Optik

Wellenzahl

Du möchtest wissen, was der Unterschied zwischen der Wellenzahl und der Kreiswellenzahl ist und wie du diese berechnest? Dann ist dieser Artikel genau der richtige für dich! Wir erklären dir hier die Thematik ausführlich und zeigen dir jeweils auch ein Beispiel, wie du diese Zahlen berechnen kannst.

Du möchtest alles Wichtige zum Thema Wellenzahl und Kreiswellenzahl in kürzester Zeit verstehen, ohne einen Text lesen zu müssen? Dann schau unser Video  dazu an!

Inhaltsübersicht

Wellenzahl einfach erklärt

Betrachtest du eine elektromagnetische Welle mit einer bestimmten Wellenlänge, dann ist die Wellenzahl der Kehrwert dieser Wellenlänge – sie verhält sich also entgegengesetzt. Nimmt die Wellenlänge zum Beispiel zu, dann wird die Wellenzahl kleiner. Nimmt die Wellenlänge hingegen ab, dann erhöht sie sich wiederum.

Wellenzahl in der Spektroskopie

Die Wellenzahl \tilde{\nu} ist in der Spektroskopie über den Kehrwert der Wellenlänge \lambda definiert

\tilde{\nu} = \frac{1}{\lambda}.

Sie kann jedoch auch mit der Frequenz \nu und der Vakuumlichtgeschwindigkeit c ausgedrückt werden

\tilde{\nu}= \frac{\nu}{c},

oder aber auch über die Anzahl n der Wellenlängen, die in eine bestimmte Länge l passen

\tilde{\nu} = \frac{n}{l}.

Zusammengefasst gilt für die Wellenzahl also der folgende Zusammenhang

\tilde{\nu} = \frac{1}{\lambda}= \frac{\nu}{c}=\frac{n}{l}.

Wichtig: Die Wellenzahl \tilde{\nu} darf nicht mit der Frequenz f verwechselt werden. Die Frequenz hat die Einheit \mathrm{Hz}=\frac{1}{\mathrm{s}}=\mathrm{s}^{-1} und ist über den Kehrwert der Periodendauer T definiert

f=\frac{1}{T}.

Sie gibt an, wie oft eine elektromagnetische Welle pro Sekunde schwingt.

Wellenzahl, elektromagnetische Welle, Wellenlänge
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Elektromagnetische Welle

Wellenzahl Einheit

Typischerweise wird die Wellenzahl in der Einheit

\frac{1}{\mathrm{m}} = \mathrm{m}^{-1}

angegeben, das entspricht dann der Anzahl der Schwingungen pro Meter. Die Einheit kann man jedoch auch umrechnen, zum Beispiel in die Einheiten \frac{1}{\mathrm{cm}} = \mathrm{cm}^{-1} oder \frac{1}{\mathrm{mm}} = \mathrm{mm}^{-1}. Dabei gilt zwischen diesen Größen der folgende Zusammenhang

1 \mathrm{m}^{-1} = 0,01 \mathrm{cm}^{-1}=0,001 \mathrm{mm}^{-1}

beziehungsweise

1 \mathrm{mm}^{-1} = 100 \mathrm{cm}^{-1}=1000 \mathrm{m}^{-1}.

Kreiswellenzahl und Wellenzahl

Häufig wird die Kreiswellenzahl fälschlicherweise auch einfach Wellenzahl genannt. Genau betrachtet, handelt es sich bei der Kreiswellenzahl k jedoch um den Betrag des Wellenvektors \vec{k} und steht mit der Wellenzahl \tilde{\nu} in folgender Beziehung

k = \left| \vec{k} \right| =2 \pi \cdot \tilde{\nu} = \frac{\omega}{c} = \frac{2 \pi}{\lambda},

wobei \omega die sogenannte Kreisfrequenz repräsentiert. Bei dem Wellenvektor handelt es sich um einen Vektor, der senkrecht auf der Wellenfront einer Welle steht. An dieser Formel erkennt man, dass die Wellenzahl \tilde{\nu} auch aus der Kreiswellenzahl k berechnet werden kann

\tilde{\nu} = \frac{k}{2 \pi}.

 

Wichtig:  Auch die Kreisfrequenz und Frequenz dürfen nicht miteinander verwechselt werden. Die Kreisfrequenz \omega steht mit der Frequenz f in folgender Beziehung

\omega = 2 \pi f.

Wellenzahl berechnen

Betrachtet man eine elektroktromagnetische Welle mit der Wellenlänge \lambda = 500\mathrm{nm} und möchte daraus die Wellenzahl \tilde{\nu} berechnen, dann geht man dabei wie folgt vor. Um die Einheit \mathrm{m}^{-1} zu bekommen, rechnet man zuerst die Wellenlänge in die Einheit Meter um. Damit erhält man

500\mathrm{nm} = 500 \cdot 10^{-9}\mathrm{m} = 5 \cdot 10^{-7} \mathrm{m}.

Mit der oben vorgestellten Formel kannst du dann die dazugehörige Wellenzahl bestimmen

\tilde{\nu} = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{ 5 \cdot 10^{-7} \mathrm{m}}= 2 \cdot 10^6\mathrm{m}^{-1} .

Auf einem Meter schwingt die Welle also 2 Mio. mal. Umgerechnet schwingt sie dann auf einem Millimeter 2000 mal

2 \cdot 10^6\mathrm{m}^{-1} = 0,001\cdot 2 \cdot 10^6\mathrm{mm}^{-1} = 2000\mathrm{mm}^{-1}.

Kreiswellenzahl berechnen

Verwendet man dieselbe Wellenlänge von \lambda = 500\mathrm{nm} =5 \cdot 10^{-7} \mathrm{m}, wie im vorherigen Beispiel, und setzt diesen Wert in die Formel für die Kreiswellenzahl ein, dann führt das auf

k = \frac{2 \pi}{\lambda} = \frac{2 \pi}{5 \cdot 10^{-7} \mathrm{m}} =1,2566 \cdot 10^7\mathrm{m}^{-1}.

Man kann gut erkennen, das sich die Kreiswellenzahl k von der Wellenzahl \tilde{\nu} aus dem vorherigen Beispiel unterscheidet

\tilde{\nu} =2 \cdot 10^6\mathrm{m}^{-1}     \longleftrightarrow     k = 1,2566 \cdot 10^7\mathrm{m}^{-1}

Wellenlänge in Wellenzahl umrechnen

Die folgende Tabelle zeigt die beiden Umrechnungsrichtungen von Wellenlänge in Wellenzahl und umgekehrt. Zusätzlich sind in der letzten Spalte bestimmte Anwendungsbereiche in der Spektroskopie aufgelistet:

Wellenzahl in 1/mm Wellenzahl in 1/cm Wellenzahl in 1/m Wellenlänge in nm Wellenlänge in μm Wellenlänge in mm Anwendung
1.000 10.000 1.000.000 1.000 1 0,001 Infrarotspektroskopie
100 1.000 100.000 10.000 10 0,01 Infrarotspektroskopie/Terahertz-Spektroskopie
10 100 10.000 100.000 100 0,1 Terahertz-Spektroskopie
1 10 1.000 1.000.000 1.000 1 Mikrowellenspektroskpie
0,1 1 100 10.000.000 10.000 10 Mikrowellenspektroskopie/Elektronenspinresonanz

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