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Trigonometrische Funktionen
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Wenn du beim Thema Trigonometrie noch keinen Überblick hast, bist du bei unserer Trigonometrie-Zusammenfassung genau richtig.%Schaue dir auch unser passendes Video dazu an!

Trigonometrie einfach erklärt

In der Trigonometrie werden die Beziehungen zwischen Seiten und Winkeln in rechtwinkligen Dreiecken untersucht. Dazu solltest du die trigonometrischen Funktionen Sinus, Cosinus, Tangens  kennen. Sie sind folgendermaßen definiert:

    \begin{align*} \sin(\textcolor{red}{\alpha})&=\frac{\textcolor{olive}{\text{Gegenkathete}}}{\textcolor{blue}{\text{Hypotenuse}}}\\ \cos(\textcolor{red}{\alpha})&=\frac{\textcolor{purple}{\text{Ankathete}}}{\textcolor{blue}{\text{Hypotenuse}}}\\ \tan(\textcolor{red}{\alpha})&=\frac{\textcolor{olive}{\text{Gegenkathete}}}{\textcolor{purple}{\text{Ankathete}}}\\ \end{align*}

In einem rechtwinkligen Dreieck heißt die Seite gegenüber vom rechten Winkel Hypotenuse c . Die Ankathete b  ist die Seite, die an dem Winkel α liegt. Die Gegenkathete a ist die Seite, die dem Winkel α gegenüberliegt. 

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Rechtwinkliges Dreieck

Trigonometrie Aufgaben

Mit diesen Funktionen kannst du nicht nur Winkel berechnen. Wenn du die Formeln umstellst , kannst du auch die Längen der Dreiecksseiten berechnen.

Gegeben ist ein rechtwinkliges Dreieck mit der Hypotenuse c=4cm und dem Winkel α=30°. Du sollst die Länge der Ankathete b berechnen.

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Rechtwinkliges Dreieck, sin cos tan

Um die Länge der Ankathete zu berechnen, brauchst du eine trigonometrische Funktion, die zum einen deinen gesuchten Wert und zum anderen deine gegebenen Werte enthält, also den Winkel α und die Hypotenuse c. Deshalb verwendest du den Cosinus: 

    \[\cos(\textcolor{red}{\alpha})=\frac{\textcolor{purple}{\text{Ankathete}}}{\textcolor{blue}{\text{Hypotenuse}}}\]

Bevor du die Werte einsetzt, stellst du cos(α) nach der Ankathete um.

    \begin{align*} \cos(\textcolor{red}{\alpha})&=\frac{\textcolor{purple}{\text{Ankathete}}}{\textcolor{blue}{\text{Hypotenuse}}}&&|\;\cdot \textcolor{blue}{\text{Hypotenuse}}\\ \textcolor{purple}{\text{Ankathete}}&=\cos(\textcolor{red}{\alpha})\cdot \textcolor{blue}{\text{Hypotenuse}}\\ \end{align*}

Nun kannst du die Werte einsetzen. Zu einigen Winkeln von Sinus, Cosinus und Tangens gibt es Werte, die du dir merken kannst:

Winkel α 30° 45° 60° 90°
sin(α) 0 \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} 1
cos(α) 1 \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{1}{2} 0
tan(α) 0 \frac{\sqrt{3}}{3} 1 \sqrt{3}

In diesem Beispiel brauchst du den Cosinus-Wert für α=30°. Du setzt also \textcolor{red}{\frac{\sqrt{3}}{2}} in deine Formel ein:

    \begin{align*} \textcolor{purple}{\text{Ankathete}}&=\cos(\textcolor{red}{\ang{30}})\cdot \textcolor{blue}{4}\\ &=\textcolor{red}{\frac{\sqrt{3}} {2}}\cdot\textcolor{blue}{4}\\ &=2\sqrt{3} \end{align*}

Wenn du mehr Trigonometrie Aufgaben suchst, dann schau dir doch unser Video zu Sinus Cosinus Tangens an!

