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Wachstumsprozesse

In diesem Beitrag erklären wir dir verschiedene Wachstumsprozesse. Wir zeigen dir für alle Wachstumsprozesse die jeweilige Wachstumsfunktion und Beispiele.

Du möchtest das Thema Wachstumsprozesse in kurzer Zeit erlernen? Dann schaue dir einfach unser Video  dazu an.

Inhaltsübersicht

Wachstumsprozesse einfach erklärt  

Bei einem Wachstum handelt es sich um die zeitliche Entwicklung einer Population. Der Begriff Population ist abstrakt und kann für viele Größen stehen. Zum Beispiel kannst du dir darunter die Anzahl an verkauften Spielekonsolen, die Anzahl an Bakterien oder die Dicke eines Papiers vorstellen. Die Bezeichnung „zeitliche Entwicklung einer Population“ bedeutet also, dass du dir beispielsweise ansiehst, wie sich die Anzahl an Bakterien in einem Glas ändert, wenn du eine gewisse Zeit wartest.

Je nachdem mit welcher Wachstumsfunktion die zeitliche Entwicklung dargestellt werden soll, unterscheidest du verschiedene Wachstumsprozesse. Die Wachstumsprozesse, mit denen wir uns in diesem Beitrag beschäftigen werden, sind 

Wachstumsprozesse, Wachstumsfunktion, Population
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Übersicht aller Wachstumsprozesse aus diesem Beitrag.

Lineares Wachstum einfach erklärt  

Charakteristisch für lineares Wachstum ist die konstante Änderungsrate k. Das bedeutet, wenn du eine Zeiteinheit wartest (zum Beispiel eine Sekunde), dann wird sich die Population exakt um die Zahl k ändern. Wir können also folgendes festhalten.

Lineares Wachstum

Ist die Differenz zweier Werte der Population zu zwei benachbarten Zeitpunkten immer die gleiche Zahl, dann liegt lineares Wachstum vor. Insbesondere ist lineares Wachstum nicht beschränkt.

In der Realität sind aber viele Prozesse in der Tat beschränkt. Wachstumsprozesse, die eine solche Beschränktheit berücksichtigen, sind das beschränkte Wachstum und logistische Wachstum.

Einführendes Beispiel: Lineares Wachstum  

Nehmen wir an, dass du Geld für ein bald erscheinendes Videospiel zusammenlegen möchtest. Dafür nimmst du eine Gelddose und wirfst jeden Tag 2€ hinein. Eine Tabelle mit den Werten für die ersten zehn Tage sieht dann wie folgt aus:

Tag # 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Geld in € 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Erkennst du, wie sich die Geldmenge (die Population) von einem Tag zum nächsten immer um die Zahl 2 unterscheidet? Und genau das charakterisiert lineares Wachstum. Um zum Beispiel vom Wert nach 5 Tagen zum Wert nach 6 Tagen zu gelangen, rechnest du folgendes aus

Wert nach 6 Tagen = Wert nach 5 Tagen PLUS 2.

Das gilt für alle anderen benachbarten Zeitpunkte auch. Allgemein kannst du den Wert nach t Tagen folgendermaßen ausrechnen

Wert nach t Tagen = Wert nach 0 Tagen PLUS t \cdot 2.

Lineares Wachstum Beispiel
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Lineares Wachstum der gesammelten Geldmenge.

Lineares Wachstum Darstellungsformen  

In diesem Abschnitt zeigen wird dir die explizite und rekursive Darstellung für lineares Wachstum mit jeweils einem Beispiel.

Explizite Darstellung

Lineares Wachstum hat seinen Namen von der Form der Wachstumsfunktion. Die Wachstumsfunktion für lineares Wachstum ist eine lineare Funktion

Lineares Wachstum: Explizite Darstellung durch Wachstumsfunktion

Bezeichnen wir den Anfangsbestand mit B(0) und den Wachstumsfaktor mit k, dann lautet die Wachstumsfunktion für lineares Wachstum

B(t) = B(0) + k \cdot t.

Im einführenden Beispiel ist k = 2, da sich die Geldmenge immer um die Zahl 2 von einem Tag zum nächsten unterscheidet.

Beispiel

Nehmen wir zum Beispiel an, dass du Muskeln aufbauen möchtest. Dafür setzt du dir das Ziel jede Woche 0,3 Kilogramm an Gewicht zu gewinnen. Dein Startgewicht ist 65 Kilogramm. Wie sieht die Wachstumsfunktion für dieses Beispiel aus? Von Woche zu Woche wird sich dein Gewicht um die Zahl 0,3 ändern. Demnach ist k = 0,3. Du beginnst bei 65 Kilogramm, also ist B(0) = 65. Folglich lautet die Wachstumsfunktion

B(t) = 65 + 0,3 \cdot t.

