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Kosinussatz

Wichtige Inhalte in diesem Video

Der Kosinussatz ist eine wichtige Formel in der Trigonometrie. Wie genau er lautet und wie du damit rechnest, erfährst du hier und in unserem Video !

Inhaltsübersicht

Kosinussatz einfach erklärt

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(00:13)

Der Kosinussatz gibt dir die Beziehung zwischen den drei Seiten und einem Winkel in einem Dreieck an. Er hilft dir dabei,

aus zwei Seiten und dem eingeschlossenen Winkel die dritte Seite zu berechnen
aus drei Seiten einen Winkel zu berechnen.

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Am Dreieck siehst du, dass du die Seiten mit a, b und c und die Winkel mit α, β und γ bezeichnest. Damit kannst du den Kosinussatz mathematisch aufschreiben. Er hat drei Varianten, je nach dem, welche Seiten und Winkel du suchst:

a² = b² + c² – 2bc • cos(α)

b² = a² + c² – 2ac • cos(β)

c² = a² + b² – 2ab • cos(γ)

Aber wie wendest du den Satz an? Das erfährst du jetzt an einem Beispiel.

Kosinussatz Beispiel

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(00:51)

Schau dir ein Dreieck mit den folgenden Seiten und Winkeln an: a = 3 cm, c = 5 cm und β = 75°. Wie lang ist die Seite b?

An der Skizze siehst du, dass du zwei Seiten und den eingeschlossenen Winkel β gegeben hast. Du kannst also den Kosinussatz anwenden. Dann gehst du so vor:

Schritt 1: Suche die Variante des Kosinussatzes heraus, in der der gegebene Winkel vorkommt. Hier ist das die zweite Variante:

b² = a² + c² – 2ac • cos(β)

Schritt 2: Kosinussatz umstellen nach der gesuchten Größe. Hier suchst du b, also musst du nur die Wurzel ziehen.

$\begin{align*} \textcolor{blue}{b}^2 &= \textcolor{red}{a}^2 + \textcolor{teal}{c}^2 -2\textcolor{red}{a} \textcolor{teal}{c} \cdot \cos(\textcolor{blue}{\beta}) &|\sqrt{...} \\ \textcolor{blue}{b} &= \sqrt{\textcolor{red}{a}^2 + \textcolor{teal}{c}^2 -2\textcolor{red}{a} \textcolor{teal}{c} \cdot \cos(\textcolor{blue}{\beta})} \end{align*}$

Schritt 3: Setze die Werte ein und rechne aus.

$\textcolor{blue}{b} &= \sqrt{\textcolor{red}{a}^2 + \textcolor{teal}{c}^2 -2\textcolor{red}{a} \textcolor{teal}{c} \cdot \cos(\textcolor{blue}{\beta})} = \sqrt{\textcolor{red}{3}^2 + \textcolor{teal}{5}^2 -2\cdot \textcolor{red}{3} \cdot \textcolor{teal}{5} \cdot \cos(\textcolor{blue}{75^{\circ}})} = \sqrt{9 + 25 -30 \cdot \cos(\textcolor{blue}{75^{\circ}})} \approx 5,12$

Die Seite b ist also ungefähr 5,12 cm lang.

Schon gewusst? Der Kosinussatz wird manchmal auch als verallgemeinerter Satz des Pythagoras bezeichnet. Der Satz des Pythagoras gilt nämlich nur im rechtwinkligen Dreieck, also wenn γ = 90° ist. Dann ist cos(γ) = cos(90°) = 0. Wenn du das in die dritte Variante des Kosinussatzes einsetzt, erhältst du c² = a² + b², also genau den Satz des Pythagoras.

Kosinussatz Aufgaben

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(01:53)

In diesem Abschnitt findest du noch zwei weitere Aufgaben zum Kosinussatz. Du musst beides mal den Kosinussatz umstellen und unbekannte Winkel und Seiten berechnen.

