Lineare Algebra

In diesem Beitrag erklären wir dir, wie du Ungleichungen lösen kannst und welche Regeln du dabei beachten musst.

Inhaltsübersicht

Ungleichungen einfach erklärt

Bei Ungleichungen ist die eine Seite der Gleichung größer als die andere Seite. Eine Ungleichung sieht zum Beispiel so aus. Hier ist die linke Seite kleiner als die rechte.

x + 1 < 5

Eine Ungleichung kannst du durch vier Zeichen ausdrücken, die zwischen der linken und der rechten Seite stehen:

  • < und \leq: kleiner und kleiner gleich
  • > und \geq: größer und größer gleich

Das ist auch der große Unterschied zur normalen Gleichung: Hier steht  in der Mitte ein Gleichheitszeichen ( = ). 

x + 1 = 5

Beide Seiten einer Gleichung haben genau den gleichen Wert.

Lösen von Ungleichungen 

Grundsätzlich kannst du Ungleichungen lösen, wie du auch normale Gleichungen löst.  Dazu darfst du auf beiden Seiten der Gleichung so lange dazurechnen, abziehen, malnehmen oder teilen, bis deine gesuchte Variable alleine steht.  Beim Lösen von Ungleichungen gibt es aber eine wichtige Regel, die du beachten musst. 

Regel: Inversion

Wenn du eine Ungleichung mit einer negativen Zahl multiplizierst oder dividierst, dreht sich das Ungleichheitszeichen um. Aus < wird dann > und aus \leq wird \geq.

Schauen wir uns jetzt konkret an, wie du vorgehen musst, um eine lineare Ungleichung zu lösen. 

Lineare Ungleichungen lösen

Um lineare Ungleichungen lösen zu können, musst du wie bei einer normalen linearen Gleichung  nach der gesuchten Variable auflösen. Dazu versuchst du, alle Zahlen auf die eine Seite der Gleichung zu bringen, sodass auf der anderen nur noch die Variable übrig bleibt. Dabei darfst du

  • auf beiden Seiten Zahlen addieren oder subtrahieren und
  • beide Seiten mit Zahlen multiplizieren oder dividieren. 

Nehmen wir uns mal ein konkretes Beispiel zum Ungleichungen lösen vor. 

Beispiel 1

Stell dir vor, du sollst diese Ungleichung nach ihrer Variable x auflösen.

x - 8 < 19

Wie gehst du vor? Du möchtest, dass x alleine steht, also musst du – 8 von der linken Seite der Ungleichung entfernen. Das schaffst du, indem du auf beiden Seiten der Ungleichung + 8 rechnest.

    \begin{align*} x - 8& < 19 && |\textcolor{blue}{+\  8} \\ x - 8 \ \textcolor{blue}{+\ 8}& < 19 \ \textcolor{blue}{+\  8} \\ x &< 27 \\ \end{align*}

Beim Ungleichung lösen bekommst du damit heraus, dass x - 8 < 19 das Gleiche aussagt wie x < 27. Du kannst dieses Ergebnis auch als Lösungsmenge L darstellen.

L = ] -\infty, 27 [}

Laut der Ungleichung ist x kleiner als 27. Deshalb geht die Lösungsmenge von Minus Unendlich (-\infty) bis 27. Links steht eine offene Klammer, weil -\infty keine richtige Zahl ist und deshalb nicht mit in die Lösungsmenge gehört. Die eckige Klammer hinter 27 ist auch geöffnet, weil x < 27 gilt. Bei  x \leq 27 wäre die eckige Klammer geschlossen.

Schauen wir uns noch ein anspruchsvolleres Beispiel zum Ungleichungen lösen an. 

Beispiel 2

Jetzt nimm mal an, du sollst folgende Ungleichung lösen und x finden. 

