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Trigonometrische Funktionen
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Du fragst dich, was du mit den Funktionen Sinus, Cosinus und Tangens berechnen kannst und welche Rechenregeln es gibt? In diesem Beitrag erfährst du alles, was du wissen musst! Du möchtest das Thema in kürzester Zeit verstehen? Dann schau dir hier unser Video an!

Sinus, Cosinus und Tangens einfach erklärt

Sinus , Cosinus und Tangens sind trigonometrische Funktionen , mit denen du die Winkel in einem Dreieck berechnen kannst. Beachte, dass du sie nur bei rechtwinkligen Dreiecken anwenden kannst! Sie sind folgendermaßen definiert:

    \begin{align*} \sin(\textcolor{red}{\alpha})&=\frac{\textcolor{olive}{\text{Gegenkathete}}}{\textcolor{blue}{\text{Hypotenuse}}}\\ \cos(\textcolor{red}{\alpha})&=\frac{\textcolor{purple}{\text{Ankathete}}}{\textcolor{blue}{\text{Hypotenuse}}}\\ \tan(\textcolor{red}{\alpha})&=\frac{\textcolor{olive}{\text{Gegenkathete}}}{\textcolor{purple}{\text{Ankathete}}}\\ \end{align*}

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Rechtwinkliges Dreieck: sin cos tan

In einem rechtwinkligen Dreieck gibt es immer eine lange und zwei kurze Seiten. Die lange Seite liegt gegenüber vom rechten Winkel und heißt Hypotenuse c . Die Ankathete b  ist die Seite, die an dem gesuchten Winkel α liegt. Die Gegenkathete a  ist die Seite, die dem gesuchten Winkel α gegenüberliegt. 

Sinus Cosinus Tangens – Aufgaben

Veranschaulichen wir uns die Sinus, Cosinus und Tangens Formeln nochmal an zwei konkreten Beispielen:

Beispiel 1:

Mit den Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens kannst du nicht nur Winkel berechnen. Wenn du die Formeln sin cos tan umstellst, kannst du auch die Längen der Dreiecksseiten berechnen.

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c=4cm und dem Winkel α=30°. Du sollst die Länge der Ankathete b und der Gegenkathete a berechnen.

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Beispiel 2, Rechtwinkliges Dreieck, sin cos tan

Schau dir zuerst die Ankathete an. Um ihre Länge zu berechnen, brauchst du eine Formel, die zum einen deinen gesuchten Wert und zum anderen deine gegebenen Werte enthält, also den Winkel α und die Hypotenuse c.

Du verwendest den Kosinus: 

    \[\cos(\textcolor{red}{\alpha})=\frac{\textcolor{purple}{\text{Ankathete}}}{\textcolor{blue}{\text{Hypotenuse}}}\]

Bevor du die Werte einsetzt, stellst du cos(α) nach der Ankathete um.

    \begin{align*} \cos(\textcolor{red}{\alpha})&=\frac{\textcolor{purple}{\text{Ankathete}}}{\textcolor{blue}{\text{Hypotenuse}}}&&|\;\cdot \textcolor{blue}{\text{Hypotenuse}}\\ \textcolor{purple}{\text{Ankathete}}&=\cos(\textcolor{red}{\alpha})\cdot \textcolor{blue}{\text{Hypotenuse}}\\ \end{align*}

Nun kannst du die Werte einsetzen. Zu einigen Winkeln von Sinus, Cosinus und Tangens gibt es Werte, die du dir merken kannst:

Winkel α 30° 45° 60° 90°
sin(α) 0 \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} 1
cos(α) 1 \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2} 0
tan(α) 0 \frac{\sqrt{3}}{3} 1 \sqrt{3}

In diesem Beispiel brauchst du den Cosinus-Wert für α=30°. Setze ihn in deine Formel ein:

    \begin{align*} \textcolor{purple}{\text{Ankathete}}&=\cos(\textcolor{red}{\ang{30}})\cdot \textcolor{blue}{4}\\ &=\textcolor{red}{\frac{\sqrt{3}} {2}}\cdot\textcolor{blue}{4}\\ &=2\sqrt{3} \end{align*}

Ähnlich kannst du vorgehen, um die Länge der Gegenkathete zu berechnen. Die Hypotenuse, der Winkel α und die Gegenkathete a sind in der Formel für den Sinus enthalten:

    \[\sin(\textcolor{red}{\alpha})=\frac{\textcolor{olive}{\text{Gegenkathete}}}{\textcolor{blue}{\text{Hypotenuse}}}\]