Beachte, dass wir hier zur besseren Übersicht die Einheiten nicht hingeschrieben haben. Die Formel spiegelt genau dein Ziel wieder: Jede Woche wird sich dein Gewicht um 0,3 Kilogramm ändern. Oder, was gleichbedeutend ist, wird sich alle 20 Wochen dein Gewicht um 6 Kilogramm ändern. 

Lineares Wachstum Beispiel
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Lineares Wachstum beim Muskelaufbau.

Rekursive Darstellung

Beim einführenden Beispiel haben wir zwar die Wachstumsfunktion als eine Gerade gezeichnet, die Geldmengen zwischen benachbarten Zeiten existieren jedoch nicht. Von einem Tag zum nächsten wirfst du immer 2€ in deine Gelddose ein. Die Geldmenge hüpft also jeden Tag um den Wert 2. Eine Geldmenge von zum Beispiel 3,5€ oder 8,4€ kannst du nicht erzielen. 

In einem solchen, sogenannten diskreten Fall, kann lineares Wachstum auch rekursiv dargestellt werden. 

Lineares Wachstum: Rekursive Darstellung

Bezeichnen wir den Wert der Population zu einem Zeitpunkt t mit B_t und den Wert zu einem benachbarten Zeitpunkt t + 1 mit B_{t+1} dann lautet die rekursive Darstellung für lineares Wachstum

B_{t+1} = B_t + k.

Der Anfangsbestand B(0) wird dann mit B_0 dargestellt. Die Zahl k ist weiterhin der Wachstumsfaktor.

Beispiel

Nehmen wir an, dass du einen großzügigen Onkel hast, der bereit ist, dir ein neues Fahrrad zu kaufen. Dafür musst du aber einmal die Woche all seine Pflanzen im Garten gießen. Insgesamt brauchst du dafür jede Woche 20 Liter Wasser. Wie lautet die rekursive Darstellung für die verbrauchte Wassermenge?

Die verbrauchte Wassermenge am Anfang beträgt 0 Liter. Damit ist B_0 = 0. Jede Woche wirst du 20 Liter Wasser verwenden. Demnach wächst die verbrauchte Wassermenge pro Woche um 20 Liter. Nach einer Woche hast du 20 Liter verbraucht, nach zwei Wochen 40 Liter und so weiter. Also ist

B_1 = 20, B_2 = 40, B_3 = 60, ....

Nach t + 1 Wochen wirst du also

B_{t + 1} = B_t + 20

Liter verwendet haben.

Lineares Wachstum rekursive Darstellung Beispiel
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Rekursive Darstellung für lineares Wachstum der verbrauchten Wassermenge.

Änderungsrate

Wenn du die Population zum Zeitpunkt t + 1 nimmst und von ihr die Population zum Zeitpunkt t abziehst, erhältst du eine Größe, die sich absolute Änderungsrate \Delta B(t) nennt. Es gilt also

\Delta B(t) = B(t+1) - B(t) = (B(0) + k \cdot (t+1)) - (B(0) + k \cdot t) = k.

Wichtig ist zu erkennen, dass die absolute Änderungsrate konstant ist. Das ist die entscheidende Eigenschaft für lineares Wachstum. Das konnten wir bisher bei allen Beispielen sehen: Für gleiche Zeitschritte hat sich die Population um die gleiche Zahl verändert.

Nimmst du die absolute Änderungsrate und dividierst sie durch die Population, erhältst du die sogenannte relative Änderungsrate

\frac{\Delta B(t)}{B(t)} = \frac{k}{B(t)}.

Im Gegensatz zur absoluten Änderungsrate ist die relative Änderungsrate für lineares Wachstum nicht konstant.

Lineare Abnahme

Bisher haben wir uns eine Wachstumsfunktion für lineares Wachstum angesehen, die eine positive Steigung besitzt. Die Werte der Population sind somit mit der Zeit angestiegen und die Bezeichnung lineares Wachstum war zutreffend. Nun kann sich die Population aber mit der Zeit auch verringern. Stell dir dazu beispielsweise vor, dass du nicht Muskeln aufbauen möchtest, sondern an Gewicht verlieren willst. 