7 - 4x \geq 2 \cdot (5 - x) - 9

Als erstes – noch bevor du nach x auflöst – solltest du die Ungleichung auf der rechten Seite ausmultiplizieren und vereinfachen.

    \begin{align*} 7 - 4x &\geq 10 - 2x - 9 \\ 7 - 4x &\geq 1 - 2x \\ \end{align*}

Jetzt kannst du mit dem Ungleichung lösen anfangen. Dazu ziehst du erstmal auf beiden Seiten der Ungleichung – 7 ab.

    \begin{align*} 7 - 4x&\geq 1 - 2x && |\textcolor{blue}{-\ 7}  \\ 7 - 4x \ \textcolor{blue}{-\ 7} & \geq 1 - 2x \ \textcolor{blue}{-\  7} \\ - 4x & \geq  -6 - 2x \\ \end{align*}

Dann bringst du alle x auf eine Seite. Das machst du, indem du auf beiden Seiten + 2x rechnest.

    \begin{align*} - 4x & \geq  -6 - 2x && |\textcolor{red}{+\ 2x}  \\ - 4x \ \textcolor{red}{+\ 2x} & \geq -6 - 2x \ \textcolor{red}{+\  2x} \\ - 2x & \geq  -6 \\ \end{align*}

Du hast es fast geschafft! Du musst für das Ungleichung lösen nur noch -6 durch -2 teilen. So bekommst du dein gesuchtes x. Aber Vorsicht: Denk an die Inversion! Du teilst jetzt beide Seiten der Gleichung durch eine negative Zahl. Das bedeutet, dass du dein Ungleichzeichen umdrehen musst – aus \textcolor{teal}{\geq} wird also \textcolor{orange}{\leq}

    \begin{align*} - 2x \ & \textcolor{teal}{\geq}  -6  &&|:\  (-2) \\ x \ &\textcolor{orange}{\leq} \ \frac{(-6)}{(-2)} \\ x \ &\textcolor{orange}{\leq} \ 3 \\ \end{align*}

Beim Ungleichung lösen findest du also, dass dein x kleiner gleich 3 sein muss. Beachte bei Ungleichungen auch die Lösungsmenge. Du schreibst:

L = ] -\infty, 3 ]

Das Ergebnis sagt dir, dass deine Ungleichung stimmt, wenn du für x eine Zahl kleiner oder gleich 3 einsetzt. Bei -\infty steht wieder eine offene Klammer, weil -\infty nicht selbst zur Lösungsmenge gehört. Bei 3 schließt sich die eckige Klammer,  weil 3 diesmal in der Lösungsmenge für x \leq 3 mit eingeschlossen ist.  

Ungleichung Regeln

Außer der Inversion gibt es keine Rechenregeln, wie genau du Ungleichungen lösen sollst. Du gehst vor wie beim Lösen von normalen Gleichungen. Du fängst also am besten damit an, beide Seiten der Gleichung so weit es geht zu vereinfachen. So kannst du dann die Ungleichungen lösen. Du musst einfach die Ungleichungen umformen, bis du sie schrittweise nach deiner gesuchten Variable aufgelöst hast.

Was du beim Ungleichungen lösen immer beachten musst: Inversion nicht vergessen! Denk daran, dass negative Zahlen beim Ungleichungen lösen gefährlich sind. Dann vergisst du nicht, beim Malnehmen und Teilen mit negativen Zahlen das Ungleichheitszeichen umzudrehen.

Etwas anderes, worauf du beim Ungleichungen lösen auch aufpassen solltest, ist das richtige Hinschreiben der Lösungsmenge. Schau immer genau nach, welches Ungleichzeichen du hast! Bei < und > ist die eckige Klammer offen, bei \leq und \geq ist sie geschlossen.

Quadratische Ungleichungen lösen

Es gibt neben der linearen Ungleichung auch noch andere Formen von Ungleichungen, die du unbedingt kennen solltest.  Das sind zum Beispiel die Bruchungleichungen oder die quadratischen Ungleichungen. Vom Prinzip löst du sie zwar so wie lineare Ungleichungen, aber es gibt noch ein paar Besonderheiten. Du sollst auch dafür die Ungleichungen lösen können? Dann schau dir unbedingt noch unsere Videos zu den Themen Quadratische Gleichungen und Bruchgleichungen an! 

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Zum Video: Quadratische Gleichungen
 Bruchgleichungen, Bruchungleichungen, Ungleichungen lösen
Zum Video: Bruchgleichungen

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