Achtung! Du kannst den Kosinussatz nur verwenden, wenn du zwei Seiten und den Winkel dazwischen kennst. Ist der Winkel gegenüber einer Seite bekannt, kann dir stattdessen oft der Sinussatz weiterhelfen.

Aufgabe 1: Kosinussatz umstellen

In einem allgemeinen Dreieck sind folgende Größen bekannt

$b = 4, \; c = 6, \; \alpha = 50^{\circ}$ .

(a) Bestimme die fehlende Seite .

(b) Berechne die fehlenden Winkel $\beta$ und $\gamma$ .

Lösung Aufgabe 1

(a) Nach dem Kosinussatz gilt

$a^2 = b^2 + c^2 - 2 bc \cdot \cos(\alpha)$ .

Einsetzen der gegebenen Zahlenwerte ergibt

$a^2 = (4)^2 + (6)^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos(50^{\circ}) \approx 21,15$ .

Durch Ziehen der Wurzel erhalten wir für die Seite

$a \approx 4,6$ .

(b) Die Formel vom Kosinussatz sagt, dass

$b^2 = a^2 + c^2 - 2 ac \cdot \cos(\beta)$

gilt. Umgestellt auf den Winkel $\beta$ erhalten wir

$\beta = \cos^{-1} \left (\frac{b^2 - (a^2 + c^2)}{-2ac} \right ) = \cos^{-1} \left (\frac{(4)^2 - ((4,6)^2 + (6)^2)}{-2 \cdot 4,6 \cdot 6} \right ) \approx 41,8^{\circ}$ .

Der Winkel $\gamma$ ergibt sich dann zu

$\gamma = 180^{\circ} - (\alpha + \beta) = 180^{\circ} - (50^{\circ} + 41,8^{\circ}) = 88,2^{\circ}$ .

(c) Das Dreieck mit den korrekten Zahlenwerten kann folgendermaßen aussehen. Beachte, dass die Form deines Dreiecks sich von dem hier gezeigten unterscheiden kann. Es kommt nicht auf die Form an, sondern auf die Angabe der Zahlenwerten an den richtigen Positionen.

Aufgabe 2: Kosinussatz umstellen

In einem allgemeinen Dreieck sind folgende Größen bekannt

$a = 8, \; c = 12, \; \beta = 65^{\circ}$ .

(a) Bestimme die fehlende Seite .

(b) Berechne die fehlenden Winkel $\alpha$ und $\gamma$ .

Lösung Aufgabe 2

(a) Nach dem Kosinussatz gilt

$b^2 = a^2 + c^2 - 2 ac \cdot \cos(\beta)$ .

Einsetzen der gegebenen Zahlenwerte ergibt

$b^2 = (8)^2 + (12)^2 - 2 \cdot 8 \cdot 12 \cdot \cos(65^{\circ}) \approx 126,86$ .

Durch Ziehen der Wurzel erhalten wir für die Seite

$b \approx 11,3$ .

(b) Die Formel vom Kosinussatz sagt, dass

$a^2 = b^2 + c^2 - 2 ac \cdot \cos(\alpha)$

gilt. Umgestellt auf den Winkel $\alpha$ erhalten wir

$\alpha = \cos^{-1} \left (\frac{a^2 - (b^2 + c^2)}{-2bc} \right ) = \cos^{-1} \left (\frac{(8)^2 - ((11,3)^2 + (12)^2)}{-2 \cdot 11,3 \cdot 12} \right ) \approx 40^{\circ}$ .

Der Winkel $\gamma$ ergibt sich dann zu

$\gamma = 180^{\circ} - (\alpha + \beta) = 180^{\circ} - (40^{\circ} + 65^{\circ}) = 75^{\circ}$ .

Kosinussatz Herleitung

Du kennst nun den Kosinussatz (Cosinussatz) und weißt, wie du ihn auf gesuchte Größen umstellen kannst. In diesem Abschnitt zeigen wir dir einen geometrischen Beweis für die Formel vom Kosinussatz.

