Analysis

Partielle Ableitungen

Bei der partiellen Ableitung werden Funktionen betrachtet, die eine Teilmenge des \mathbb{R}^n nach \mathbb{R} abbilden. Dabei wird eine solche Funktion, die von mehreren Variablen abhängt, nach nur einer dieser Variablen abgeleitet. Dazu werden die restlichen Variablen als Konstanten angesehen und die Funktion dadurch als Funktion einer Variablen betrachtet.

Inhaltsübersicht

Definition: Partielle Ableitung und partielle Differenzierbarkeit

Sei U\subset \mathbb{R}^n offen und f: U \longrightarrow \mathbb{R} eine reelwertige Funktion. Sei weiterhin x_0={(x}_{0_1},\ldots,x_{0_i},\ldots,x_{0_n})\in\ U ein Punkt aus U, dann heißt f in x_0 partiell differenzierbar nach der i-ten Variable x_i falls der Grenzwert

\frac{\partial f}{\partial x_i} (x_{0_1},\ldots,x_{0_i},\ldots,x_{0_n}) := \lim \limits_{h \rightarrow 0} \frac {f(x_{0_1},\ldots,x_{0_i}+h,\ldots,x_{0_n})-f(x_{0_1},\ldots,x_{0_i},\ldots,x_{0_n})}{h}

existiert. Diesen Grenzwert nennt man die i-te partielle Ableitung von f in x_0.

Schreibweisen der partiellen Ableitungen

In der gerade erfolgten Definition wurde eine Schreibweise der partiellen Ableitung benutzt, welche vom Symbol \partial Gebrauch macht. Dieses wird als „d“ oder auch als „del“ gesprochen. Äquivalente Schreibweisen bzw. Symbole der i-ten partiellen Ableitung in x_0 lauten:

\partial_{x_i}f\left(x_0\right)=\partial\ x_if{(x}_{0_1},\ldots,x_{0_i},\ldots,x_{0_n})

{f_{x_i}\left(x_0\right)=f}_{x_i}{(x}_{0_1},\ldots,x_{0_i},\ldots,x_{0_n})

{D_if\left(x_0\right)=D}_if{(x}_{0_1},\ldots,x_{0_i},\ldots,x_{0_n})

Partiell ableiten 

Eine Funktion f nach der i-ten Variable x_i partiell abzuleiten funktioniert, wie eingangs erwähnt, recht simpel. Man sieht alle anderen Variablen als Konstanten an. Dadurch kann die Funktion als Funktion der Variablen x_i angesehen werden. Die partielle Ableitung entspricht der gewöhnlichen Ableitung dieser Funktion.

Partiell ableiten: Beispiel 1 

Beispielsweise soll die partielle Ableitung der Funktion f\left(x_1,x_2,x_3\right)=x_1^2\cdot\ x_3+4x_2^3 nach der ersten Variablen x_1 bestimmt werden. Dabei können dann die Variablen x_2 und x_3 als konstant betrachtet werden. Die partielle Ableitung nach x_1 lautet demnach:

\frac{\partial f}{\partial x_1}\left(x_1,x_2,x_3\right)=2x_1\cdot\ x_3

Analog ergeben sich die partiellen Ableitungen nach den anderen beiden Variablen:

\frac{\partial f}{\partial x_2}\left(x_1,x_2,x_3\right)=12x_2^2

\frac{\partial f}{\partial x_3}\left(x_1,x_2,x_3\right)=x_1^2

Partiell ableiten: Beispiel 2

Betrachtet man Funktionen, welche von maximal drei Variablen abhängen, werden diese häufig nicht mit x_1,x_2,\ \ldots,\ x_n bezeichnet, sondern mit x, y und z. Ein solcher Fall soll im folgenden Beispiel behandelt werden: Betrachtet wird die Funktion \ f\left(x,y\right)=\sin{\left(x\right)}\cdot\ y^2 Die partiellen Ableitungen nach x bzw. nach y lauten:

\frac{\partial f}{\partial x}\left(x,y\right)=\cos{\left(x\right)}\cdot\ y^2

\frac{\partial f}{\partial y}\left(x,y\right)=sin(x)\cdot2y

Deutung der partiellen Ableitungen 

Die Bedeutung der partiellen Ableitungen einer Funktion f\left(x,y\right) die von den zwei Variablen x und y abhängt, lässt sich noch geometrisch interpretieren. Der Graph dieser Funktion lässt sich nämlich als Hügelfläche im Dreidimensionalen darstellen. Die partielle Ableitung nach x an der Stelle (x_0, y_0) gibt dann die Steigung des Graphen an dieser Stelle an, wenn man sich von dort aus in positive x-Richtung bewegt. Man kann sich das auch folgendermaßen vorstellen: Wird der Funktionsgraph von f mit einer Ebene geschnitten, die den Punkt \left(x_0,y_0,f\left(x_0,y_0\right)\right) enthält und parallel zur xf\left(x,y\right)-Ebene liegt, so ergibt sich eine Schnittkurve. Die partielle Ableitung nach x an der Stelle \left(x_0,y_0\right) ist dann gerade die Steigung der Tangente an dieser Schnittkurve.

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Veranschaulichung der partiellen Ableitung nach x durch einen dreidimensionalen Funktionsgraphen von f (blau) mit einer Schnittkurve (gelb) und der Tangenten (orange)

Für Funktionen, die von mehr als zwei Variablen abhängen, hält die geometrische Interpretation allerdings nicht mehr stand. Man kann hier die partielle Ableitung nach der i-ten Variable als die Änderungsrate des Funktionswertes an der Stelle \left(x_0,y_0\right) interpretieren, wenn man eine kleine Veränderung der i-ten Variable betrachtet.

