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Binomialverteilung

Wichtige Inhalte in diesem Video

Binomialverteilung einfach erklärt

Binomialverteilung Formel

Kumulierte Binomialverteilung

Binomialverteilung deskriptive Stochastik

Dieser Artikel behandelt das Thema Binomialverteilung. Hier bekommst du zunächst eine Definition der Binomialverteilung. Anschließend erklären wir die Formeln der Verteilung und werden anhand einiger Beispiele verschiedene Aufgaben berechnen.

Du möchtest ganz entspannt lernen? Dann schaue dir jetzt unser Video zum Thema an! Hier bekommst du alles was du zur Binomialverteilung wissen musst in nur wenigen Minuten perfekt aufbereitet.

Inhaltsübersicht

Binomialverteilung einfach erklärt

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Was ist eine Binomialverteilung? Wie die Silbe „Bi“ (lat. Zwei) schon andeutet dreht sich hier alles um ein Begriffspaar, nämlich „ja oder nein“. Habe ich einen Treffer gelandet oder nicht? Habe ich eine Erfolg oder einen Nicht-Erfolg zu verbuchen? Solchen „entweder oder“ Experimenten mit nur 2 möglichen Resultaten liegt die Binomialverteilung zugrunde. Man nennt diese auch Bernoulli Experimente .

Ein klassisches Beispiel für ein solches Experiment wäre ein Münzwurf, bei dem du nur Kopf oder Zahl erhalten kannst. Mit Hilfe der Wahrscheinlichkeitsfunktion und der Verteilungsfunktion der Binomialverteilung kannst du solche Bernoulli Experimente beschreiben und beispielsweise bestimmen, wie wahrscheinlich es ist, dass du bei n Würfen k Treffer landest.

Binomialverteilung Definition

Die Binomialverteilung ist eine der wichtigsten diskreten Verteilungen. Ein binomialverteiltes Zufallsexperiment entsteht durch n-fache Wiederholung eines Bernoulli Experiments. Man unterscheidet also nur zwischen Erfolg und Nicht-Erfolg.

Gelegentlich wird die Binomialverteilung auch als Bernoulli-Verteilung bezeichnet. Diese Bezeichnung ist selbstverständlich falsch!

Binomialverteilung Formel

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Die Dichte kannst du mit der folgenden Wahrscheinlichkeitsfunktion beschreiben:

Wenn X eine binomialverteilte Zufallsvariable ist $X \sim B(n,p)$ , dann ist

$f(k) = P(X=k) = \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)\cdot p^k\cdot(1-p)^n^-^k$

als die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung definiert. Der Parameter n steht dabei für die Anzahl der Ziehungen, p für die Wahrscheinlichkeit eines Erfolgs bzw. Treffers und k für die Anzahl der Erfolge. Bedenke, dass k je nach Autor auch häufig mit klein x abgekürzt wird. Lasse dich von der Bezeichnung also nicht verwirren.

Als alternative Schreibweise kann auch verwendet werden:

$B_n_,_p (k) =\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)\cdot p^k\cdot(1-p)^n^-^k$

Wie du sehen kannst ändert sich durch die unterschiedliche Schreibweise nichts an der eigentlichen Berechnung.

Der Parameter k repräsentiert wie bereits erwähnt die Anzahl der Erfolge bzw. Treffer (je nach Kontext). Der Ausdruck $\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)$ steht für den Binomialkoeffizienten. Dieser wird auch in der Kombinatorik verwendet. Du kannst ihn mit folgender Formel berechnen:

$\left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)=\frac{n!}{k!\cdot (n-k)!}$

Die Wahrscheinlichkeitsfunkton kann selbstverständlich auch graphisch abgetragen werden. Hier siehst du ein Zufallsexperiment mit 5 Ziehungen und einer Erfolgswahrscheinlichkeit von 0,5.

Die oben beschriebene Wahrscheinlichkeitsfunktion ist nur definiert für nicht negative k-Werte. Die negative Binomialverteilung ist ein Spezialfall mit hauptsächlicher Anwendung in der Versicherungsmathematik.

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Kumulierte Binomialverteilung

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Um die Verteilungsfunktion zu berechnen, kannst du die Wahrscheinlichkeiten entweder von Hand aufaddieren oder falls vorhanden, aus einer Tabelle zur Binomialverteilung (auch Verteilungstabelle genannt) ablesen.

Allgemein lässt sich die Verteilungsfunktion folgendermaßen ausdrücken:

$F(x)=\sum\nolimits_{k=0}^n f(k)=\sum\nolimits_{k=0}^n \left( \begin{array}{c} n \\ k \end{array} \right)\cdot p^k\cdot(1-p)^n^-^k$

Wenn du also zum Beispiel wissen möchtest, mit welcher Wahrscheinlichkeit du höchstens zwei Treffer erzielst, musst du die Wahrscheinlichkeiten für 0 Treffer, 1 Treffer und 2 Treffer aufsummieren. „x“, in diesem Fall 2, steht also für die Höchstwahrscheinlichkeit. Aufgrund des Summenzeichens setzt du für k 0, 1 und 2 ein und addierst anschließend die Wahrscheinlichkeiten für das gesuchte Ergebnis.

