Kosinussatz

In diesem Beitrag beschäftigen wir uns mit dem Kosinussatz und zeigen dir unter anderem verschiedene Aufgaben mit Lösungen.

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Inhaltsübersicht

Kosinussatz einfach erklärt
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Kosinussatz Formel
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Kosinussatz Aufgaben
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Kosinussatz Herleitung
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Kosinussatz einfach erklärt

Im Leben sind nicht alle Dreiecke rechtwinklig. Auch bei solchen Dreiecken, manchmal als allgemeine Dreiecke bezeichnet, möchte man Längen und Winkel berechnen können. Im Fall des rechtwinkligen Dreiecks kennst du wahrscheinlich die Methoden bereits: Satz des Pythagoras oder die Verwendung von Sinus, Kosinus und Tangens.

Wie aber funktioniert die Berechnung in einem allgemeinen Dreieck? Den Satz des Pythagoras kannst du nicht einfach so verwenden. Auch Sinus, Kosinus und Tangens werden dir ohne Weiteres nicht nützlich sein. Zur Hilfe kommt dir der Kosinussatz (auch Cosinussatz oder Cosinus Satz). Mit ihm kannst du in bestimmten Situationen fehlende Seiten und Winkel in einem Dreieck berechnen, in welchem es keinen rechten Winkel gibt. Wie der Kosinussatz lautet und wie du ihn konkret verwendest, erfährst du in den folgenden Abschnitten.

Kosinussatz Formel

„Wie lautet der Kosinussatz?“ könntest du dich nun fragen. In diesem Abschnitt beginnen wir daher mit der Aussage vom Kosinussatz (oder Cosinussatz) und illustrieren seinen Nutzen anhand eines konkreten Beispiels.

Kosinussatz (Cosinussatz)

Bezeichnen wir in einem Dreieck $\Delta$ ABC die Seiten mit den Buchstaben a, b und c und die gegenüberliegenden Winkel mit $\alpha$ , $\beta$ und $\gamma$ , dann gilt

$c^2 = a^2 + b^2 - 2 ab \cos(\gamma)$ ,

$b^2 = a^2 + c^2 - 2 ac \cos(\beta)$ und

$a^2 = b^2 + c^2 - 2 bc \cos(\alpha)$ .

In Worten: Kennst du zwei Seiten und den Winkel, den diese zwei Seiten einspannen, so kannst du die dritte Seite ausrechnen, die diesem Winkel gegenüberliegt.

Beachte die Ähnlichkeit zum Satz des Pythagoras. Deshalb wird der Kosinussatz auch als eine Erweiterung vom Satz des Pythagoras angesehen.

Allgemeines Dreieck mit beschrifteten Seiten und Winkeln für den Kosinussatz (Cosinussatz). — Allgemeines Dreieck für den Kosinussatz (Cosinussatz).

Beispiel

Wenn dir die Aussage vom Kosinussatz noch etwas abstrakt erscheint, mach dir keine Sorgen. Wir zeigen dir jetzt ein konkretes Beispiel, in welchem wir dir das Umstellen vom Kosinussatz illustrieren. Nehmen wir dazu an, dass folgende Informationen bekannt sind

$a = 3, c = 5, \beta = 75^{\circ}$ .

Wir möchten daraus die fehlende Seite , sowie die beiden Winkel $\alpha$ und $\gamma$ berechnen.

Wir haben zwei Seiten gegeben und den Winkel, den diese zwei Seiten einspannen. Nach dem Kosinussatz können wir daher die Seite ausrechnen, die diesem Winkel gegenüberliegt

$b^2 = a^2 + c^2 - 2 ac \cos(\beta) = (3)^2 + (5)^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(75^{\circ}) = 26,24$ .

Ziehen wir nun auf beiden Seiten die Wurzel , erhalten wir

b = 5,12 .

Jetzt kennen wir alle drei Seiten des Dreiecks. Damit können wir jeden Winkel des Dreiecks ausrechnen. Für den Winkel $\alpha$ besteht das Paar aus den Seiten und . Der Kosinussatz teilt uns mit, dass

$a^2 = b^2 + c^2 - 2 bc \cos(\alpha)$

gilt, oder umgestellt nach $\alpha$

$\alpha = \cos^{-1} \left (\frac{a^2 - (b^2 + c^2)}{-2bc} \right ) = \cos^{-1} \left (\frac{(3)^2 - ((5,12)^2 + (5)^2)}{-2 \cdot 5,12 \cdot 5} \right ) = 34,5^{\circ}$ .