Partielle Ableitungen höherer Ordnung

Partielle Ableitungen 1. Ordnung

Die bisher definierten partiellen Ableitungen einer Funktion werden auch als partielle Ableitungen 1. Ordnung bezeichnet. Ist die Funktion f:\mathbb{R}^n\supset\ U\rightarrow\mathbb{R} auf dem ganzen Definitionsbereich U partiell differenzierbar nach der i-ten Variable, so lässt sich die partielle Ableitungsfunktion ganz einfach wie folgt definieren:

\frac{\partial f}{\partial x_i}:x_0\longmapsto\frac{\partial f}{\partial x_i}\left(x_0\right)

Partielle Ableitungen 2. Ordnung 

Diese Funktion kann wiederum partiell nach einer Variablen x_j abgeleitet werden. Diese partielle Ableitung wird dann Partielle Ableitung 2. Ordnung genannt und mit folgender Schreibweise abgekürzt:

\frac{\partial}{\partial x_j}(\frac{\partial f}{\partial x_i})=\frac{\partial^2f}{\partial x_j\partial x_i}

Wird zweimal hintereinander die partielle Ableitung nach derselben Variablen x_i gebildet, wird das folgendermaßen notiert:

\frac{\partial}{\partial x_i}(\frac{\partial f}{\partial x_i})=\frac{\partial^2f}{\partial x_i^2}

Über die Vertauschbarkeit der zweiten Ableitungen macht der Satz von Schwarz eine Aussage: Ist f eine zweimal stetig partiell differenzierbare Funktion, so gilt für alle i,\ j\ =1,\ 2,\ \ldots,n:

\frac{\partial^2f}{\partial x_j\partial x_i}=\frac{\partial^2f}{\partial x_i\partial x_j}

Zur Verdeutlichung werden im Folgenden alle ersten und zweiten partiellen Ableitungen der Funktion f\left(x,y\right)=\sin{\left(x\right)}\cdot\ y^2 aus Beispiel 2 aufgelistet:

\frac{\partial f}{\partial x}\left(x,y\right)=cos{\left(x\right)}\cdot\ y^2

\frac{\partial^2f}{\partial x^2}=-sin\funcapply(x)\cdot\ y^2     \frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}=2\cdot \cos{\left(x\right)\cdot y}

 

\frac{\partial f}{\partial y}\left(x,y\right)=sin\funcapply(x)\cdot2y

\frac{\partial^2f}{\partial y^2}=sin\funcapply(x)\cdot 2     \frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}=cos{\left(x\right)\cdot2y }

Man sieht also, dass gilt: \frac{\partial^2f}{\partial y\partial x}=\frac{\partial^2f}{\partial x\partial y}

Ableitungsregeln

Wie bereits erwähnt, entspricht das partielle Ableiten nach der i-ten Variable genau dem herkömmlichen Ableiten, wenn die üblichen Variablen als Konstanten betrachtet werden. Daher gelten auch die üblichen Ableitungsregeln.

Summenregel

Für f\left(x\right)=u\left(x\right)+v\left(x\right) gilt:

f^\prime\left(x\right)=u^\prime\left(x\right)+v^\prime\left(x\right)

Beispielsweise gilt für f\left(x,\ y\right)=5x^3+4y^2+4x+2y:

\frac{\partial f}{\partial x}\left(x,y\right)=15x^2+4

\frac{\partial f}{\partial y}\left(x,y\right)=8y+2

Produktregel

Für f\left(x\right)=u\left(x\right)\cdot \ v\left(x\right) gilt:

f^\prime\left(x\right)=u^\prime\left(x\right)\cdot \ v\left(x\right)+u\left(x\right)\cdot \ v^\prime\left(x\right)

Beispielsweise gilt für f\left(x,\ y\right)=5x^3\cdot \ sin\left(x\right)\cdot 4y^2\cdot \ cos\left(y\right):

\frac{\partial f}{\partial x}\left(x,y\right)=15x^2\cdot \ sin\left(x\right)\cdot 4y^2\cdot \ cos\left(y\right)+5x^3\cdot \ cos\left(x\right)\cdot 4y^2\cdot \ cos\left(y\right)

\frac{\partial f}{\partial y}\left(x,y\right)=5x^3\cdot \ sin\left(x\right)\cdot 8y\cdot \ cos\left(y\right)-5x^3\cdot \ sin\left(x\right)\cdot 4y^2\cdot \ sin\left(y\right)

Quotientenregel

Für f\left(x\right)=\frac{u\left(x\right)}{v\left(x\right)} gilt:

f^\prime\left(x\right)=\frac{v\left(x\right)\cdot u^\prime\left(x\right)\ -\ u\left(x\right)\cdot v^\prime\left(x\right)}{\left(v\left(x\right)\right)^2}

Beispielsweise gilt für f\left(x,\ y\right)=\frac{x^2+2y}{5xy }:

\frac{\partial f}{\partial x}\left(x,y\right)=\frac{5xy\cdot 2x-{(x}^2+2y)\cdot 5y}{\left(5xy\right)^2}

\frac{\partial f}{\partial y}\left(x,y\right)=\frac{5xy\cdot 2-{(x}^2+2y)\cdot 5x}{\left(5xy\right)^2}

Kettenregel

Für f\left(x\right)=u(v\left(x\right)) gilt:

f^\prime\left(x\right)=u^\prime(v\left(x\right))\cdot \ v^\prime\left(x\right)

Beispielsweise gilt für f\left(x,\ y\right)=sin(x\cdot \ y^2):

\frac{\partial f}{\partial x}\left(x,y\right)=cos\left(x\cdot y^2\right)\cdot \ y^2

\frac{\partial f}{\partial y}\left(x,y\right)=cos\left(x\cdot y^2\right)\cdot \ x\cdot 2y

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