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Kosinussatz

In diesem Beitrag beschäftigen wir uns mit dem Kosinussatz und zeigen dir unter anderem verschiedene Aufgaben mit Lösungen. 

Du möchtest den Kosinussatz schnell verstehen und anwenden können? Dann ist unser Video genau das Richtige für dich!

Inhaltsübersicht

Kosinussatz einfach erklärt

Im Leben sind nicht alle Dreiecke rechtwinklig. Auch bei solchen Dreiecken, manchmal als allgemeine Dreiecke bezeichnet, möchte man Längen und Winkel berechnen können. Im Fall des rechtwinkligen Dreiecks kennst du wahrscheinlich die Methoden bereits:  Satz des Pythagoras oder die Verwendung von Sinus, Kosinus und Tangens. 

Wie aber funktioniert die Berechnung in einem allgemeinen Dreieck? Den Satz des Pythagoras kannst du nicht einfach so verwenden. Auch Sinus, Kosinus und Tangens werden dir ohne Weiteres nicht nützlich sein. Zur Hilfe kommt dir der Kosinussatz (auch Cosinussatz oder Cosinus Satz). Mit ihm kannst du in bestimmten Situationen fehlende Seiten und Winkel in einem Dreieck berechnen, in welchem es keinen rechten Winkel gibt. Wie der Kosinussatz lautet und wie du ihn konkret verwendest, erfährst du in den folgenden Abschnitten.

Kosinussatz Formel

„Wie lautet der Kosinussatz?“ könntest du dich nun fragen. In diesem Abschnitt beginnen wir daher mit der Aussage vom Kosinussatz (oder Cosinussatz) und illustrieren seinen Nutzen anhand eines konkreten Beispiels.

Kosinussatz (Cosinussatz)

Bezeichnen wir in einem Dreieck \DeltaABC die Seiten mit den Buchstaben a, b und c und die gegenüberliegenden Winkel mit \alpha, \beta und \gamma, dann gilt

c^2 = a^2 + b^2 - 2 ab \cos(\gamma),

b^2 = a^2 + c^2 - 2 ac \cos(\beta) und

a^2 = b^2 + c^2 - 2 bc \cos(\alpha).

In Worten: Kennst du zwei Seiten und den Winkel, den diese zwei Seiten einspannen, so kannst du die dritte Seite ausrechnen, die diesem Winkel gegenüberliegt.

Beachte die Ähnlichkeit zum Satz des Pythagoras. Deshalb wird der Kosinussatz auch als eine Erweiterung vom Satz des Pythagoras angesehen.

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Allgemeines Dreieck für den Kosinussatz (Cosinussatz).

Beispiel

Wenn dir die Aussage vom Kosinussatz noch etwas abstrakt erscheint, mach dir keine Sorgen. Wir zeigen dir jetzt ein konkretes Beispiel, in welchem wir dir das Umstellen vom Kosinussatz illustrieren. Nehmen wir dazu an, dass folgende Informationen bekannt sind

a = 3, c = 5, \beta = 75^{\circ}.

Wir möchten daraus die fehlende Seite b, sowie die beiden Winkel \alpha und \gamma berechnen.

Wir haben zwei Seiten gegeben und den Winkel, den diese zwei Seiten einspannen. Nach dem Kosinussatz können wir daher die Seite b ausrechnen, die diesem Winkel gegenüberliegt

b^2 = a^2 + c^2 - 2 ac \cos(\beta) = (3)^2 + (5)^2 - 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \cos(75^{\circ}) = 26,24.

Ziehen wir nun auf beiden Seiten die Wurzel , erhalten wir 

b = 5,12.

Jetzt kennen wir alle drei Seiten des Dreiecks. Damit können wir jeden Winkel des Dreiecks ausrechnen. Für den Winkel \alpha besteht das Paar aus den Seiten c und b. Der Kosinussatz teilt uns mit, dass 

a^2 = b^2 + c^2 - 2 bc \cos(\alpha)

gilt, oder umgestellt nach \alpha

\alpha = \cos^{-1} \left (\frac{a^2 - (b^2 + c^2)}{-2bc} \right ) = \cos^{-1} \left (\frac{(3)^2 - ((5,12)^2 + (5)^2)}{-2 \cdot 5,12 \cdot 5} \right ) = 34,5^{\circ}.