Auch solche zeitlichen Entwicklungen werden durch Wachstumsprozesse beschrieben, auch wenn eine Abnahme und kein Wachstum vorliegt. Die Wachstumsfunktion der einzelnen Wachstumsprozesse sieht dann meist nur bis auf ein zusätzliches Minuszeichen unverändert aus.

Lineare Abnahme: Wachstumsfunktion

Nimmt eine Population mit der Zeit linear ab (negative Steigung der Wachstumsfunktion), so beschreibt die Bezeichnung lineares Wachstum die zeitliche Entwicklung nicht mehr anschaulich. Stattdessen wird von linearer Abnahme gesprochen. Die Wachstumsfunktion lautet

B(t) = B(0) - k \cdot t.

Lineares Wachstum Aufgaben

In diesem Abschnitt schauen wir uns eine Aufgabe zum linearen Wachstum gemeinsam an.

Aufgabe: Ermitteln, ob lineares Wachstum vorliegt

Du hast folgende Tabelle gegeben, welche das Wachstum einer Population mit der Zeit t darstellen soll.

Zeit t Population B(t)
0 23
1 27,75
2 32,5
3 37,25
4 42
5 46,75

(a) Bestimme, ob sich diese Population durch lineares Wachstum modellieren lässt.

(b) Falls lineares Wachstum vorliegt, bestimme alle Parameter und schreibe die Wachstumsfunktion auf.

Lösung

(a) Für lineares Wachstum ist es charakteristisch, dass sich zwei Populationswerte zu zwei benachbarten Zeitpunkte immer um dieselbe Zahl unterscheiden. Um das für die gegebene Population zu überprüfen, füllen wir folgende Tabelle aus.

Zeitpunkte B(t+1) - B(t)
t = 0 und 1 4,75
t = 1 und 2 4,75
t = 2 und 3 4,75
t = 3 und 4 4,75
t = 4 und 5 4,75

Wir erkennen, dass sich benachbarte Populationswerte immer um die Zahl 4,75 unterscheiden. Daher lässt sich die Population durch lineares Wachstum modellieren.

(b) Zum Zeitpunkt t = 0 ist die Population 23. Somit ist B(0) = 23. Der Wachstumsfaktor k beträgt 4,75. Die Wachstumsfunktion für dieses Beispiel lautet daher

B(t) = B(0) + k \cdot t = 23 + 4,75 \cdot t.

Weitere Wachstumsprozesse

In diesem Abschnitt werden wir uns die anderen Wachstumsprozesse kurz ansehen. Dazu zählen exponentielles Wachstum , beschränktes Wachstum und logistisches Wachstum . Zu jedem dieser Wachstumsprozesse haben wir einen eigenen ausführlichen Beitrag. Möchtest du also mehr Details über diese Wachstumsprozesse erfahren, dann schau dir unsere extra Beiträge dazu an.

Exponentielles Wachstum  

Während lineares Wachstum durch eine konstante Änderungsrate charakterisiert wurde, ist die Änderungsrate bei exponentiellem Wachstum direkt proportional zur Population. In Worten bedeutet das: Je mehr vorhanden ist, umso mehr kommt im nächsten Zeitschritt hinzu. Das zeigt sich in der folgenden definierenden Eigenschaft des exponentiellen Wachstums.

Merke

Unterscheiden sich die Werte der Population zwischen zwei benachbarten Zeitpunkten immer um den gleichen Faktor, dann liegt exponentielles Wachstum vor.

Es ist also wie lineares Wachstum nicht beschränkt. Du findest für diesen Wachstumsprozess auch die Bezeichnung unbegrenztes Wachstum. Beachte, dass die definierende Eigenschaft ähnlich zu der für lineares Wachstum klingt. Der Unterschied ist jedoch, dass bei exponentiellem Wachstum multipliziert und bei linearem Wachstum addiert wird.

Exponentielles Wachstum/Exponentielle Abnahme

Die Wachstumsfunktion lautet

B(t) = B(0) \cdot k^t.

Ist k>1, dann handelt es sich um ein Wachstum der Population. Gilt hingegen 0<k<1, dann ist die Rede von exponentieller Abnahme (auch exponentieller Zerfall genannt).

Beispiel: Wachstum einer unbekannten Spezies

Du hast eine unbekannte Spezies vor dir liegen. Jeden Tag misst du die Anzahl und notierst dir diese. Nach einer Woche stellst du fest, dass sich die Anzahl jeden Tag verdreifacht hat. Das heißt, zwischen der Anzahl an einem bestimmten Tag und der Anzahl zum darauffolgenden Tag liegt immer der Faktor 3. Als Formel könntest du die Anzahl folgendermaßen ausdrücken.