Trigonometrische Funktionen

Hier siehst du, wie die trigonometrischen Funktionen im Koordinatensystem aussehen:

Sinus

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Sinusfunktion

Cosinus

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Cosinusfunktion

Tangens

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Tangensfunktion

Schau dir auch unsere Videos zu den Funktionen Sinus , Cosinus , Tangens an!

Umrechnung Gradmaß – Bogenmaß

Wenn du mit Winkeln rechnest, kannst du sie entweder im Gradmaß (90°) oder im Bogenmaß (\frac{\pi}{2}) angeben:

Formel Gradmaß in Bogenmaß:

    \[ \textcolor{blue}{x} = \frac{\textcolor{red}{\alpha}}{180^\circ} \cdot \pi \]

Formel Bogenmaß in Gradmaß:

    \[ \textcolor{red}{\alpha} = \frac{\textcolor{blue}{x}}{\pi} \cdot 180^\circ \]

Rechenregeln Trigonometrie

In der Trigonometrie gibt es noch einige Rechenregeln, die du kennen solltest:

Trigonometrischer Pythagoras

Der trigonometrische Pythagoras lautet:

    \[(\sin\textcolor{red}{\alpha})^2+(\cos\textcolor{red}{\alpha})^2=1\]

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Trigonometrischer Pythagoras

Mit dieser Formel im Kopf kannst du Gleichungen oft sehr vereinfachen.

Additionstheoreme

Mit den Additionstheoremen kannst du den Sinus und Cosinus einer Summe berechnen:

    \[\sin(\textcolor{red}{\alpha}+\textcolor{orange}{\beta})=\cos(\textcolor{red}{\alpha})\cdot\sin(\textcolor{orange}{\beta})+\sin(\textcolor{red}{\alpha})\cdot\cos(\textcolor{orange}{\beta})\]

    \[\cos(\textcolor{red}{\alpha}+\textcolor{orange}{\beta})=\cos(\textcolor{red}{\alpha})\cdot\cos(\textcolor{orange}{\beta})-\sin(\textcolor{red}{\alpha})\cdot\sin(\textcolor{orange}{\beta})\]

Sinussatz

Den Sinussatz kannst du benutzen, um fehlende Stücke eines Dreiecks zu berechnen. Zum Beispiel, wenn zwei Seitenlängen und ein gegenüber liegender Winkel oder eine Seitenlänge und zwei Winkel gegeben sind. Das Dreieck muss dabei nicht rechtwinklig sein!

    \[ \frac{\textcolor{olive}{a}}{\sin(\textcolor{red}{\alpha})}=\frac{\textcolor{purple}{b}}{\sin(\textcolor{orange}{\beta})}=\frac{\textcolor{blue}{c}}{\sin(\textcolor{magenta}{\gamma})}\]

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Abbildung Sinussatz

Cosinussatz

Mit dem Cosinussatz kannst du zum Beispiel aus zwei Seiten und dem von ihnen eingeschlossenen Winkel die dritte Seite berechnen. Er kann dir auch helfen einen Winkel zu berechnen, wenn alle drei Seiten gegeben sind. Auch hier muss das Dreieck nicht rechtwinklig sein!

    \[\textcolor{olive}{a}^2=\textcolor{purple}{b}^2+\textcolor{blue}{c}^2-2\textcolor{purple}{b}\textcolor{blue}{c}\cdot\cos(\textcolor{red}{\alpha})\]

    \[\textcolor{purple}{b}^2=\textcolor{olive}{a}^2+\textcolor{blue}{c}^2-2\textcolor{olive}{a}\textcolor{blue}{c}\cdot\cos(\textcolor{orange}{\beta})\]

    \[\textcolor{blue}{c}^2=\textcolor{olive}{a}^2+\textcolor{purple}{b}^2-2\textcolor{olive}{a}\textcolor{purple}{b}\cdot\cos(\textcolor{magenta}{\gamma})\]

Einheitskreis

Jetzt hast du dir einen Überblick über die Trigonometrie verschafft. Für mehr Details den trigonometrischen Funktionen, schau dir unser Video zum Einheitskreis an!

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