Du stellst die Formel nach der Gegenkathete um und setzt die Werte ein. Auch hier kannst du den Wert aus der Tabelle benutzen.

    \begin{align*} \[\sin(\textcolor{red}{\alpha})&=\frac{\textcolor{olive}{\text{Gegenkathete}}}{\textcolor{blue}{\text{Hypotenuse}}}&&|\;\cdot \textcolor{blue}{\text{Hypotenuse}}\\ &=\sin(\textcolor{red}{\alpha})\cdot \textcolor{blue}{\text{Hypotenuse}}\\ &=\sin(\textcolor{red}{30})\cdot \textcolor{blue}{4}\\ &=\textcolor{red}{\frac{1}{2}}\cdot \textcolor{blue}{4}\\ &=2\\ \end{align*}

Beispiel 2:

Dir ist ein rechtwinkliges Dreieck gegeben. Die Gegenkathete hat eine Länge von a=3cm. Die Hypotenuse ist c=5cm lang. Wie groß ist der Winkel α?

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Beispiel 1, Rechtwinkliges Dreieck, sin cos tan

Du hast die Längen der Hypotenuse und der Gegenkathete. Um α zu berechnen, musst du also eine Formel verwenden, in der diese beiden Größen vorkommen. Die passende Formel ist hier der Sinus, denn:

    \[\sin(\textcolor{red}{\alpha})=\frac{\textcolor{olive}{\text{Gegenkathete}}}{\textcolor{blue}{\text{Hypotenuse}}}\]

Nun kannst du die Werte in deine Formel sin(α) einsetzen:

    \begin{align*} \sin(\textcolor{red}{\alpha})&=\frac{\textcolor{olive}{3cm}}{\textcolor{blue}{5cm}}\\ \sin(\textcolor{red}{\alpha})&=0,6\\ \end{align*}

Du erhältst sin(α)=0,6. Um α in Grad zu bekommen, musst du arcsin (bzw. sin-1) auf dem Taschenrechner verwenden. Du drückst „Shift“, „sin“ und gibst dann 0,6 ein.

Du erhältst α=36,87°.

Beziehung trigonometrischer Funktionen

Schaust du dir die Formeln sin cos tan genauer an, fällt dir vielleicht auf, dass sie in Beziehung zueinander stehen.

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Beziehungen trigonometrischer Funktionen sin cos tan

Ein rechtwinkliges Dreieck hat immer eine Innenwinkelsumme von 180°. Der rechte Winkel hat 90°. Also muss die Summe der anderen beiden Winkel α + β = 90°sein. Wenn du einen der spitzen Winkel als α kennzeichnest, ist der andere spitze Winkel β = 90°- α

Stell dir zum Beispiel vor, dass α=30° ist. Daraus ergibt sich, dass β= 90°30°, also β= 60° ist. Zusammen mit dem rechten Winkel (90°) ergeben sich dann 60°+30°+90°=180°.

Du kannst dir merken, dass sin(β) dasselbe ist wie sin(90°-α). Du erhältst:

    \[\sin(\textcolor{orange}{\ang{90}-\alpha})=\frac{\textcolor{purple}{\text{Gegenkathete}(\ang{90}-\alpha)}}{\textcolor{blue}{\text{Hypotenuse}}}=\frac{\textcolor{purple}{b}}{\textcolor{blue}{c}}\]

Dasselbe machst du mit dem Cosinus, um α zu berechnen:

    \[\cos(\textcolor{red}{\alpha})=\frac{\textcolor{purple}{\text{Ankathete}(\alpha)}}{\textcolor{blue}{\text{Hypotenuse}}}=\frac{\textcolor{purple}{b}}{\textcolor{blue}{c}}\]

Diese Gleichungen kannst du nun gleichsetzen und erhältst dann:

    \[\sin(\textcolor{orange}{\ang{90}-\alpha})=\cos(\textcolor{red}{\alpha})\]

Beachte, dass du bei beiden Rechnungen die Gegenkathete und Ankathete aus der Perspektive des jeweiligen Winkels betrachtest. Das sind unterschiedliche Seiten: Betrachtest du den Winkel α, kannst du die Beschriftungen aus der Abbildung übernehmen. Wenn du dir aber den Winkel β anschaust, musst du umdenken: Die Gegenkathete vom Winkel β ist die Seite, die β gegenüberliegt. In unserer Abbildung ist sie als Seite b gekennzeichnet.