B(t) = B(0) \cdot 3^t

Hier steht das B(t) für die Anzahl nach t Tagen und B(0) für die Anzahl am Anfang, also den Wert deiner ersten Messung.

Beschränktes Wachstum  

Die bisherigen Wachstumsprozesse waren unbeschränkt. Die Werte konnten also beliebig positiv oder beliebig negativ werden. In der Realität sind aber viele Prozesse beschränkt. Daher werden Wachstumsprozesse benötigt, bei denen die Wachstumsfunktion nicht beliebig große oder kleine Werte annehmen kann.

Beschränktes Wachstum gehört zu solchen Wachstumsprozessen. Es besitzt eine Besonderheit, nämlich die Existenz einer natürlichen Schranke. Diese Schranke kann die Population nach oben oder nach unten beschränken. Das heißt, dass die Population die Schranke niemals überschreitet (bei nach oben beschränktem Wachstum) beziehungsweise unterschreitet (bei nach unten beschränktem Wachstum).

Beschränktes Wachstum/Beschränkte Abnahme

Die Wachstumsfunktion lautet

B(t) = S - (S - B(0))e^{-kt}.

Ist S > B(0), dann handelt es sich um ein Wachstum der Population. Gilt hingegen S < B(0), dann ist die Rede von beschränkter Abnahme (auch beschränkter Zerfall genannt).

Beispiel: Anzahl an gelesenen Buchseiten

Du hast dir ein neues Buch gekauft und möchtest dieses unbedingt fertig lesen. Da du dir das Buch neu gekauft hast, wirst du noch keine Seiten gelesen haben. Am Anfang findest du das Buch unglaublich spannend. Bereits nach 3 Tagen hast du 150 von insgesamt 450 Seiten gelesen.  Doch mit der Zeit stellst du fest, dass das Buch weniger spannend wird und du liest jeden Tag immer weniger Seiten. Trotzdem möchtest du das Buch auf jeden Fall zu Ende lesen. 

Die Anzahl an gelesenen Seiten ist nach oben beschränkt, da du nicht mehr als 450 Seiten lesen kannst. Damit ist 450 der Wert der natürlichen Schranke S. Da du zu Beginn noch keine Seite gelesen hast, ist B(0) = 0. Formal könntest du die Anzahl an gelesenen Seiten (unser B(t)) folgendermaßen ausrechnen.

B(t) = 450 - (450 - 0) \cdot e^{-0,135 \cdot t}

Wenn du dich wunderst, wie wir den Wert für k bestimmen konnten, dann schaue bei unserem Beitrag zum beschränkten Wachstum vorbei.

Logistisches Wachstum  

Das logistische Wachstum gehört ebenfalls zu den beschränkten Wachstumsprozessen. Ähnlich zum beschränkten Wachstum, existiert auch bei logistischem Wachstum eine natürliche Schranke. Diese wird als Sättigungsgrenze oder obere Schranke bezeichnet.

Merke

Bei logistischem Wachstum wird eine bestimmte Ressource mit dem Wachstum der Population verbraucht .

Der Verbrauch der Ressource führt dazu, dass das Wachstum immer kleiner wird, bis es schließlich zum Stillstand kommt. 

Logistisches Wachstum

Die Wachstumsfunktion lautet

B(t) = G \cdot \frac{1}{1 + e^{-k \cdot G \cdot t}\left(\frac{G}{B(0)} - 1\right)}.

Die Population zum Zeitpunkt t = 0 ist immer größer als Null, es gilt also B(0) > 0. Der Buchstabe G steht für die Sättigungsgrenze.

Beispiel: Autos in einer Lagerhalle

Eine Lagerhalle hat Platz für insgesamt 200 Autos. Am Anfang stehen 40 Autos in der Halle. Nach einer Woche wurden bereits 100 Autos in der Halle deponiert. Wie lautet die Wachstumsfunktion für diesen Fall?

Da sich zu Beginn 40 Autos in der Lagerhalle befanden, gilt B(0) = 40. Es können nicht mehr als 200 Autos gleichzeitig Platz in der Halle haben, also ist G = 200. Aus der Information, dass nach einer Woche bereits 100 Autos deponiert wurden, können wir den Wachstumsfaktor k bestimmen. Wir erhalten somit folgende Wachstumsfunktion

B(t) = 200 \cdot \frac{1}{1 + e^{-0,0069 \cdot 200 \cdot t}\left(\frac{200}{40} - 1\right)}.

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