du am besten an einem Beispiel. Sei
eine Wurzel mit ungeradem Exponenten. Ihre Umkehrfunktion ist eine Funktion 3. Grades, , die für alle
injektiv und somit umkehrbar ist. Du darfst hier negative Werte einsetzen, denn es gilt
, da
.
Ableiten und integrieren kannst du auch diesen Funktionstyp wie oben beschrieben.
Definitionsbereich
für Wurzeln mit geradem Exponenten,
für ungerade Wurzelexponenten
Wertebereich
für Wurzeln mit geradem Exponenten,
für ungerade Wurzelexponenten
Monotonie streng monoton steigend
Grenzwert
Umkehrfunktion
hat die Umkehrfunktion
Ableitung
hat die Ableitung
Integral
hat die Stammfunktion
Super! Jetzt weißt du genau was eine Wurzelfunktion ist. Um dich auch mit allen anderen Funktionstypen bestens auszukennen, musst du dir unbedingt unser Video zu den Funktionen anschauen. Dort fassen wir alles Wichtige zum Thema Funktionen zusammen. Schau es dir also gleich an!
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