Funktionen

Wurzelfunktion

In diesem Artikel erklären wir dir die Eigenschaften der Wurzelfunktion und gehen auch auf Wurzeln mit höherem Wurzelexponenten ein. Am Ende des Textes findest du eine knappe Zusammenfassung der wichtigsten Inhalte.

Wenn du willst, dass dir jemand die Wurzelfunktion direkt am Beispiel erklärt, dann schau dir dieses kurze Video%verlinken an. 

Inhaltsübersicht

Wurzelfunktion einfach erklärt

Am einfachsten ist es, wenn du dir eine Wurzelfunktion als Umkehrfunktion einer Potenzfunktion%verlinken vorstellst. Das bedeutet, du kannst damit berechnen, welche Zahl hoch n ein bestimmtes Ergebnis liefert. Je nach Exponent erhältst du Wurzeln von verschiedenem Grad, die meistverwendete Wurzelfunktion heißt auch (Quadrat-)Wurzel \sqrt{ }.

Aufgrund der Potenzgesetze%iwann verlinken kannst du Wurzeln auf zwei verschiedene Arten darstellen:

Verschiedene Schreibweisen der (allgemeinen) Wurzelfunktion

f(x) = \sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}

f(x) = \sqrt[n]{x} = x^{\frac{1}{n}}

Wurzel, Quadratwurzel, 3. Wurzel, Wurzelfunktion
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Graph einer zweiten und dritten Wurzelfunktion

Wurzelfunktion Eigenschaften

Wie du am Funktionsgraphen bereits erkennst, hat die Wurzelfunktion besondere Eigenschaften, auf die wir ausführlich am Beispiel der Quadratwurzel eingehen wollen. Die Besonderheiten bei höheren Wurzelexponenten thematisieren wir im nächsten Abschnitt!

Definitionsbereich und Wertebereich

Die Wurzelfunktion f(x)=\sqrt{x} ist nur definiert, solange der Ausdruck unter der Wurzel größer oder gleich Null ist, also für x \ge 0. Sie hat somit den Definitionsbereich \mathbb{D}=\mathbb{R}_0^+. Das siehst du direkt am Funktionsgraphen, ebenso wie du daran die Wertemenge \mathbb{W}=\mathbb{R}_0^+ ablesen kannst. 

Lage der Wurzelfunktion im Koordinatensystem

Je nachdem, welche Parameter in der Wurzelfunktion enthalten sind, ist ihr Funktionsgraph gestreckt, gestaucht, oder im Koordinatensystem verschoben. Hier gibt es verschiedene Möglichkeiten, wie du im Bild sehen kannst.

Wurzel Wurzelfunktion, Verschiebung, Stauchung, Streckung im Koordinatensystem, Definitionsbereich Wurzel
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Verschiebung und Streckung der Wurzelfunktion
  • f(x)=\sqrt{x} (blau) ist die normale (Quadrat-)Wurzelfunktion
  • f(x)=2\sqrt{x} = \sqrt{4x} (lila) ist um den Faktor 2 gestreckt, ist also doppelt so steil
  • f(x)=\sqrt{x-3} (grün) ist um 3 in positive x-Richtung, also nach rechts verschoben
  • f(x)=\sqrt{x}+2 (pink) ist um 2 in y-Richtung, das heißt nach oben verschoben.

Die allgemeine Funktionsgleichung, die gestreckt/gestaucht und in jede Richtung verschoben werden kann, lautet daher:

Allgemeine Wurzelfunktion mit Parametern

f(x)=a\sqrt{x+b}+c

Das c verschiebt den Graphen in y-Richtung nach oben oder unten, das b in x-Richtung nach rechts oder links. Der Vorfaktor a streckt oder staucht den Graphen der Wurzelfunktion. Hat a ein negatives Vorzeichen, so ist der Funktionsgraph zusätzlich an der x-Achse gespiegelt. 

Merke: Abhängig von den Parametern musst du den Definitionsbereich und den Wertebereich anpassen! 

Umkehrfunktion

Jede Wurzelfunktion von beliebigem Grad ist die Umkehrfunktion der entsprechenden Potenzfunktion.

f(x) = x^n und f^{-1}(x)=\sqrt[n]{x}

Insbesondere hat jede quadratische Funktion mit der Wurzelfunktion eine Umkehrfunktion. Wichtig ist dabei nur, dass der Definitionsbereich der quadratischen Funktion eingeschränkt werden muss. Du darfst nur einen Ast der Parabel betrachten, da die quadratische Funktion sonst nicht injektiv beziehungsweise umkehrbar ist. Ausführlich erklären wir dir diesen Zusammenhang in einem separaten Video, hier betrachten wir das Beispiel

f(x) : \mathbb{R}^+ \longrightarrow \mathbb{R}

y= \frac{1}{3}x^2.

Davon können wir die Umkehrfunktion berechnen, indem wir nach x auflösen und anschließend x und y vertauschen. Die Umkehrfunktion lautet dann f^{-1}(x) = \sqrt{3x}.