Du könntest den fehlenden Winkel \gamma ebenfalls mit dem Kosinussatz ausrechnen. Es geht jedoch auch einfacher, denn in einem Dreieck gilt

\alpha + \beta + \gamma = 180^{\circ}

und umgestellt nach \gamma

\gamma = 180^{\circ} - (\alpha + \beta) = 180^{\circ}-(34,5^{\circ} + 75^{\circ}) = 70,5^{\circ}.

Genauso gut hättest du erst den Winkel \gamma mit dem Kosinussatz ausrechnen können und dann den Winkel \alpha.

Du solltest dir aber merken, dass der Kosinussatz nur weiterhelfen kann, wenn der Winkel zwischen den zwei bekannten Seiten angegeben ist. Ist stattdessen ein anderer Winkel gegeben, so kann dir der Kosinussatz in dieser Situation nicht mehr weiterhelfen. Hier könnte dir aber der Sinussatz nützlich sein.

Kosinussatz Aufgaben

In diesem Abschnitt rechnen wir gemeinsam zwei Aufgaben. Beide beinhalten das Umstellen des Kosinussatzes und die Berechnung unbekannter Winkel und Seiten.

Aufgabe 1: Kosinussatz umstellen

In einem allgemeinen Dreieck sind folgende Größen bekannt

b = 4, c = 6, \alpha = 50^{\circ}.

(a) Bestimme die fehlende Seite a.

(b) Berechne die fehlenden Winkel \beta und \gamma.

(c) Zeichne das Dreieck mit den korrekten Zahlenwerten (Zeichnung muss nicht maßstabsgetreu sein).

Lösung Aufgabe 1

(a) Nach dem Kosinussatz gilt

a^2 = b^2 + c^2 - 2 bc \cos(\alpha).

Einsetzen der gegebenen Zahlenwerte ergibt

a^2 = (4)^2 + (6)^2 - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos(50^{\circ}) = 21,15.

Durch Ziehen der Wurzel erhalten wir für die Seite a

a = 4,6.

(b) Der Kosinussatz sagt, dass

b^2 = a^2 + c^2 - 2 ac \cos(\beta)

gilt. Umgestellt auf den Winkel \beta erhalten wir

\beta = \cos^{-1} \left (\frac{b^2 - (a^2 + c^2)}{-2ac} \right ) = \cos^{-1} \left (\frac{(4)^2 - ((4,6)^2 + (6)^2)}{-2 \cdot 4,6 \cdot 6} \right ) = 41,8^{\circ}.

Der Winkel \gamma ergibt sich dann zu

\gamma = 180^{\circ} - (\alpha + \beta) = 180^{\circ} - (50^{\circ} + 41,8^{\circ}) = 88,2^{\circ}.

(c) Das Dreieck mit den korrekten Zahlenwerten kann folgendermaßen aussehen. Beachte, dass die Form deines Dreiecks sich von dem hier gezeigten unterscheiden kann. Es kommt nicht auf die Form an, sondern auf die Angabe der Zahlenwerten an den richtigen Positionen.

Kosinussatz umstellen
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Kosinussatz umstellen Aufgabe 1.

Aufgabe 2: Kosinussatz umstellen

In einem allgemeinen Dreieck sind folgende Größen bekannt

a = 8, c = 12, \beta = 65^{\circ}.

(a) Bestimme die fehlende Seite b.

(b) Berechne die fehlenden Winkel \alpha und \gamma.

(c) Zeichne das Dreieck mit den korrekten Zahlenwerten (Zeichnung muss nicht maßstabsgetreu sein).

Lösung Aufgabe 2

(a) Nach dem Kosinussatz gilt

b^2 = a^2 + c^2 - 2 ac \cos(\beta).

Einsetzen der gegebenen Zahlenwerte ergibt

b^2 = (8)^2 + (12)^2 - 2 \cdot 8 \cdot 12 \cdot \cos(65^{\circ}) = 126,86.

Durch Ziehen der Wurzel erhalten wir für die Seite b

b = 11,3.

(b) Der Kosinussatz sagt, dass

a^2 = b^2 + c^2 - 2 ac \cos(\alpha)

gilt. Umgestellt auf den Winkel \alpha erhalten wir

\alpha = \cos^{-1} \left (\frac{a^2 - (b^2 + c^2)}{-2bc} \right ) = \cos^{-1} \left (\frac{(8)^2 - ((11,3)^2 + (12)^2)}{-2 \cdot 11,3 \cdot 12} \right ) = 40^{\circ}.

