Funktionen

Sinus

In diesem Beitrag beschäftigen wir uns mit dem Sinus. Unter anderem erfährst du, wie er am rechtwinkligen Dreieck und am Einheitskreis definiert ist.

Du möchtest den Sinus in kurzer Zeit erlernen? Dann schaue dir einfach unser Video  zu diesem Thema an.

Inhaltsübersicht

Sinus einfach erklärt

Der Sinus ist eine wichtige trigonometrische Funktion, mit welcher du zum einen Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck berechnen kannst und zum anderen ist er sehr nützlich, um periodische Vorgänge in der Physik zu beschreiben, wie zum Beispiel Wellen. Dabei beschreibt der Sinus das Verhältnis der Gegenkathete zur Hypotenuse eines Dreiecks. Mit bestimmten Überlegungen an einem Einheitskreis, kannst du mit Hilfe dieses Verhältnisses eine periodische Funktion konstruieren, die Sinusfunktion.

Sinus am rechtwinkligen Dreieck  

Unsere Situation beginnt mit einem rechtwinkligen Dreieck. In diesem Dreieck soll einer der beiden Winkel, der nicht 90° ist, mit \alpha bezeichnet werden. Die Seite, die diesem Winkel gegenüberliegt, heißt Gegenkathete. Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, heißt Hypotenuse und die letzte Seite wird als Ankathete bezeichnet. 

Für ein solches Dreieck wird das Verhältnis von Gegenkathete zu Hypotenuse, also

\frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}

als Sinus bezeichnet.

Sinus Formel

Bezeichnen wir die Gegenkathete mit a und die Hypotenuse mit c, dann ist der Sinus des Winkels \alpha definiert als

\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}} = \frac{a}{c}.

Sinus am rechtwinkligen Dreieck
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Sinus am rechtwinkligen Dreieck.

Hinweis: Vielleicht fragst du dich, wie das in einem Dreieck aussieht, wo kein rechter Winkel vorhanden ist. In einem solchen Fall kann der sogenannte Sinussatz weiterhelfen. In unserem extra Beitrag erfährst du mehr darüber.

Sinus am Einheitskreis  

Der Sinus am rechtwinkligen Dreieck macht nur für Winkel kleiner als 90° Sinn. Durch einen geometrischen Trick können wir die Definition auf alle Winkel erweitern.

Definition am Einheitskreis

Wir können die y-Koordinate eines Punktes P auf dem Einheitskreis geometrisch folgendermaßen bestimmen: Wir zeichnen ein rechtwinkliges Dreieck, sodass der Punkt eine Ecke des Dreiecks und der Abstand zum Ursprung die Hypotenuse wird. Die Länge der Hypotenuse kennen wir. Sie beträgt genau 1, da alle Punkte auf dem Kreis per Definition den Abstand 1 zum Ursprung haben. Bilden wir das Verhältnis zwischen Gegenkathete und Hypotenuse, so erhalten wir

\sin(\alpha) = \frac{y}{1} = y.

Das heißt, dass der Sinus gerade die y-Koordinate des Punktes ist. Und dies gilt für alle Werte von \alpha. Zum Beispiel ist der Sinus des Winkels 180° gerade Null, da die y-Koordinate dieses Punktes Null ist.

Sinus am Einheitskreis
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Sinus am Einheitskreis.

Darstellung in einem Koordinatensystem  

Um zu sehen, wie sich der Wert des Sinus als Funktion des Winkels \alpha verhält, lassen wir den Winkel \alpha einmal um den Einheitskreis laufen und notieren uns für jeden \alpha-Wert die y-Koordinate des Punktes. 

Die y-Koordinaten wiederholen sich nach einer ganzen Umdrehung. Wir können also erwarten, dass die Kurve des Sinus im Koordinatensystem das widerspiegeln wird. Weiterhin kann die y-Koordinate nie größer als 1 beziehungsweise kleiner als -1 werden, da der Punkt auf dem Einheitskreis „gefangen“ ist. Entsprechend erwarten wir, dass auch die Kurve des Sinus keine größeren Werte als 1 annimmt (beziehungsweise keine kleineren Werte als -1 für die Punkte unterhalb der x-Achse). Das folgende Bild soll die geometrische Konstruktion der Kurve zeigen.

Konstruktion der Kurve des Sinus, Sinuskurve
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Konstruktion der Kurve des Sinus als Funktion des Winkels.

Die Kurve, die den Verlauf der y-Koordinate in Abhängigkeit des Winkels \alpha zeigt, heißt Sinuskurve. Die Sinuskurve ist das Bild der sogenannten Sinusfunktion . In unserem extra Beitrag erfährst du mehr über ihre Eigenschaften.

Eine wichtige Eigenschaft, die dir vielleicht sofort aufgefallen ist, ist die Periodizität des Sinus. Das heißt, dass sich ein bestimmtes Muster (was der Bewegung einmal um den Kreis entspricht) ständig wiederholt. Genau diese Charakteristik macht die Sinusfunktion zu einem sehr nützlichen Werkzeug, um beispielsweise Wellenphänomene in der Physik oder Schaltkreise in der Elektrotechnik zu beschreiben.