Wurzelfunktion, quadratische Funktion, Umkehrfunktion
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Umkehrfunktionen: Wurzelfunktion und quadratische Funktion

Analog kannst du die Umkehrfunktion von jeder Potenzfunktion als Wurzelfunktion schreiben, beispielsweise bei

x^3     und      \sqrt[3]{x}.

Merke: Bildest du die Umkehrfunkion einer Potenzfunktion mit geradem Exponenten, musst du den Definitionsbereich einschränken. Bei Potenzfunktionen mit ungeradem Exponenten ist dies nicht erforderlich!

Grenzwert und Monotonie

Die Wurzelfunktion ist auf ihrem gesamten Definitionsbereich streng monoton steigend. Ihr Minimum ist gleichzeitig die einzige Nullstelle und der linksseitige Grenzwert mit 0=\sqrt{0}. Der rechtsseitige Grenzwert ist

\lim\limits_{x\rightarrow\infty} \sqrt{x} = \infty.

Wurzelfunktion ableiten

Wurzeln lassen sich ableiten, indem du sie als Potenzfunktion mit rationalem Exponenten schreibst. In diesem Falle verwendest du einfach die Potenzregel der Ableitung . Damit gilt

Ableitung der Wurzelfunktion

f(x)=\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}} \quad \quad \quad \Longrightarrow \quad \quad \quad f'(x) = \frac{1}{2}x^\frac{-1}{2} = \frac{1}{2\sqrt{x}}

Ausführlich und mit vielen Beispielen erklären wir dir das im Artikel „Wurzel ableiten“ .

Wurzelfunktionen integrieren

Beim Berechnen der Stammfunktion einer Wurzel, gehst du analog vor, wie beim Ableiten. Hier gilt:

Stammfunktion der Wurzelfunktion

\int \sqrt{x} dx = \int x^{\frac{1}{2}}dx = \frac{2}{3}x^\frac{3}{2} = \frac{2}{3} \sqrt{x^3}.

Wurzeln mit höherem Wurzelexponent 

Bisher haben wir nur die sogenannten Quadratwurzeln betrachtet. In diesem Abschnitt nehmen wir nun Wurzelfunktionen mit höherem Exponenten genauer unter die Lupe und unterscheiden zwischen geradem und ungeradem Wurzelexponent. 

Gerader Wurzelexponent

Wurzelfunktionen mit geradem Exponenten verhalten sich in ihren Eigenschaften ähnlich wie die Quadratwurzelfunktion. Der einzige Unterschied ist, dass sie langfristig flacher verlaufen, je höher der Exponent ist.

Wurzelfunktionen gerader Exponent
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Wurzelfunktionen mit geradem Wurzelexponent

Ungerader Wurzelexponent

Etwas komplizierter ist die Sache bei einer Wurzel mit ungeradem Exponenten. Diese Wurzeln sind auch für negative Zahlen definiert! Sie haben sowohl den Definitionsbereich \mathbb{D}= \mathbb{R} als auch den Wertebereich \mathbb{W}=\mathbb{R}. Warum das gilt, verstehst du am besten an einem Beispiel. Sei

f(x) = \sqrt[3]{x}

eine Wurzel mit ungeradem Exponenten. Ihre Umkehrfunktion ist eine Funktion 3. Grades, f(x)=x^3, die für alle x \in \mathbb{R} injektiv und somit umkehrbar ist. Du darfst hier negative Werte einsetzen, denn es gilt

\sqrt[3]{-8} = -2, da (-2)^3 = -8.

Ableiten und integrieren kannst du auch diesen Funktionstyp wie oben beschrieben. 

Zusammenfassung

Eigenschaften der Wurzelfunktion zusammengefasst

Definitionsbereich                                                  \mathbb{D}=\mathbb{R}_0^+ für Wurzeln mit geradem Exponenten,

                                                                                       \mathbb{D}=\mathbb{R} für ungerade Wurzelexponenten

Wertebereich                                                          \mathbb{D}=\mathbb{R}_0^+ für Wurzeln mit geradem Exponenten,

                                                                                       \mathbb{D}=\mathbb{R} für ungerade Wurzelexponenten

Monotonie                                                                  streng monoton steigend

Grenzwert                                                                   \lim \limits_{x\rightarrow \infty} \sqrt[n]{x}=\infty

Umkehrfunktion                                                       f(x)=\sqrt[n]{x} hat die Umkehrfunktion f^{-1}(x)=x^n

Ableitung                                                                     f(x)=\sqrt[n]{x} hat die Ableitung f'(x)=\frac{1}{n}x^{\frac{1}{n}-1}= \frac{1}{n}x^{\frac{(1-n)}{n}}

Integral                                                                        f(x)=\sqrt[n]{x} hat die Stammfunktion F(x)=\frac{n}{n+1}x^{\frac{1}{n}+1 }= \frac{n}{n+1}x^\frac{n+1}{n}

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