Du könntest den fehlenden Winkel $\gamma$ ebenfalls mit dem Kosinussatz ausrechnen. Es geht jedoch auch einfacher, denn in einem Dreieck gilt

$\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}$

und umgestellt nach $\gamma$

$\gamma = 180^{\circ} - (\alpha + \beta) = 180^{\circ}-(34,5^{\circ} + 75^{\circ}) = 70,5^{\circ}$ .

Genauso gut hättest du erst den Winkel $\gamma$ mit dem Kosinussatz ausrechnen können und dann den Winkel $\alpha$ .

Du solltest dir aber merken, dass der Kosinussatz nur weiterhelfen kann, wenn der Winkel zwischen den zwei bekannten Seiten angegeben ist. Ist stattdessen ein anderer Winkel gegeben, so kann dir der Kosinussatz in dieser Situation nicht mehr weiterhelfen. Hier könnte dir aber der Sinussatz %verlinken, sobald Beitrag dazu veröffentlicht wurde nützlich sein.

Kosinussatz Aufgaben

In diesem Abschnitt rechnen wir gemeinsam zwei Aufgaben. Beide beinhalten das Umstellen des Kosinussatzes und die Berechnung unbekannter Winkel und Seiten.

Aufgabe 1: Kosinussatz umstellen

In einem allgemeinen Dreieck sind folgende Größen bekannt

$b = 4, c = 6, \alpha = 50^{\circ}$ .

(a) Bestimme die fehlende Seite .

(b) Berechne die fehlenden Winkel $\beta$ und $\gamma$ .

Lösung Aufgabe 1

(a) Nach dem Kosinussatz gilt

$a^2 = b^2 + c^2 - 2 bc \cos(\alpha)$ .

Einsetzen der gegebenen Zahlenwerte ergibt

$a^2 = (4)^2 + (6)^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos(50^{\circ}) = 21,15$ .

Durch Ziehen der Wurzel erhalten wir für die Seite

a = 4,6 .

(b) Der Kosinussatz sagt, dass

$b^2 = a^2 + c^2 - 2 ac \cos(\beta)$

gilt. Umgestellt auf den Winkel $\beta$ erhalten wir

$\beta = \cos^{-1} \left (\frac{b^2 - (a^2 + c^2)}{-2ac} \right ) = \cos^{-1} \left (\frac{(4)^2 - ((4,6)^2 + (6)^2)}{-2 \cdot 4,6 \cdot 6} \right ) = 41,8^{\circ}$ .

Der Winkel $\gamma$ ergibt sich dann zu

$\gamma = 180^{\circ} - (\alpha + \beta) = 180^{\circ} - (50^{\circ} + 41,8^{\circ}) = 88,2^{\circ}$ .

(c) Das Dreieck mit den korrekten Zahlenwerten kann folgendermaßen aussehen. Beachte, dass die Form deines Dreiecks sich von dem hier gezeigten unterscheiden kann. Es kommt nicht auf die Form an, sondern auf die Angabe der Zahlenwerten an den richtigen Positionen.

Aufgabe 2: Kosinussatz umstellen

In einem allgemeinen Dreieck sind folgende Größen bekannt

$a = 8, c = 12, \beta = 65^{\circ}$ .

(a) Bestimme die fehlende Seite .

(b) Berechne die fehlenden Winkel $\alpha$ und $\gamma$ .

Lösung Aufgabe 2

(a) Nach dem Kosinussatz gilt

$b^2 = a^2 + c^2 - 2 ac \cos(\beta)$ .

Einsetzen der gegebenen Zahlenwerte ergibt

$b^2 = (8)^2 + (12)^2 - 2 \cdot 8 \cdot 12 \cdot \cos(65^{\circ}) = 126,86$ .

Durch Ziehen der Wurzel erhalten wir für die Seite

b = 11,3 .

(b) Der Kosinussatz sagt, dass

$a^2 = b^2 + c^2 - 2 ac \cos(\alpha)$

gilt. Umgestellt auf den Winkel $\alpha$ erhalten wir

$\alpha = \cos^{-1} \left (\frac{a^2 - (b^2 + c^2)}{-2bc} \right ) = \cos^{-1} \left (\frac{(8)^2 - ((11,3)^2 + (12)^2)}{-2 \cdot 11,3 \cdot 12} \right ) = 40^{\circ}$ .