Hierfür betrachten wir das folgende Dreieck. Wir haben eine zur Seite senkrechte Linie eingezeichnet, die durch den Punkt verläuft. Diese gestrichelt dargestellte Linie wird mit h_b bezeichnet und teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke $\Delta$ ADB und $\Delta$ DCB auf. Zusätzlich wird die Seite in den zwei Teilseiten l_1 und l_2 (orange dargestellt) zerlegt. Ziel ist es, einen Zusammenhang zwischen den Seiten und , den dazwischen liegenden Winkel $\gamma$ und der gegenüberliegenden Seite zu finden.

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Im Teildreieck $\Delta$ ADB gilt nach dem Satz des Pythagoras

c^2 = h_b^2 + l_1^2 .

Wir müssen nun versuchen, die Länge h_b^2 und die Länge l_1^2 durch die Seiten und sowie den Winkel $\gamma$ zu ersetzen. Zunächst halten wir fest, dass im Teildreieck $\Delta$ DCB gilt

h_b^2 = a^2 - l_2^2 .

Ebenso gilt in diesem Teildreieck

$\cos(\gamma) = \frac{l_2}{a}$

oder umgestellt nach l_2

$l_2 = a \cdot \cos(\gamma)$ .

Weiterhin gilt

b = l_1 + l_2

oder umgestellt nach l_1

$l_1 = b - l_2 = b - a \cdot \cos(\gamma)$ .

Setzen wir diese Informationen in die erste Gleichung für c^2 ein, so erhalten wir

$c^2 = h_b^2 + l_1^2 = (a^2 - l_2^2) + (b - a \cdot \cos(\gamma))^2 = (a^2 - (a \cdot \cos(\gamma))^2) + (b - a \cdot \cos(\gamma))^2$

und unter Anwendung der Binomischen Formel

$c^2 = a^2 - a^2 \cdot \cos^2(\gamma) + b^2 - 2 ab \cdot \cos(\gamma) + a^2 \cdot \cos^2(\gamma)$ .

Die Zahl $a^2 \cdot \cos^2(\gamma)$ hebt sich auf und unser Endresultat lautet

$c^2 = a^2 + b^2 - 2 ab \cos(\gamma)$ ,

was gerade die Aussage vom Kosinussatz ist.

Auf ähnliche Weise kannst du die Höhen h_a (die zur Seite senkrechte Linie durch den Punkt ) und h_c (die zur Seite senkrechte Linie durch den Punkt ) einzeichnen. Auch diese beiden konstruierten Linien werden jeweils das Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke unterteilen. Analog zur vorhin gezeigten Berechnung erhalten wir die Gleichungen

$b^2 = a^2 + c^2 - 2 ac \cos(\beta)$ für die Höhe h_a und

$a^2 = b^2 + c^2 - 2 bc \cos(\alpha)$ für die Höhe h_c .

Hinweis: Wir haben hier die Kosinussatz Formel unter der Annahme hergeleitet, dass keiner der drei Winkel ein stumpfer Winkel ist. Der Kosinussatz gilt aber auch, wenn ein Winkel größer als 90° ist. Die Herleitung dafür ist zwar ein wenig komplizierter, verläuft aber sehr ähnlich.

Cosinus, Sinus und Tangens

Super du kannst jetzt den Kosinussatz anwenden um fehlende Seiten und Winkel in einem allgemeinen Dreieck zu berechnen! In einem Dreieck mit rechtem Winkel verwendest du dafür den Sinus , Cosinus oder Tangens. Der Tangens zeigt im rechtwinkligen Dreieck das Verhältnis zwischen Gegenkathete und Ankathete.

$tan(x) = \frac{Gegenkathete}{Ankathete} = \frac{sin(x)}{cos(x)}$

Um fehlende Werte im Dreieck in jeder Situation berechnen zu können, solltest du dir jetzt unbedingt noch unser Video dazu anschauen!

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