Sinus berechnen

Einige Werte für den Sinus kannst du direkt anhand der Definition am Einheitskreis bestimmen. So ist zum Beispiel der Sinus von 90° genau 1, da die y-Koordinate des Punktes für diesen Winkel gerade 1 ist. Die folgende Tabelle zeigt die wichtigsten Werte.

\alpha 30° 45° 60° 90° 120° 150° 180°
\sin(\alpha) 0 \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} 1 \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{1}{2} 0
\alpha 210° 240° 270° 300° 330° 360°
\sin(\alpha) \frac{-1}{2} \frac{-\sqrt{3}}{2} -1 \frac{-\sqrt{3}}{2} \frac{-1}{2} 0

Eine andere Möglichkeit Winkel anzugeben, ist das Bogenmaß. Die Umrechnung basiert auf folgender Beziehung

1 \pi = 180°.

Wenn du beispielsweise wissen möchtest, wie ein Winkel von x° im Bogenmaß lautet, dann rechnest du

x=\frac{x^{\circ}}{180^{\circ}} \cdot \pi.

Auf deinem Taschenrechner findest du das Winkelmaß unter der Abkürzung „rad“ für englisch „radian“. 

Die Sinus Tabelle von vorhin sieht dann im Bogenmaß folgendermaßen aus.

\alpha 0 \frac{\pi}{6} \frac{\pi}{4} \frac{\pi}{3} \frac{\pi}{2} \frac{2\pi}{3} \frac{5\pi}{6} \pi
\sin(\alpha) 0 \frac{1}{2} \frac{\sqrt{2}}{2} \frac{\sqrt{3}}{2} 1 \frac{\sqrt{3}}{2} \frac{1}{2} 0
\alpha  \frac{7\pi}{6} \frac{4\pi}{3} \frac{3\pi}{2} \frac{5\pi}{3} \frac{11\pi}{6} 2\pi
\sin(\alpha) \frac{-1}{2} \frac{-\sqrt{3}}{2} -1 \frac{-\sqrt{3}}{2} \frac{-1}{2} 0

Wichtige Begriffe der Trigonometrie

Neben dem Sinus gibt es noch weitere Funktionen und wichtige Begriffe in der Trigonometrie, welche du kennen solltest.

In den extra Beiträgen erfährst du mehr dazu!

Sinus Aufgaben

In diesem Abschnitt rechnen wir gemeinsam zwei Aufgaben zum Sinus aus.

Aufgabe 1: Zwei Seiten gegeben

Das folgende rechtwinklige Dreieck ist gegeben.

Sinus Aufgabe
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Rechtwinkliges Dreieck für Aufgabe 1.

(a) Bestimme die fehlende Seite c.

(b) Bestimme die fehlenden Winkel \alpha und \beta.

Lösung Aufgabe 1

(a) Nach dem Satz des Pythagoras gilt

a^2 + b^2 = c^2.

Setzen wir in diese Gleichung die gegebenen Werte für die Seiten a und b ein, so erhalten wir

c^2 = (3)^2 +(4)^2 = 25

und nach ziehen der Wurzel

c = 5.

(b) Es gilt

\sin(\alpha) = \frac{a}{c} = \frac{3}{5}.

Wenden wir auf beiden Seiten die Umkehrfunktion an, so erhalten wir

\alpha = \sin^{-1}(\frac{3}{5}) = 36,87°.

In einem Dreieck ist die Summe aller Winkel gleich 180°. Demnach ergibt sich der fehlende Winkel \beta zu

\beta = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 36,86^{\circ}) = 53,14^{\circ}.

Aufgabe 2: Ein Winkel und die gegenüberliegende Seite gegeben

Das folgende rechtwinklige Dreieck ist gegeben.

Sinus Aufgabe
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Rechtwinkliges Dreieck für Aufgabe 2.

(a) Bestimme den fehlenden Winkel \beta.

(b) Bestimme die fehlenden Seiten b und c.

Lösung Aufgabe 2

(a) In einem Dreieck ist die Summe aller Winkel gleich 180°. Demnach berechnet sich der fehlende Winkel \beta zu

\beta = 180^{\circ} - (90^{\circ} + 45^{\circ}) = 45^{\circ}.

(b) Es gilt

\sin(\alpha) = \frac{a}{c}.

Stellen wir diese Gleichung nach c um, so erhalten wir

c = \frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{5}{\sin(45^{\circ})} = 5 \sqrt{2}.

Nach dem Satz des Pythagoras gilt

a^2 + b^2 = c^2.

Umgestellt auf b^2 erhalten wir

b^2 = c^2 - a^2

und nach Einsetzen der Werte für a und c

b^2 = (5 \sqrt{2})^2 - (5)^2 = 25.

Durch Wurzelziehen erhalten wir schließlich

b = 5.

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