Was bedeuten Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck?

Sinus, Kosinus und Tangens beschreiben im rechtwinkligen Dreieck feste Verhältnisse von Seitenlängen zu einem Winkel . Es gilt: , und .

Wie erkenne ich beim Winkel α die Gegenkathete?

Die Gegenkathete zum Winkel ist die Seite, die dem Winkel direkt gegenüberliegt. Das liegt daran, dass „gegen“ hier wörtlich „gegenüber“ bedeutet. Konkret: Wenn an einer Ecke liegt, ist die gegenüberliegende Seite die Gegenkathete.

Wie erkenne ich beim Winkel α die Ankathete?

Die Ankathete zum Winkel ist die Kathete, die direkt an anliegt, aber nicht die Hypotenuse ist. Es gibt zwei Seiten am Winkel, und die längste davon ist die Hypotenuse; die andere, kürzere Seite am Winkel ist die Ankathete.

Wann benutze ich Sinus statt Kosinus beim Seiten berechnen?

Sinus benutzt man statt Kosinus, wenn die Gegenkathete zum Winkel mit der Hypotenuse verknüpft ist, denn . Kosinus passt, wenn es um Ankathete und Hypotenuse geht, denn .

Wie bekomme ich aus einem Sinuswert den Winkel in Grad?

Aus einem Sinuswert erhält man den Winkel in Grad, indem man die Umkehrfunktion arcsin (auch ) am Taschenrechner nutzt. Dazu wird „Shift“, dann „sin“ gedrückt und anschließend der Sinuswert eingegeben; das Ergebnis ist der Winkel in Grad.

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Sinus Cosinus Tangens

Wichtige Inhalte in diesem Video

Sinus, Cosinus und Tangens — einfach erklärt

(00:14)

Sinus, Cosinus und Tangens — Beispiel

(01:24)

Du möchtest wissen, was Sinus, Kosinus und Tangens sind und wie du sie anwenden kannst? Das erfährst du hier und im Video!

Inhaltsübersicht

Sinus, Cosinus und Tangens — einfach erklärt

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(00:14)

Sinus, Cosinus und Tangens sind die drei grundlegenden trigonometrischen Funktionen in der Mathematik. Sie beschreiben die Beziehungen zwischen den Seitenlängen und den Winkeln in einem rechtwinkligen Dreieck.

$\begin{align*} \sin(\textcolor{red}{\alpha})&=\frac{\textcolor{olive}{\text{Gegenkathete}}}{\textcolor{blue}{\text{Hypotenuse}}}\\ \cos(\textcolor{red}{\alpha})&=\frac{\textcolor{purple}{\text{Ankathete}}}{\textcolor{blue}{\text{Hypotenuse}}}\\ \tan(\textcolor{red}{\alpha})&=\frac{\textcolor{olive}{\text{Gegenkathete}}}{\textcolor{purple}{\text{Ankathete}}}\\ \end{align*}$

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Hypotenuse, Gegenkathete und Ankathete

Die Hypotenuse ist immer die längste Seite in dem Dreieck, direkt gegenüber vom rechten Winkel. Hier ist das die Seite c.
Die Gegenkathete ist immer die Seite, gegenüber von deinem Winkel. Für den Winkel α ist das die Seite a.
Die Ankathete ist die kürzere der beiden Seite, die direkt an dem Winkel liegen: Für α also die Seite b.

Sinus, Cosinus und Tangens — Beispiel

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(01:24)

Schauen wir uns die Sinus, Cosinus und Tangens Formeln nochmal an einem konkreten Beispiel an:

Du hast ein rechtwinkliges Dreieck und kennst diese Werte:

Die Gegenkathete ist a = 3 cm lang.
Die Hypotenuse ist c = 5 cm lang.

Was ist der Sinus vom Winkel α?

Sinus, Cosinus, Tangens, Dreieck, rechter Winkel, rechtwinkliges Dreieck, alpha, Ankathete, Gegenkathete, Hypotenuse, Trigonometrie — Sinus berechnen – Beispiel

Die Längen der Hypotenuse und der Gegenkathete setzt du nun in die Formel für den Sinus ein:

$\sin(\textcolor{red}{\alpha})=\frac{\textcolor{olive}{\text{Gegenkathete}}}{\textcolor{blue}{\text{Hypotenuse}}}$

$\sin(\textcolor{red}{\alpha}) = \frac{\textcolor{olive}{3cm}}{\textcolor{blue}{5cm}}$

$\sin(\textcolor{red}{\alpha}) = 0,6$

Gut zu wissen: Der Sinuswert gibt dir dann an, wie lang die Gegenkathete im Vergleich zur Hypotenuse ist. Da der Sinus des Winkels 0,6 ist, ist die Gegenkathete 60 % so lang ist wie die Hypotenuse.

