Geometrie

In diesem Beitrag erklären wir dir, was die Hessesche Normalform ist. Außerdem zeigen wir dir, wie die Hessesche Normalform einer Ebene und die Hessesche Normalform einer Gerade aussieht. In unserem Video zeigen wir dir Schritt für Schritt, wie du die Hessesche Normalform bilden kannst. Schau es dir gleich an!

Inhaltsübersicht

Hessesche Normalform einfach erklärt

Die Hessesche Normalform oder Hessesche Normalenform ist ein Spezialfall der Normalenform für Geraden oder Ebenen. Weil du bei der Hesse Normalform einen normierten Vektor verwendest, kannst du besonders schnell einen Abstand berechnen

Die Hessesche Normalform einer Ebene kann zum Beispiel so aussehen. 

E: \left(\begin{array}{r}0\\1\\0\\\end{array}\right) \cdot \left(\vec{x} - \left(\begin{array}{r}2\\0\\5\\\end{array}\right) \right) = 0

Ganz allgemein kannst du jede Ebene in der Hesseschen Normalenform notieren.

E: \vec{n_0} \cdot (\vec{x} - \vec{a}) = 0

  • \vec{n_0} ist der normierte Normalenvektor oder Normaleneinheitsvektor.
  • \vec{a} ist der Stützvektor oder Aufpunkt der Ebene.

Der Normaleneinheitsvektor hat genau die Länge 1.

\vec{n_0} = \left(\begin{array}{r}0\\1\\0\\\end{array}\right) und \left| \left(\begin{array}{r}0\\1\\0\\\end{array}\right) \right| = 1

Schauen wir uns die Hessesche Normalenform gleich mal genauer an. 

Hinweis: Die Bezeichnung Hessesche Normalform, Hessesche Normalenform und Hesse Normalform bedeuten genau das gleiche. Es ist egal, welche Schreibweise du verwendest. 

Hessesche Normalform Ebene

Im Gegensatz zur Normalenform einer Ebene ist der Normalenvektor in der Hesse Normalform normiert. Das bedeutet, dass er genau die Länge 1 hat. Dafür kannst du den Normalenvektor durch seinen Betrag teilen.

\vec{n_0} = \frac{\vec{n}}{\left| \vec{n} \right|}

Schauen wir uns mal an, wie du die Hessesche Normalform bilden kannst. 

Beispiel 1

In diesem Beispiel hast du eine Ebene in Normalenform gegeben und sollst die Hessesche Normalform bestimmen

E: \left(\begin{array}{r}2\\1\\4\\\end{array}\right) \cdot \left(\vec{x} - \left(\begin{array}{r}1\\1\\1\\\end{array}\right) \right) = 0

Davon ausgehend kannst du in wenigen Schritten die Hessesche Normalenform berechnen

  • Normalenvektor finden:

\vec{n} = \left(\begin{array}{r}2\\1\\4\\\end{array}\right)

  • Vektor normieren:

\vec{n_0} = \frac{1}{\sqrt{2^2+1^2+4^2}} \cdot \left(\begin{array}{r}2\\1\\4\\\end{array}\right) = \frac{1}{\sqrt{21}} \cdot \left(\begin{array}{r}2\\1\\4\\\end{array}\right)

  • Hessesche Normalform bilden:

E: \frac{1}{\sqrt{21}} \cdot \left(\begin{array}{r}2\\1\\4\\\end{array}\right) \cdot \left( \vec{x} - \left(\begin{array}{r}1\\1\\1\\\end{array}\right) \right)=0

 Beispiel 2

Als nächstes ist eine Ebene in Koordinatenform  gegeben. Auch hier kannst du die Hessesche Normalform in wenigen Schritten bilden

E: 3x_1-4x_2+x_3=2

  • Normalenvektor ablesen:

\vec{n} = \left(\begin{array}{r}3\\-4\\1\\\end{array}\right)

  • Vektor normieren:

\vec{n_0} = \frac{1}{\sqrt{3^2+(-4)^2+1^2}} \cdot \left(\begin{array}{r}3\\-4\\1\\\end{array}\right) = \frac{1}{\sqrt{26}} \cdot \left(\begin{array}{r}3\\-4\\1\\\end{array}\right)

  • Aufpunkt finden:

\vec{a} = \left(\begin{array}{r}1\\1\\3\\\end{array}\right)

  • Hessesche Normalenform bilden:

E: \frac{1}{\sqrt{26}} \cdot \left(\begin{array}{r}3\\-4\\1\\\end{array}\right) \cdot \left(\vec{x} - \left(\begin{array}{r}1\\1\\3\\\end{array}\right) \right)=0

Hessesche Normalform Gerade

Die Hesse Normal Form einer Gerade kannst du nur im \mathbb{R}^2 angeben. Die Geradengleichung sieht dann fast so aus wie bei der Normalenform.

g: \vec{n_0} \cdot \left(\vec{x} - \vec{a})=0

Auch bei der Gerade schauen wir uns noch zwei Beispiele an, wie du die Hessesche Normalform bilden kannst.