Der Winkel \gamma ergibt sich dann zu

\gamma = 180^{\circ} - (\alpha + \beta) = 180^{\circ} - (40^{\circ} + 65^{\circ}) = 75^{\circ}.

(c) Das Dreieck mit den korrekten Zahlenwerten kann folgendermaßen aussehen. Beachte, dass die Form deines Dreiecks sich von dem hier gezeigten unterscheiden kann. Es kommt nicht auf die Form an, sondern auf die Angabe der Zahlenwerten an den richtigen Positionen.

Kosinussatz Umstellen
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Kosinussatz umstellen Aufgabe 2.

Kosinussatz Herleitung

Du kennst nun den Kosinussatz (Cosinussatz) und weißt, wie du ihn auf gesuchte Größen umstellen kannst. In diesem Abschnitt zeigen wir dir einen geometrischen Beweis für den Kosinussatz.

Hierfür betrachten wir das folgende Dreieck. Wir haben eine zur Seite b senkrechte Linie eingezeichnet, die durch den Punkt B verläuft. Diese gestrichelt dargestellte Linie wird mit h_b bezeichnet und teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke \DeltaADB und \DeltaDCB auf. Zusätzlich wird die Seite b in den zwei Teilseiten l_1 und l_2 (orange dargestellt) zerlegt. Ziel ist es, einen Zusammenhang zwischen den Seiten a und b, den dazwischen liegenden Winkel \gamma und der gegenüberliegenden Seite c zu finden.

Kosinussatz Herleitung, Herleitung Kosinussatz
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Kosinussatz (Cosinussatz) geometrische Herleitung .

Im Teildreieck \DeltaADB gilt nach dem Satz des Pythagoras

c^2 = h_b^2 + l_1^2.

Wir müssen nun versuchen, die Länge h_b^2 und die Länge l_1^2 durch die Seiten a und b sowie den Winkel \gamma zu ersetzen. Zunächst halten wir fest, dass im Teildreieck \DeltaDCB gilt

h_b^2 = a^2 - l_2^2.

Ebenso gilt in diesem Teildreieck

\cos(\gamma) = \frac{l_2}{a}

oder umgestellt nach l_2

l_2 = a \cdot \cos(\gamma).

Weiterhin gilt 

b = l_1 + l_2

oder umgestellt nach l_1

l_1 = b - l_2 = b - a \cdot \cos(\gamma).

Setzen wir diese Informationen in die erste Gleichung für c^2 ein, so erhalten wir

c^2 = h_b^2 + l_1^2 = (a^2 - l_2^2) + (b - a \cdot \cos(\gamma))^2 = (a^2 - (a \cdot \cos(\gamma))^2) + (b - a \cdot \cos(\gamma))^2

und unter Anwendung der Binomischen Formel 

c^2 = a^2 - a^2 \cdot \cos^2(\gamma) + b^2 - 2 ab \cos(\gamma) + a^2 \cdot \cos^2(\gamma).

Die Zahl a^2 \cdot \cos^2(\gamma) hebt sich auf und unser Endresultat lautet

c^2 = a^2 + b^2 - 2 ab \cos(\gamma),

was gerade die Aussage vom Kosinussatz ist.

Auf ähnliche Weise kannst du die Höhen h_a (die zur Seite a senkrechte Linie durch den Punkt A) und h_c (die zur Seite c senkrechte Linie durch den Punkt C) einzeichnen. Auch diese beiden konstruierten Linien werden jeweils das Dreieck in zwei rechtwinklige Teildreiecke unterteilen. Analog zur vorhin gezeigten Berechnung erhalten wir die Gleichungen

b^2 = a^2 + c^2 - 2 ac \cos(\beta) für die Höhe h_a und

a^2 = b^2 + c^2 - 2 bc \cos(\alpha) für die Höhe h_c.

Hinweis: Wir haben hier den Kosinussatz unter der Annahme hergeleitet, dass keiner der drei Winkel ein stumpfer Winkel ist. Der Kosinussatz gilt aber auch, wenn ein Winkel größer als 90° ist. Die Herleitung dafür ist zwar ein wenig komplizierter, verläuft aber sehr ähnlich.

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