Sinus, Cosinus und Tangens in Grad umrechnen

Um aus dem Sinuswert den Winkel in Grad zu bekommen, musst du arcsin (bzw. sin^-1) auf dem Taschenrechner verwenden. Du drückst „Shift“, „sin“ und gibst dann den Sinus ein. Für das Beispiel erhältst du α = 36,87°.

Bei Cosinus und Tangens funktioniert das ebenfalls mit den entsprechenden Tasten.

Studyflix vernetzt: Hier ein Video aus einem anderen Bereich

Sinus, Cosinus, Tangens — Wichtige Werte

Zu einigen Winkeln von Sinus, Cosinus und Tangens gibt es Werte, die du dir merken kannst:

Winkel α	0°	30°	45°	60°	90°
sin(α)	0	$\frac{1}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	1
cos(α)	1	$\frac{\sqrt{3}}{2}$	$\frac{\sqrt{2}}{2}$	$\frac{1}{2}$	0
tan(α)	0	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	1	$\sqrt{3}$	–

Seiten berechnen mit Sin, Cos und Tan

Mit den Winkelfunktionen Sinus, Cosinus und Tangens kannst du auch die Längen der Dreiecksseiten berechnen. Dafür musst du die Formeln umstellen.

Zum Beispiel hast du ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c = 4 cm und dem Winkel α = 30°. Du möchtest nun die Länge der Ankathete b und der Gegenkathete a wissen.

Um die Ankathete zu berechnen, nimmst du den Cosinus und stellst ihn nach der Ankathete um:

$\cos(\textcolor{red}{\alpha}) = \frac{\textcolor{purple}{\text{Ankathete}}}{\textcolor{blue}{\text{Hypotenuse}}}$ → $\textcolor{purple}{\text{Ankathete}} = \cos(\textcolor{red}{\alpha}) \cdot \textcolor{blue}{\text{Hypotenuse}}$

Setzt du nun die Werte ein, erhältst du:

$\textcolor{purple}{\text{Ankathete}}&=\cos(\textcolor{red}{\ang{30}})\cdot \textcolor{blue}{4} = \textcolor{red}{\frac{\sqrt{3}} {2}}\cdot\textcolor{blue}{4}\ = 2\sqrt{3}$

Die Ankathete ist also ca. 3,46 cm lang.

Ähnlich gehst du bei der Gegenkathete vor. Um die zu berechnen, stellst du hingegen die Formel für den Sinus um und setzt die Werte ein:

$\sin(\textcolor{red}{\alpha}) = \frac{\textcolor{olive}{\text{Gegenkathete}}}{\textcolor{blue}{\text{Hypotenuse}}}$ → $\textcolor{olive}{\text{Gegenkathete}} = \sin(\textcolor{red}{\alpha}) \cdot \textcolor{blue}{\text{Hypotenuse}}$

$\textcolor{olive}{\text{Gegenkathete}} = \sin(\textcolor{red}{30})\cdot \textcolor{blue}{4} = \textcolor{red}{\frac{1}{2}}\cdot \textcolor{blue}{4} = 2$

Die Gegenkathete ist daher 2 cm lang.

Es kann aber auch sein, dass du nicht die Hypotenuse c, sondern eine der anderen Seiten gegeben hast. Wie du die Sinus Cosinus Tangens Formeln dafür umstellst, siehst du hier in der Übersicht:

Ankathete b ist gegeben	Gegenkathete a ist gegeben
direkt ins Video springen Gegenkathete & Hypotenuse berechnen	direkt ins Video springen Ankathete & Hypotenuse berechnen

Rechenregeln mit Sin Cos Tan

Zu Sinus, Cosinus und Tangens gibt es außerdem ein paar Rechenregeln. Die helfen dir dabei, einen Winkel, eine Seitenlänge oder Sin, Cos und Tan zu berechnen. Zu den Rechenregeln gehören:

trigonometrischer Pythagoras
Additionstheoreme
Sinussatz
Cosinussatz

Trigonometrischer Pythagoras

Der trigonometrische Pythagoras lautet:

$(\sin\textcolor{red}{\alpha})^2+(\cos\textcolor{red}{\alpha})^2=1$

Wenn du den Sinus eines Winkels kennst, kannst du mit dieser Formel daraus den Cosinus berechnen — oder umgekehrt.