Auf dieselbe Weise kannst du die Gleichung für den Cosinus erklären:

    \[\cos(\textcolor{orange}{\ang{90}-\alpha})=\sin(\textcolor{red}{\alpha})\]

Und genauso kannst du es auch auf den Tangens anwenden:

    \[\tan(\textcolor{orange}{\ang{90}-\alpha})=\frac{1}{\tan(\textcolor{red}{\alpha})}\]

Diese Beziehungen kannst du Komplementbeziehungen nennen.

Es gibt allerdings auch noch die Supplementbeziehungen. Eine dieser Beziehungen lautet zum Beispiel: 

    \[\sin(\ang{180}+\textcolor{red}{\alpha})=-\sin(\textcolor{red}{\alpha})\]

Schau dir dazu im Koordinatensystem den Wert α=90°

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Sinus-Graph Supplementbeziehung

Du siehst, dass gilt:

    \begin{align*} \textcolor{red}{\sin(\ang{180}+\ang{90})}&=-\textcolor{red}{\sin(\ang{90})}\\ \textcolor{red}{-1}&=-\textcolor{red}{1}\\ \end{align*}

Hier siehst du weitere Supplementbeziehungen:

Sinus Cosinus Tangens
sin(180°+α)=-sin(α) cos(180°+α)=-cos(α) tan(180°+α)=tan(α)
sin(180°-α)=sin(α) cos(180°-α)=-cos(α) tan(180°-α)=-tan(α)
sin(360°-α)=-sin(α) cos(360°-α)=cos(α) tan(360°-α)=-tan(α)

Rechenregeln sin cos tan

Es gibt einige Rechenregeln zu Sinus, Cosinus und Tangens, die du dir anschauen solltest:

  • trigonometrischer Pythagoras
  • Additionstheoreme
  • Sinussatz
  • Cosinussatz

Trigonometrischer Pythagoras

Der trigonometrische Pythagoras lautet:

    \[(\sin\textcolor{red}{\alpha})^2+(\cos\textcolor{red}{\alpha})^2=1\]

Mit dieser Formel im Kopf kannst du Gleichungen oft sehr vereinfachen.

Additionstheoreme

Mit den Additionstheoremen kannst du den Sinus und Cosinus einer Summe berechnen:

    \[\sin(\textcolor{red}{\alpha}+\textcolor{orange}{\beta})=\cos(\textcolor{red}{\alpha})\cdot\sin(\textcolor{orange}{\beta})+\sin(\textcolor{red}{\alpha})\cdot\cos(\textcolor{orange}{\beta})\]

    \[\cos(\textcolor{red}{\alpha}+\textcolor{orange}{\beta})=\cos(\textcolor{red}{\alpha})\cdot\cos(\textcolor{orange}{\beta})-\sin(\textcolor{red}{\alpha})\cdot\sin(\textcolor{orange}{\beta})\]

Sinussatz

Den Sinussatz kannst du benutzen, um fehlende Stücke eines Dreiecks zu berechnen. Zum Beispiel, wenn zwei Seitenlängen und ein gegenüber liegender Winkel oder eine Seitenlänge und zwei Winkel gegeben sind. Das Dreieck muss dabei nicht rechtwinklig sein!

    \[ \frac{\textcolor{olive}{a}}{\sin(\textcolor{red}{\alpha})}=\frac{\textcolor{purple}{b}}{\sin(\textcolor{orange}{\beta})}=\frac{\textcolor{blue}{c}}{\sin(\gamma)}\]

Cosinussatz

Mit dem Cosinussatz kannst du zum Beispiel aus zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel die dritte Seite berechnen. Er kann dir auch helfen, einen Winkel zu berechnen, wenn alle drei Seiten gegeben sind. Auch hier muss das Dreieck nicht rechtwinklig sein!

    \[\textcolor{olive}{a}^2=\textcolor{purple}{b}^2+\textcolor{blue}{c}^2-2\textcolor{purple}{b}\textcolor{blue}{c}\cdot\cos(\textcolor{red}{\alpha})\]

    \[\textcolor{purple}{b}^2=\textcolor{olive}{a}^2+\textcolor{blue}{c}^2-2\textcolor{olive}{a}\textcolor{blue}{c}\cdot\cos(\textcolor{orange}{\beta})\]

    \[\textcolor{blue}{c}^2=\textcolor{olive}{a}^2+\textcolor{purple}{b}^2-2\textcolor{olive}{a}\textcolor{purple}{b}\cdot\cos(\gamma)\]

Einheitskreis

Du weißt jetzt über die trigonometrischen Funktionen Bescheid, aber fragst dich, was es mit dem Einheitskreis auf sich hat? Dann schau dir unbedingt unser Video zum Einheitskreis an!

Zum Video: Einheitskreis
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