$P(X\le2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$

Selbstverständlich lässt sich die Verteilungsfunktion auch graphisch abtragen. In dieser Graphik sind die Verteilungen eingezeichnet, für den Fall das 5 Münzwürfe durchgeführt werden und die Erfolgswahrscheinlichkeit 50% beträgt.

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Binomialverteilung Beispiel

Ein klassisches Beispiel für ein binomialverteiltes Zufallsexperiment ist die Ziehung von Kugeln aus einer Urne, wobei beispielsweise das Ziehen einer roten Kugel als Erfolg und das Ziehen einer schwarzen Kugel als Nicht-Erfolg gewertet wird. Man kann statt Erfolg bzw. Nicht-Erfolg auch von Treffer und kein Treffer sprechen.

Binomialverteilung Aufgaben

Im Folgenden erhältst du weitere Beispiele für Aufgaben im Rahmen mit binomialverteilten Zufallsvariablen. Für diese Aufgaben sei n=10 und gegeben. Außerdem gilt: X ist eine Binomialverteilte Zufallsvariable X . Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit …

1) …für drei Erfolge/Treffer

$P(X=3)=\left( \begin{array}{c} 10\\ 3 \end{array} \right)\cdot \frac{1}{6}^3 \cdot(1-\frac{1}{6}^10^-^3) \approx 0,155$

2)…für höchstens einen Treffer

$P(X\leq 1) = \left( \begin{array}{c} 10\\ 0 \end{array} \right) \cdot(\frac{1}{6}^0)\cdot(1-\frac{1}{6}^1^0) +\left( \begin{array}{c} 10\\ 1 \end{array}\right)\cdot(\frac{1}{6}^1)\cdot(1-\frac{1}{6}^9) \approx 0,485$

Wie unter dem Absatz Verteilungsfunktion bereits erklärt, muss man bei der Binomialverteilung die einzelnen Wahrscheinlichkeiten aufaddieren. Für 2) haben wir also die Wahrscheinlichkeit für P(X=0) +P(X=1) aufaddiert. Alternativ kannst du natürlich auch das Ergebnis aus einer Verteilungstabelle ablesen, falls vorhanden.

3)…mindestens ein Treffer

$P\left(X\geq1\right)=1-P\left(X<1\right)=1-P\left(X\le0\right)=$

$1-\left( \begin{array}{c} 10\\ 0 \end{array} \right) \cdot(\frac{1}{6}^0)\cdot(\frac{5}{6} ^{10})=1-0,162\approx 0,838$

Hier subtrahieren wir 1 mit der Gegenwahrscheinlichkeit. Der große Vorteil, wir können $P(X\leq 0)$ ganz einfach äquivalent wie in Aufgabe 2) bestimmen.

4)… mehr als ein Treffer

$P\left(X>1\right)=1-P\left(X\le1\right)=1-0,485=0,515$

Auch hier arbeiten wir wieder, wie in Aufgabe 3), mit logischer Umwandlung in die Gegenwahrscheinlichkeit. Die Wahrscheinlichkeit für höchstens einen Treffer ist uns bereits aus Aufgabe 2) bekannt.

5)… weniger als ein Treffer

$P\left(X<1\right)=P(X\le0)=\ 0,162$

Die Wahrscheinlichkeit für höchstens 0 Treffer ist uns bereits aus Aufgabe 3 bekannt.

Binomialverteilung deskriptive Stochastik

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Im Folgenden findest du einen Überblick zu den wichtigsten Maßen im Zusammenhang mit der Binomialverteilung. Dazu gehören der Erwartungswert, die Varianz und die Standardabweichung.

Binomialverteilung Erwartungswert

Der Erwartungswert lässt sich ganz einfach mit folgender Formel berechnen:

$E(X)= n \cdot p$

Multipliziere die Anzahl an Ziehungen mit der Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg und du erhältst den Erwartungswert.

Binomialverteilung Varianz

Die Formel, zur Berechnung der Varianz einer binomialverteilten Zufallsvariable, sieht wie folgt aus:

$V(X)= n\cdot p\cdot(1-p)$

Auch diese kannst du also einfach durch Einsetzen der Parameter n und p berechnen.

Standardabweichung Binomialverteilung

Die Standardabweichung kann ganz einfach über den klassischen Weg aus der Varianz bestimmt werden.

s^2 =V(X)

Die $\sqrt{V(X)}$ ist also gleich der Standardabweichung.

Binomialkoeffizient

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In der Binomialverteilung kommt der Binomialkoeffizient n über k vor. Du weißt nicht mehr genau, wie du diesen Koeffizienten berechnen kannst? Kein Problem, in unserem Video zum Binomialkoeffizienten erklären wir es dir nochmal anschaulich! Schau es dir gleich an!

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