Additionstheoreme

Mit den Additionstheoremen kannst du den Sinus und Cosinus einer Summe berechnen:

$\sin(\textcolor{red}{\alpha}+\textcolor{orange}{\beta})=\cos(\textcolor{red}{\alpha})\cdot\sin(\textcolor{orange}{\beta})+\sin(\textcolor{red}{\alpha})\cdot\cos(\textcolor{orange}{\beta})$

$\cos(\textcolor{red}{\alpha}+\textcolor{orange}{\beta})=\cos(\textcolor{red}{\alpha})\cdot\cos(\textcolor{orange}{\beta})-\sin(\textcolor{red}{\alpha})\cdot\sin(\textcolor{orange}{\beta})$

Sinussatz

Den Sinussatz kannst du benutzen, um fehlende Stücke eines Dreiecks zu berechnen. Zum Beispiel, wenn zwei Seitenlängen und ein gegenüber liegender Winkel oder eine Seitenlänge und zwei Winkel gegeben sind. Das Dreieck muss dabei nicht rechtwinklig sein!

$\frac{\textcolor{olive}{a}}{\sin(\textcolor{red}{\alpha})}=\frac{\textcolor{purple}{b}}{\sin(\textcolor{orange}{\beta})}=\frac{\textcolor{blue}{c}}{\sin(\gamma)}$

Cosinussatz

Mit dem Cosinussatz kannst du zum Beispiel aus zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel die dritte Seite berechnen. Er kann dir auch helfen, einen Winkel zu berechnen, wenn alle drei Seiten gegeben sind. Auch hier muss das Dreieck nicht rechtwinklig sein!

$\textcolor{olive}{a}^2=\textcolor{purple}{b}^2+\textcolor{blue}{c}^2-2\textcolor{purple}{b}\textcolor{blue}{c}\cdot\cos(\textcolor{red}{\alpha})$

$\textcolor{purple}{b}^2=\textcolor{olive}{a}^2+\textcolor{blue}{c}^2-2\textcolor{olive}{a}\textcolor{blue}{c}\cdot\cos(\textcolor{orange}{\beta})$

$\textcolor{blue}{c}^2=\textcolor{olive}{a}^2+\textcolor{purple}{b}^2-2\textcolor{olive}{a}\textcolor{purple}{b}\cdot\cos(\gamma)$

Übrigens: Den Tangens kannst du nicht nur mit Gegen- und Ankethete berechnen, sondern auch mit Sinus und Cosinus: $\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}$

Sinus Cosinus Tangens — häufigste Fragen

(ausklappen)

Was bedeuten Sinus, Kosinus und Tangens im rechtwinkligen Dreieck?

Sinus, Kosinus und Tangens beschreiben im rechtwinkligen Dreieck feste Verhältnisse von Seitenlängen zu einem Winkel $\alpha$ . Es gilt: $\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$ , $\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$ und $\tan(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Ankathete}}$ .
Wie erkenne ich beim Winkel α die Gegenkathete?

Die Gegenkathete zum Winkel $\alpha$ ist die Seite, die dem Winkel $\alpha$ direkt gegenüberliegt. Das liegt daran, dass „gegen“ hier wörtlich „gegenüber“ bedeutet. Konkret: Wenn $\alpha$ an einer Ecke liegt, ist die gegenüberliegende Seite die Gegenkathete.
Wie erkenne ich beim Winkel α die Ankathete?

Die Ankathete zum Winkel $\alpha$ ist die Kathete, die direkt an $\alpha$ anliegt, aber nicht die Hypotenuse ist. Es gibt zwei Seiten am Winkel, und die längste davon ist die Hypotenuse; die andere, kürzere Seite am Winkel ist die Ankathete.
Wann benutze ich Sinus statt Kosinus beim Seiten berechnen?

Sinus benutzt man statt Kosinus, wenn die Gegenkathete zum Winkel $\alpha$ mit der Hypotenuse verknüpft ist, denn $\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}$ . Kosinus passt, wenn es um Ankathete und Hypotenuse geht, denn $\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}$ .
Wie bekomme ich aus einem Sinuswert den Winkel in Grad?

Aus einem Sinuswert erhält man den Winkel in Grad, indem man die Umkehrfunktion arcsin (auch $\sin^{-1}$ ) am Taschenrechner nutzt. Dazu wird „Shift“, dann „sin“ gedrückt und anschließend der Sinuswert eingegeben; das Ergebnis ist der Winkel $\alpha$ in Grad.

Einheitskreis

Sinus, Cosinus und Tangens lassen sich auch mit dem Einheitskreis verdeutlichen. Wie das geht und was ein Einheitskreis überhaupt ist, erklären wir dir in unserem Video!