Der Winkel $\gamma$ ergibt sich dann zu

$\gamma = 180^{\circ} - (\alpha + \beta) = 180^{\circ} - (40^{\circ} + 65^{\circ}) = 75^{\circ}$ .

Kosinussatz Herleitung

Du kennst nun den Kosinussatz (Cosinussatz) und weißt, wie du ihn auf gesuchte Größen umstellen kannst. In diesem Abschnitt zeigen wir dir einen geometrischen Beweis für den Kosinussatz. Für den interessierten Leser befindet sich am Ende des Artikels ein Beweis durch die Verwendung des etwas fortgeschritteneren Konzepts eines Vektors.

Geometrischer Beweis ohne stumpfen Winkel

Für den geometrischen Beweis betrachten wir das folgende Dreieck. Wir haben eine zur Seite senkrechte Linie eingezeichnet, die durch den Punkt verläuft. Diese gestrichelt dargestellte Linie wird mit h_b bezeichnet und teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke $\Delta$ ADB und $\Delta$ DCB auf. Zusätzlich wird die Seite in den zwei Teilseiten l_1 und l_2 (orange dargestellt) zerlegt. Ziel ist es, einen Zusammenhang zwischen den Seiten und , den dazwischen liegenden Winkel $\gamma$ und der gegenüberliegenden Seite zu finden.

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Im Teildreieck $\Delta$ ADB gilt nach dem Satz des Pythagoras

c^2 = h_b^2 + l_1^2 .

Wir müssen nun versuchen, die Länge h_b^2 und die Länge l_1^2 durch die Seiten und sowie den Winkel $\gamma$ zu ersetzen. Zunächst halten wir fest, dass im Teildreieck $\Delta$ DCB gilt

h_b^2 = a^2 - l_2^2 .

Ebenso gilt in diesem Teildreieck

$\cos(\gamma) = \frac{l_2}{a}$

oder umgestellt nach l_2

$l_2 = a \cdot \cos(\gamma)$ .

Weiterhin gilt

b = l_1 + l_2

oder umgestellt nach l_1

$l_1 = b - l_2 = b - a \cdot \cos(\gamma)$ .

Setzen wir diese Informationen in die erste Gleichung für c^2 ein, so erhalten wir

$c^2 = h_b^2 + l_1^2 = (a^2 - l_2^2) + (b - a \cdot \cos(\gamma))^2 = (a^2 - (a \cdot \cos(\gamma))^2) + (b - a \cdot \cos(\gamma))^2$

und unter Anwendung der Binomischen Formel

$c^2 = a^2 - a^2 \cdot \cos^2(\gamma) + b^2 - 2 ab \cos(\gamma) + a^2 \cdot \cos^2(\gamma)$ .

Die Zahl $a^2 \cdot \cos^2(\gamma)$ hebt sich auf und unser Endresultat lautet

$c^2 = a^2 + b^2 - 2 ab \cos(\gamma)$ ,

was gerade die Aussage vom Kosinussatz ist.

Auf ähnliche Weise kannst du die Höhen h_a (die zur Seite senkrechte Linie durch den Punkt ) und h_c (die zur Seite senkrechte Linie durch den Punkt ) einzeichnen. Auch diese beiden konstruierten Linien werden jeweils das Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke unterteilen. Analog zur vorhin gezeigten Berechnung erhalten wir die Gleichungen

$b^2 = a^2 + c^2 - 2 ac \cos(\beta)$ für die Höhe h_a und

$a^2 = b^2 + c^2 - 2 bc \cos(\alpha)$ für die Höhe h_c .

Hinweis: Wir haben hier den Kosinussatz unter der Annahme hergeleitet, dass keiner der drei Winkel ein stumpfer Winkel ist. Der Kosinussatz gilt aber auch, wenn ein Winkel größer als 90° ist. Die Herleitung dafür ist zwar ein wenig komplizierter, verläuft aber sehr ähnlich. Der interessierte Leser findet die Herleitung dafür am Ende des Artikels.