Beispiel 1

Zuerst ist eine Gerade in Normalenform gegeben. 

g: \left(\begin{array}{r}1\\1\\\end{array}\right) \cdot \left(\vec{x} - \left(\begin{array}{r}2\\-2\\\end{array}\right) \right) = 0

In wenigen Schritten kannst du daraus die Hessesche Normalenform bilden

  • Normalenvektor ablesen:

\vec{n} = \left(\begin{array}{r}1\\1\\\end{array}\right)

  • Vektor normieren:

\vec{n_0} = \frac{1}{\sqrt{1^2+1^2}} \cdot \left(\begin{array}{r}1\\1\\\end{array}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \left(\begin{array}{r}1\\1\\\end{array}\right)

  • Hessesche Normalenform bilden:

g: \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \left(\begin{array}{r}1\\1\\\end{array}\right) \cdot \left(\vec{x} - \left(\begin{array}{r}2\\-2\\\end{array}\right) \right) = 0

Beispiel 2

Diesmal ist die Gerade in Koordinatenform gegeben.

g: 3x_1-4x_2=2

Wieder kannst du in wenigen Schritten die Hessesche Normalenform der Gerade bestimmen.

  • Normalenvektor ablesen:

\vec{n} = \left(\begin{array}{r}3\\-4\\\end{array}\right)

  • Vektor normieren:

\vec{n_0} = \frac{1}{\sqrt{3^2+(-4)^2}} \cdot \left(\begin{array}{r}3\\-4\\\end{array}\right) = \frac{1}{\sqrt{25}} \cdot \left(\begin{array}{r}3\\-4\\\end{array}\right) = \frac{1}{5} \cdot \left(\begin{array}{r}3\\-4\\\end{array}\right)

  • Aufpunkt bestimmen:

\vec{a} = \left(\begin{array}{r}2\\1\\\end{array}\right)

  • Hesse Normalform bilden:

g: \frac{1}{5} \cdot \left(\begin{array}{r}3\\-4\\\end{array}\right) \cdot \left(\vec{x} - \left(\begin{array}{r}2\\1\\\end{array}\right) \right) = 0

Abstand Hessesche Normalform

Mit der Hessesche Normalform kannst du den Abstand Punkt Ebene besonders schnell berechnen. Das schauen wir uns noch an einem Beispiel an.

Dafür setzt du einen Punkt \vec{p} in die folgende Formel ein.

d=\left| \vec{n_0} \cdot \left(\vec{p} - \vec{x}\right) \right|

Es gibt drei mögliche Ergebnisse für den Abstand d, die alle eine unterschiedliche Bedeutung haben. 

  • d<0: Der Punkt P und der Ursprung des Koordinatensystems liegen auf verschiedenen Seiten der Ebene. 
  • d=0: Wenn der Abstand zwischen Punkt und Ebene genau Null ergibt, gehört der Punkt zur Ebene.
  • d>0: Der Punkt P und der Ursprung liegen auf der gleichen Seite der Ebene. 

Beispiel

In unserem Beispiel wählen wir eine Ebene E und einen Punkt P. 

E: \left(\begin{array}{r}0\\1\\0\\\end{array}\right) \cdot \left(\vec{x} - \left(\begin{array}{r}2\\0\\5\\\end{array}\right) \right) = 0

P = (7/2/3)

Dann kannst du den Abstand zwischen Punkt und Ebene mit der Hesse Normalform bestimmen. 

d= \left| \left(\begin{array}{r}0\\1\\0\\\end{array}\right) \cdot \left(\left(\begin{array}{r}7\\2\\3\\\end{array}\right) - \left(\begin{array}{r}2\\0\\5\\\end{array}\right) \right) \right|

= \left| \left(\begin{array}{r}0\\1\\0\\\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{r}5\\2\\-2\\\end{array}\right) \right|

=\left| 0 \cdot 5 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot (-2) \right|

= \left| 2 \right| = 2

Hinweis: Genauso kannst du auch den Abstand Punkt Gerade mit der Hessesche Normalform berechnen.

Parameterform

Die Hessesche Normalform ist nur eine Möglichkeit, um Geraden oder Ebenen darzustellen. Neben der Normalform und der Koordinatenform bildet die Parameterform die letzte Darstellungsmöglichkeit. In unserem Video zur Parameterform erklären wir sie dir anschaulich und mit vielen Beispielen. Schau es dir gleich an!

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Zum Video: Parameterform

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