Ergänzung: Geometrischer Beweis mit stumpfem Winkel

Hierzu betrachten wir das folgende Dreieck. Die Problematik kommt dadurch zustande, dass der Winkel $\beta$ größer ist als 90°. Daher lässt sich das Dreieck nicht wie vorhin in zwei rechtwinklige Teildreiecke unterteilen. Stattdessen musst du das Dreieck geschickt fortsetzen.

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Im Teildreieck $\Delta$ ABD gilt

c^2 = h'^2 + l_1^2 .

Wir müssen nun die Längen und l_1 durch die Größen , und $\gamma$ ausdrücken. Zunächst stellen wir fest, dass im Teildreieck $\Delta \text{ACD}$ gilt

h'^2 = b^2 - l_2^2 .

Ebenso gilt in diesem Teildreieck

$\cos(\gamma) = \frac{l_2}{b}$

oder umgestellt nach l_2

$l_2 = b \cdot \cos(\gamma)$ .

Damit ergibt sich h'^2 zu

$h'^2 = b^2 - l_2^2 = b^2 - b^2 \cdot \cos^2(\gamma)$ .

Für die Länge l_1 gilt

$l_1 = l_2 - a = b \cdot \cos(\gamma) - a$ .

Setzen wir nun diese Relationen in die Gleichung für c^2 ein, so erhalten wir

$c^2 = h'^2 + l_1^2 = b^2 - b^2 \cdot \cos^2(\gamma) + (b \cdot \cos(\gamma) - a)^2$

und durch Verwendung der binomischen Formel

$c^2 = b^2 - b^2 \cdot \cos^2(\gamma) + b^2 \cdot \cos^2(\gamma) - 2 ab \cos(\gamma) + a^2$ .

Wenn wir nun noch die Zahl $b^2 \cdot \cos^2(\gamma)$ kürzen, so ergibt sich

$c^2 = a^2 + b^2 - 2 ab \cos(\gamma)$ ,

was gerade die Aussage vom Kosinussatz (Cosinussatz) ist.

Fortgeschritten: Beweis durch Vektorrechnung

Für die Herleitung mittels Vektorrechnung denken wir uns die Seiten des Dreiecks als Vektoren, wie das folgende Bild zeigt.

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Wenn wir uns vom Punkt in Richtung Punkt und dann in Richtung Punkt bewegen, erreichen wir den selben Punkt wie bei der direkten Bewegung vom Punkt nach Punkt . In Vektoren lässt sich das folgendermaßen ausdrücken

$\vec{B} + \vec{C} = \vec{A}$ ,

wobei $\vec{B}$ die „Bewegung von C nach A“, $\vec{C}$ die „Bewegung von A nach B“ und $\vec{A}$ die „Bewegung von C nach B“ darstellt.

Umgestellt nach $\vec{C}$ erhalten wir

$\vec{C} = \vec{A} - \vec{B}$ .

Wir interessieren uns für die Länge der Seite , was gerade der „Länge“ des Vektors $\vec{C}$ entspricht. In der Vektorrechnung ergibt sich die „Länge“ eines Vektors zum Quadrat durch Bildung des Skalarprodukts des Vektors mit sich selbst.

Ausgedrückt durch die beiden anderen Vektoren bekommen wir

$\vec{C} \cdot \vec{C} = (\vec{A} - \vec{B}) \cdot (\vec{A} - \vec{B}) = \vec{A} \cdot \vec{A} + \vec{B} \cdot \vec{B} - 2\vec{A} \cdot \vec{B}$ .

Bezeichnen wir die Länge eines Vektors $\vec{v}$ durch (das heißt wir lassen den Pfeil weg), dann gilt für das Skalarprodukt zwischen zwei Vektoren $\vec{v}$ und $\vec{w}$

$\vec{v} \cdot \vec{w} = vw \cos(\theta)$ ,

wobei $\theta$ der Winkel ist, den die beiden Vektoren einspannen.

Damit erhalten wir

$C^2 = \vec{C} \cdot \vec{C} = A^2 + B^2 - 2AB \cos(\gamma)$ ,

was gerade der Kosinussatz (Cosinussatz) ist.

Beachte, dass diese Methode den Cosinus Satz für alle Fälle abdeckt, egal ob mit oder ohne stumpfen Winkel. Diese „Bequemlichkeit“ bezahlt man aber mit dem Preis, dass mit dem abstrakten Konzept eines Vektors hantiert werden muss.

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